82 空间点直线平面之间的位置关系.docx
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82空间点直线平面之间的位置关系
§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.四个公理
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围:
.
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( √ )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( × )
(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A.( × )
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )
1.下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.
2.(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,此时l1与l4相交,可以排除选项B.故选D.
3.(教材改编)如图所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,AB=2
,AD=2
,AE=2,则BC和EG所成角的大小是______,AE和BG所成角的大小是________.
答案 45° 60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于AC与BC所成的角即∠ACB,tan∠ACB=
=
=1,∴∠ACB=45°,
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF,tan∠GBF=
=
=
,∴∠GBF=60°.
4.已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断:
①MN≥
(AC+BD);②MN>
(AC+BD);③MN=
(AC+BD);④MN<
(AC+BD).
其中正确的是________.
答案 ④
解析
如图,取BC的中点O,
连接MO、NO,
则OM=
AC,ON=
BD,
在△MON中,MN = (AC+BD), ∴④正确. 题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 思维点拨 第 (2)问先证CE与D1F交于一点,再证该点在直线DA上. 证明 (1)连接EF,CD1,A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交, 设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据. 如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC= AD,BE∥AF且BE= AF,G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明: 四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面? 为什么? (1)证明 由已知FG=GA,FH=HD, 可得GH綊 AD. 又BC綊 AD,∴GH綊BC. ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解 ∵BE綊 AF,G是FA的中点,∴BE綊FG, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由 (1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 (1) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( ) A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 (2)在图中,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 思维点拨 (1)连接B1C,B1D1,则点M点是B1C的中点,证明MN∥B1D1; (2)先判断直线GH、MN是否共面,若不共面,再利用异面直线的判定定理判定. 答案 (1)D (2)②④ 解析 (1)连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D1, ∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交, ∴MN与A1B1不平行,故选D. (2)图①中,直线GH∥MN; 图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN, 因此直线GH与MN异面; 图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN, 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. 思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决. 如图,已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求证: AD与BC是异面直线. 证明 方法一 (反证法)假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P、A、B、C、D都在平面α内, ∴直线a、b、c都在平面α内,与已知条件a、b、c不共面矛盾,假设不成立, ∴AD和BC是异面直线. 方法二 (直接证法)∵a∩c=P,∴它们确定一个平面, 设为α,由已知C∉平面α,B∈平面α,BC⊄平面α,AD⊂平面α,B∉AD, ∴AD和BC是异面直线. 题型三 求两条异面直线所成的角 例3 空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别为BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小. 思维点拨 取AC中点,利用三角形中位线的性质作出所求角. 解 取AC的中点G,连接EG、FG, 则EG綊 AB,FG綊 CD, 由AB=CD知EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°, ∴∠EGF=30°或150°. 由EG=FG知△EFG为等腰三角形, 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°; 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°. 故EF与AB所成的角为15°或75°. 思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲: 即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. (1)(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. (2)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 (1)B (2)C 解析 (1)画出正四面体ABCD的直观图,如图所示. 设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF, 设EF的中点为O,连接CO, 则EF∥BD, 则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角. △ABC为等边三角形,则CE⊥AB, 易得CE= , 同理可得CF= , 故CE=CF. 因为OE=OF,所以CO⊥EF. 又EO= EF= BD= , 所以cos∠FEC= = = . (2)如图,可补成一个正方体, ∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形, ∴∠A1BD1=60°. 即BA1与AC1成60°的角. 构造模型判断空间线面位置关系 典例: 已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β; ③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β; ④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. 其中所有正确的命题是( ) A.①④B.②④C.①D.④ 思维点拨 构造一个长方体模型,找出适合条件的直线与平面,在长方体内判断它们的位置关系. 解析 借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图 (1)所示,故①正确;对于②,平面α、β可能垂直,如图 (2)所示;对于③,平面α、β可能垂直,如图(3)所示;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n. 答案 A 温馨提醒 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误; (2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断. 方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法: 证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]. A组 专项基础训练 (时间: 45分钟) 1.(2013·安徽)在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A 解析 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的. 2.(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 答案 B 解析 方法一 若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,A错; 若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确; 若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,C错; 若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也可能n⊂α,D错. 方法二 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α. A项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,n∥α,但m与n是相交直线,故A错. B项中,m⊥α,n⊂α, 满足m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确. C项中,若m为AA′,n为AB, 满足m⊥α,m⊥n,但n⊂α,故C错. D项中,若m为A′B′,n为B′C′, 满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错. 3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1, 和a,且长为a的棱与长为 的棱异面,则a的取值范围是( ) A.(0, )B.(0, )C.(1, )D.(1, ) 答案 A 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于 .故选A. 4.四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为 ,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 因为四边形ABCD为正方形,故CD∥AB,则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角,即为∠PAB. 在△PAB内,PB=PA= ,AB=2,利用余弦定理可知cos∠PAB= = = ,故选B. 5.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ) ①P∈a,P∈α⇒a⊂α; ②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β; ③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α; ④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b. A.①②B.②③C.①④D.③④ 答案 D 解析 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错; a∩β=P时,②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a, ∴由直线a与点P确定唯一平面α, 又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 6.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与c,b与c的位置关系是________. 答案 a∥b∥c 解析 ∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α. 又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c. ∴a∥b∥c. 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=________. 答案 8 解析 取CD的中点H,连接EH,HF.在四面体CDEF中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF平行,其余4个平面与EF相交,即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8. 8.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对. 答案 24 解析 正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有 =24(对). 9.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H. (1)求AH∶HD; (2)求证: EH、FG、BD三线共点. (1)解 ∵ = =2,∴EF∥AC, ∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH, 平面EFGH∩平面ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴ = =3. ∴AH∶HD=3∶1. (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , ∴EF≠GH,∴EFGH为梯形. 令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD, 又P∈FG,FG⊂平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, ∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三线共点. 10.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. (1)求四棱锥O-ABCD的体积; (2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4, 所以,四棱锥O-ABCD的体积V= ×4×2= . (2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE, 则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角), 由已知,可得DE= ,EM= ,MD= , ∵( )2+( )2=( )2, ∴△DEM为直角三角形, ∴tan∠EMD= = = . B组 专项能力提升 (时间: 30分钟) 11.以下四个命题中, ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面; ③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 ①中显然是正确的;②中若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然b、c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确. 12.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中, ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN. 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________. 答案 解析 如图,连接DF, 则AE∥DF, ∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角. 设正方体棱长为a,则D1D=a,DF= a,D1F= a, ∴cos∠D1FD= = . 14.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证: D1、H、O三点共线. 证明 连接BD,B1D1, 则BD∩AC=O, ∵BB1綊DD1, ∴四边形BB1D1D为平行四边形, 又H∈B1D, B1D⊂平面BB1D1D, 则H∈平面BB1D1D, ∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线. 15.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC= ,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 解 取AC的中点F,连接EF,BF, 在△ACD中,E、F分别是AD、AC的中点, ∴EF∥CD. ∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角. 在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE= AD= , ∴BE= . 在Rt△EAF中,AF= AC= ,AE= , ∴EF= . 在Rt△BAF中,AB=1,AF= ,∴BF= . 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB= = = . ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为 .
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