届二轮文科数学坐标系与参数方程 专题卷全国通用.docx

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届二轮文科数学坐标系与参数方程专题卷全国通用

专题对点练26　坐标系与参数方程（选修4—4）

1.（2018全国Ⅰ,理22）在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

（1）求C2的直角坐标方程;

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

2.（2018全国Ⅱ,理22）在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（θ为参数）,直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）求C和l的直角坐标方程;

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2）,求l的斜率.

3.在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为（t为参数）,直线l2的参数方程为（m为参数）.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程;

（2）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:

ρ（cosθ+sinθ）-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

4.（2018江苏,21C）在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.

5.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（θ为参数）,直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）若a=-1,求C与l的交点坐标;

（2）若C上的点到l距离的最大值为,求a.

6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（其中φ为参数）,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα·cosθ-sinθ）=1α为常数,0<α<π,且α≠,点A,B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点.

（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标.

7.已知曲线C1的参数方程是（φ为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.

（1）求点A,B,C,D的直角坐标;

（2）设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.

8.已知曲线C的参数方程为（θ为参数）,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.

（1）求曲线C'的极坐标方程;

（2）若过点A（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求的值.

答案：

1.解:

（1）由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为（x+1）2+y2=4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（-1,0）,半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.

经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.

2.解:

（1）曲线C的直角坐标方程为=1.

当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,

当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程

（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0,①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.

又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.

3.解:

（1）消去参数t得l1的普通方程l1:

y=k（x-2）;消去参数m得l2的普通方程l2:

y=（x+2）.

设P（x,y）,由题设得

消去k得x2-y2=4（y≠0）.

所以C的普通方程为x2-y2=4（y≠0）.

（2）C的极坐标方程为ρ2（cos2θ-sin2θ）=4（0<θ<2π,θ≠π）.

联立

得cosθ-sinθ=2（cosθ+sinθ）.

故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2（cos2θ-sin2θ）=4得ρ2=5,

所以交点M的极径为.

4.解:

因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,

所以曲线C是圆心为（2,0）,直径为4的圆,因为直线l的极坐标方程为ρsin=2,

则直线l过A（4,0）,倾斜角为,

所以A为直线l与圆C的一个交点,

设另一个交点为B,则∠OAB=.

连接OB.

因为OA为直径,从而∠OBA=,

所以AB=4cos=2.

因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.

5.解:

（1）曲线C的普通方程为+y2=1.

当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

由

解得

从而C与l的交点坐标为（3,0）,.

（2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点（3cosθ,sinθ）到l的距离为d=.

当a≥-4时,d的最大值为.

由题设得,所以a=8;

当a<-4时,d的最大值为.

由题设得,所以a=-16.

综上,a=8或a=-16.

6.解:

（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数）,普通方程为+y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα·cosθ-sinθ）=1,

直角坐标方程为xtanα-y-1=0.

（2）C2的参数方程为（t为参数）,

代入+y2=1,得t2-2tsinα=0,

∴t1+t2=,t1t2=0,

∴|AB|=

=.

∵0<α<π,且α≠,

∴sinα∈（0,1）,

∴|AB|max=,此时B的坐标为.

7.解:

（1）由已知可得A,

B,

C,

D,

即A（1,）,B（-,1）,C（-1,-）,D（,-1）.

（2）设P（2cosφ,3sinφ）,令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].

8.解:

（1）C:

=1,将代入C的普通方程可得x'2+y'2=1.

因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':

ρ=1.

（2）点A的直角坐标是A,将l的参数方程代入x2+y2=1,可得4t2-6t+5=0,

∴t1+t2=,t1·t2=,

∴.