四川省眉山市仁寿县第一中学学年高三二诊模拟考试数学文试题含答案解析.docx

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四川省眉山市仁寿县第一中学学年高三二诊模拟考试数学文试题含答案解析

四川省眉山市仁寿县第一中学2021-2022学年高三二诊模拟考试数学（文）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合

，

，则集合

中元素的个数为（       ）

A．3B．2C．1D．0

2．命题“若

，则

”的逆否命题是（       ）

A．若

，则

B．若

，则

或

C．若

，则

D．若

或

，则

3．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为

，则下列结论正确的是（       ）

A．

，甲比乙稳定B．

，乙比甲稳定

C．

，甲比乙稳定D．

，乙比甲稳定

4．下列函数为奇函数的是（       ）

A．

B．

C．

D．

5．深秋时节，霜叶红满地．今要测量捡到的枫叶的面积，在边长为15cm的正方形纸片中描出枫叶的轮廓，然后随机撒入100粒豆子，恰有60粒落入枫叶轮廓中，则枫叶的面积近似为（       ）

A．

B．

C．

D．

6．已知数列

满足：

，点

在函数

的图象上．记

为

的前n项和，则

（       ）

A．6B．7C．8D．9

7．执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为

A．9B．10C．11D．12

8．半径为4的圆

与直线

：

、

：

分别相交于点A和点B、点

和点D，若

，则

（       ）

A．

B．5C．

D．4

9．函数

在

上的所有零点之和为（       ）

A．

B．

C．

D．

10．如图，将长和宽之比为2：

1的长方形纸片

（图甲）折成一个正三棱柱

（图乙）的侧面，则异面直线

与

所成角的余弦值为（       ）

A．

B．

C．

D．

11．已知

分别为椭圆

的左、右顶点，

是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线

的斜率分别为

，若

，则椭圆的短轴长为（       ）

A．

B．

C．

D．

12．已知函数

有且只有一个零点，则

的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．若实数

，

满足约束条件

，则

的最大值等于___________.

14．已知

，

为单位向量，且

在

方向上的投影为

，则

______________．

15．已知

，

为双曲线

：

的左右焦点，直线

：

与双曲线C交于A，B两点，且

，则双曲线C的离心率为______________．

16．已知函数

，下面四个结论：

①

的图象是轴对称图形；②

的图象是中心对称图形；③

在

上单调；④

的最大值为1．其中正确的有_______．

三、解答题

17．新冠肺炎疫情对人类生产生活产生了巨大影响，科学家正在研发新的治疗药物．新的治疗药物通常需要进行有效性试验．为了研究一种新药对治疗某疾病是否有效，进行了临床试验．采用简单随机抽样方法抽取100人，情况如下表：

疗法

疗效

痊愈

未痊愈

服用新药

40

10

服用安慰剂

30

20

（1）能否有

的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果？

（2）小明和其余4名同伴参与了该项研究，研究人员决定从他们5人中随机邀请3人进行试验回访，求3人中小明和其中一位同伴小亮同时被邀请访谈的概率．

附：

．

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

18．如图，在直三棱柱

中，

分别是

的中点，F是棱

上的点，满足

，

是

的中点．

（1）证明：

平面

；

（2）求三棱锥

的体积．

19．数列

与

满足：

，

是

与

的等差中项，

.

（1）求数列

的通项公式；

（2）设

，求数列

的前

项和

.

20．已知椭圆

的离心率

，长轴的左、右端点分别为

（1）求椭圆

的方程；

（2）设直线

与椭圆

交于

两点，直线

与

交于点

，试问：

当

变化时，点

是否恒在一条直线上？

若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

21．已知函数

．

（1）当

时，求

的极值；

（2）若

在

上的最小值为

，求

．

22．在直角坐标系xOy中，直线l：

为参数

，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

．

1

写出曲线C的直角坐标方程；

2

已知点

，直线l与曲线C相交于点M、N，求

的值．

23．已知函数

．

（1）若不等式

有解，求实数

的取值范围；

（2）当

时，记

的最大值为

．若

，

，

，

，

，证明：

．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

利用直线与圆的位置关系判断.

【详解】

因为圆心（0,0）到直线y=2的距离d=2=r，

所以直线

与圆

相切，

所以

的元素的个数是1，

故选：

C．

2．D

【解析】

【分析】

根据命题和逆否命题的关系可得答案.

【详解】

原命题的条件是“若

”，结论为“

”，则其逆否命题是：

若

或

，则

，

故选：

D．

3．A

【解析】

【分析】

利用茎叶图分别求得甲乙的平均数和方差判断.

【详解】

因为

，

，

所以

，因为

，

所以

，

故选：

A．

4．C

【解析】

【分析】

根据奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】

A选项，

的定义域为

，

，

，故

为非奇非偶函数；

B选项，

的定义域为

，不关于原点对称，故

为非奇非偶函数；

C选项，

的定义域为

，

，故

为奇函数；

D选项，

的定义域为

，

，

，故

为偶函数，

故选：

C．

5．B

【解析】

【分析】

首先可得落入枫叶轮廓中的概率，然后可得答案.

【详解】

由题可知，落入枫叶轮廓中的概率为

，

所以枫叶的面积近似为

故选：

B．

6．A

【解析】

【分析】

由

以及解析式求出

，再由

得出答案.

【详解】

由题得

，解得

，故

，所以

，故选：

A．

7．C

【解析】

【详解】

试题分析：

分析框图可知输出的应为满足

的最小正整数解的后一个整数，故选C．

8．A

【解析】

【分析】

首先求出直线

与直线

之间的距离、圆心

到直线

的距离，然后可得圆心

到直线

的距离，然后可得答案.

【详解】

由题得直线

与直线

之间的距离为

，所以圆心

在两直线之间，

圆心

到直线

的距离为

，则圆心

到直线

的距离为

，

故

，

故选：

A．

9．D

【解析】

【分析】

求出

的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案.

【详解】

由

得

，

，

故

在

上的零点从小到大排成首项为

、公差为

的等差数列．

由

得

，即该数列共有

项，所以所有零点之和为

，

故选：

D．

10．B

【解析】

【分析】

运用割补法，结合余弦定理、异面直线所成角的定义进行求解即可.

【详解】

设

，则

，

．如图，通过补体将直线

平移至

，则异面直线

与

所成角等于

与

所成角．由图得

，

，则

故选：

B．

11．C

【解析】

【分析】

根据椭圆方程确定点A、B的坐标，设点P坐标，根据对称性可得点Q的坐标，利用两点坐标公式求出斜率

，进而列出方程，解方程即可.

【详解】

根据椭圆的标准方程

知

，

设

，则

，且

，

，

，

所以

，解得

，

即椭圆的短轴长为

故选C．

12．D

【解析】

【分析】

分析可知函数

在

上有一个零点，则函数

在

上没有零点，由

可得出

，则直线

与函数

的图象无交点，利用导数分析函数

的单调性与极值，数形结合可得出关于实数

的不等式，由此可求得实数

的取值范围.

【详解】

当

时，

为增函数，

为减函数，此时函数

为增函数，

因为

，

，

由零点存在定理可知，函数

在

上有一个零点，故函数

在

上只有一个零点，

由题意可知，函数

在

上没有零点.

当

时，由

可得

，即

，即

，

设

，其中

，则

，

当

时，

，此时函数

单调递增，

当

时，

，此时函数

单调递减，

所以，

，作出函数

的图象如下图所示：

因为

，则

，故当

时，即当

时，

直线

与函数

的图象没有交点.

综上所述，实数

的取值范围是

.

故选：

D.

【点睛】

方法点睛：

利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：

先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与

轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：

将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：

由

分离变量得出

，将问题等价转化为直线

与函数

的图象的交点问题.

13．14

【解析】

【分析】

根据题目不等式组画出可行域，利用直线的截距得到目标函数的最大值.

【详解】

如图画出可行域，将目标函数变形为斜截式

，可知当直线经过点

时，截距取最大值，故此时目标函数取最大值，即

故答案为：

14

14．

【解析】

【分析】

根据向量投影的定义求得

，进而结合平面向量的数量积以及运算律即可求出结果.

【详解】

由题得

在

方向上的投影为

，又因为

，

为单位向量，则

，所以

，所以

，即

．

故答案为：

．

15．

##

【解析】

【分析】

不妨设

，

分别在第一、第三象限，易知

，再由

得到

是正三角形，利用双曲线的定义求解.

【详解】

不妨设

，

分别在第一、第三象限，则

．

由

得

，且四边形

为矩形．

故

是正三角形，

，

．

由双曲线的定义知

，

从而

，

故答案为：

．

16．①③④

【解析】

【分析】

利用

可知函数关于

轴对称；分别判断

与

在

的单调性与正负号，从而得

在

的单调性；由题意

，当且仅当

时取等号，所以最大值为

，因为函数

不可能是周期函数，从而

的图象不可能是中心对称图形.

【详解】

的定义域为

，由于

，所以

的图象关于

轴对称，故①正确；当

时，

单调递减且函数值为正数，

单调递增且函数值为正数，故

在

上单调递减，故③正确；由于

，所以

，当且仅当

时取等号，故④正确；由④知，当且仅当

时，

的函数值为

，故

不可能是周期函数，从而

的图象不可能是中心对称图形，故②错误．

故答案为：

①③④．

17．

（1）没有99%的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果

（2）

【解析】

【分析】

（1）求出

，再由独立性检验的原理即可求解；

（2）用列举法结合古典概型的概率公式求解即可

（1）

根据表中数据可得

所以没有99%的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果．

（2）

记小明、小亮和其余3人分别为

，

为“从5人中随机邀请3人”，

为“小明和其中一位同伴小亮同时被邀请”，则

故

．

18．

（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）取

的中点

，得到

且

，证得

且

，得到

，结合线面平行的判定定理，即可证得

平面

．               

（2）根据题意先证得

平面

，得到点

到平面

的距离

，结合

和锥体的体积公式，即可求解.

（1）

证明：

如图所示，取

的中点

，连接

，

因为

分别是

的中点，所以

且

，

又因为

是

的中点，所以

且

，

所以

且

，所以四边形

是平行四边形，所以

，

又因为

平面

，

平面

，所以

平面

．               

（2）

解：

由直三棱柱

中，可得

，

又由

，且

，

平面

，

所以

平面

，

又因为

平面

，且

，

所以点

到平面

的距离

，

由

，

所以三棱锥

的体积为

．

19．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意，

，转化可得

，即

，由等比数列的通项公式即得解；

（2）代入可得

，分组求和即可

（1）

∵

是

与

的等差中项，

∴

.∴

.

∴

，即

.

∴

.

∴数列

的通项公式为

.

（2）

由

（1）知：

.

∴

.

∴

.

∴

.

20．

（1）

（2）恒在直线

【解析】

【分析】

（1）设椭圆

的标准方程为

，由

且

，求得

的值，即可求解；

（2）设直线

的方程为

，取

，得到点

在同一直线

上，结合结论作出证明：

联立方程组求得

，设

和

与

交于点

和

，结合

，即可求解.

（1）

解：

设椭圆

的标准方程为

，

根据题意，可得

且

，所以

，所以

，

所以椭圆

的标准方程为

.

（2）

解：

根据题意，可设直线

的方程为

，

取

，可得

，

可得直线

的方程为

，直线

的方程为

，

联立方程组，可得交点为

；

若

，由对称性可知交点

，

若点

在同一直线上，则直线只能为

；

以下证明：

对任意的

，直线

与直线

的交点

均在直线

上，

由

，整理得

，

设

，则

，

设

与

交于点

，由

，可得

，

设

与

交于点

，由

，可得

，

因为

，

因为

，即

与

重合，

所以当

变化时，点

均在直线

上，.

21．

（1）极小值

，无极大值

（2）

或

【解析】

【分析】

（1）当

时，

，求出

，然后可得答案；

（2）分

、

两种情况讨论，当

时，可判断出

在

上有唯一零点

，且

，然后可得

，然后可得

的值.

（1）

当

时，

，

．

当

时，

；当

时，

．

所以

在

处取极小值

，无极大值．

（2）

由题得

，

．

①当

时，

，

，故

，

在

上单调递增．

所以

，解得

（舍去）．

②当

时，

，

，且

在

上单调递增，

故

在

上有唯一零点

，且

．

当

，

，

单调递减；

当

，

，

单调递增．

所以

，

即

，解得

，

或

，

．

综上，

的值为

或

．

22．

（1）

；

（2）

.

【解析】

【详解】

（1）

；

（2）将直线

的参数方程化为标准形式：

（

为参数），

代入曲线

的方程得

，

设M，N所对的参数分别为

则

23．

（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由绝对值不等式得

，不等式

有解的充要条件是

，求解即可；

（2）由绝对值不等式得

，继而有

，运用作差比较法可得证.

（1）

解：

由绝对值不等式

得

，

故

，当且仅当

时取“

”．

所以不等式

有解的充要条件是

，解得

或

．

故实数

的取值范围为

．

（2）

证明：

由题得

，当且仅当

时取“

”，故

．

所以

，

．

因为

，

所以

，

故

．