任意角与弧度制.docx
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任意角与弧度制.docx
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任意角与弧度制
任意角与弧度制
任意角与弧度制
【知识梳理】
1.按旋转方向分
名称
定义
图形
正角
按______方向旋转形成的角
负角
按______方向旋转形成的角
零角
一条射线_______旋转形成的角
2.按角的终边位置
(1)角的终边在第几象限,则此角称为第几____;
(2)角的终边在__上,则此角不属于任何一个象限.
3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=_________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与__________的和.
【常考题型】
题型一、象限角的判断
【例1】已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.
(1)-75°;
(2)855°;(3)-510°.
【类题通法】象限角的判断方法
(1)根据图形判定,在直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角.
(2)根据终边相同的角的概念.把角转化到0°~360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就
个角α,β,写出所有与α,β终边相同的角;
(3)用不等式表示区域内的角,组成集合.
【对点训练】
已知角α的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角α的取值范围.
题型三、确定
及
所在的象限
【例3】 若α是第二象限角,则2α,
分别是第几象限的角?
【类题通法】
1.nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限,先求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可.
2.
所在象限的判断方法
已知角α所在象限,要确定角
所在象限,有两种方法:
(1)用不等式表示出角
的范围,然后对n的取值分情况讨论:
被n整除;被n除余1;被n除余2;…;被n除余n-1.从而得出结论.
(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它们与坐标轴把周角分成4n个区域.从x轴非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域,就是根据α终边所在的象限确定
的终边所落在的区域.如此,
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.
【对点训练】已知角α为第三象限角,试确定角2α,
是第几象限角.
题型四轴线角与象限角
1.终边落在x轴正半轴上角的集合_________________
2.终边落在x轴负半轴上角的集合_________________
3.终边落在y轴正半轴上角的集合_________________
4.终边落在y轴负半轴上角的集合_________________
5.终边落在x轴上角的集合_________________
6.终边落在y轴上角的集合_________________
7.终边落在坐标轴上角的集合_________________
8.
________________
9.
_______________________
10.
______________________
11.第一象限角的范围:
__________________
12.第二象限角的范围:
__________________
13.第三象限角的范围:
__________________
14.第四象限角的范围:
__________________
【知识梳理】
1.角度制与弧度制
(1)角度制.
①定义:
用度作为单位来度量角的单位制.②1度的角:
周角的______作为一个单位.
(2)弧度制.
①定义:
以_____作为单位来度量角的单位制.
②1弧度的角:
长度等于______的弧所对的圆心角.
2.任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个_____,负角的弧度数是一个_____,零角的弧度数是0.
3.角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=
.
4.弧度与角度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°=___rad
2πrad=_____
180°=____rad
πrad=_____
1°=_____rad≈0.01745rad
1rad=_____≈57.30°
5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
6.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l=_____
l=____
扇形的面积
S=_____
S=_____=______
【常考题型】
题型一、角度与弧度的换算
【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度:
(1)72°;
(2)-300°;(3)2;(4)-
.
【类题通法】角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式πrad=180°是关键,由它可以得到:
度数×
=弧度数,弧度数×
=度数.
【对点训练】
已知α1=-570°,α2=750°,β1=
,β2=-
.
(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角;
(2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内,找出与它们有相同终边的所有角.
题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例2】
(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,则扇形的面积为________.
(2)已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在圆的周长,那么扇形的圆心角是多少弧度?
面积是多少?
【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=
lr=
|α|r2
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
注意:
运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.
【对点训练】已知扇形的周长是30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?
最大面积是多少?
题型三、用弧度制表示角的集合
【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一.
(2)表示角的集合时,可先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为
.
在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
【对点训练】以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
其他重要例题
1.在下列各组中,终边不相同的一组是()
A.600和
B.2300和9500C.10500和
D.10000和800
2.下列各角中,与60°角终边相同的角是()
A.
B.
C.
D.
3.
,则
____________
4.若角α=2014°,则与角α具有相同终边的最小正角为________,最大负角为________.
半期考试补救
例1已知函数
,
(1)若
,求函数的最值;
(2)若
,求函数的最值;
(3)若
,求函数的最值;(4)若
,求函数的最小值;
(5)
,求函数的最大值。
练习:
(1)已知
,求函数
在区间
上的最大值。
(2)已知
,求二次函数
的最值。
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- 关 键 词:
- 任意 弧度
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