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14数学全国教师19文
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十九)
第十九单元 统计、统计案例
(120分钟 150分)
临界值表:
p(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:
K2=
(其中n=a+b+c+d),
=
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.一个纸盒中装有70个乒乓球,编号依次为1,2,3,…,70,现用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知抽取球的编号为6,20,48,62,那么还有一个球的编号应为
A.16 B.28C.34D.36
解析:
根据已抽取球的编号知系统抽样间隔为14,故还有一个球的编号为34.
答案:
C
2.为了研究重量x(单位:
克)对弹簧长度y(单位:
厘米)的影响,李华对不同重量的6根弹簧进行了四次相关性试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m,如下表:
第一次
第二次
第三次
第四次
r
0.92
0.88
0.79
0.95
m
117
122
134
114
则体现了重量与弹簧长度有更强的线性相关性的试验是
A.第一次B.第二次C.第三次D.第四次
解析:
相关系数越大、残差平方和越小,两变量的相关性越强.
答案:
D
3.容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分为8组,如下表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
17
13
12
9
若要在第3组和第7组中用分层抽样的方法,抽取8个数据,则第3组中应抽取
A.3B.4C.5D.6
解析:
x=100-(10+13+14+17+13+12+9)=12,又第7组数据为12个,所以第3组中应抽取4个.
答案:
B
4.某产品广告费支出x(单位:
万元)与销售额y(单位:
万元)之间满足的回归直线方程为
=6.5x+15.6,则以下说法正确的是
A.广告费支出每减少1万元,销售额下降15.6万元
B.广告费支出每增加1万元,销售额增加6.5万元
C.广告费支出每增加1万元,销售额下降15.6万元
D.广告费支出每减少1万元,销售额增加6.5万元
解析:
回归直线的斜率为6.5,所以x每增加1,y增加6.5,即广告费支出每增加1万元,销售额增加6.5万元.
答案:
B
5.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为
A.20B.30
C.40D.50
解析:
前3组的频率之和等于1-(0.0125+0.0375)×5=0.75,第2小组的频率是0.75×
=0.25,设样本容量为n,则
=0.25,即n=40.
答案:
C
6.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是
A.①②④B.①③C.②③D.②④
解析:
①是一条平滑的曲线,具有确定性的关系;③的各点几乎没有规则;②④的各点分布在一条直线(或曲线)附近,具有相关关系,故选D.
答案:
D
7.下列四个命题中,正确的是
A.人的年龄与其拥有的财富之间具有相关关系
B.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过1%的情况下,有把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时,我们说某一个人吃地沟油,那么他有99%的可能患胃肠癌
C.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过5%的情况下,有把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时,是指有少于5%的可能性使得推断吃地沟油与患胃肠癌有关系出现错误
D.已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的回归直线方程为
=2x+
若样本点(r,2)与(2,s)的残差相同,则有s=-2r+3
解析:
对于A,人的年龄与其拥有的财富之间不具有相关关系;对于B,在犯错误的概率不超过1%的情况下,有把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系,但并不代表若某一个人吃地沟油,他有99%的可能患胃肠癌;C是正确的;对于D,由2-(2r+b)=s-(2×2+b)⇒s=-2r+6.
答案:
C
8.李华统计了他家的用电量,得到了月份x与用电量y的一个统计数据表,如下:
月份x
2
4
3
5
用电量y(度)
26
47
39
60
根据上表可得回归方程
=
x+
中的
为11,据此模型预计6月份用电量的度数为
A.69.5B.64.5C.70.5D.66.8
解析:
因为
=
=3.5,
=
=43,
=43-11×3.5=4.5,
所以
=11x+4.5,当x=6时,
=11×6+4.5=70.5,故选C.
答案:
C
9.某汽车组装工厂在2013年3月份共组装了108辆汽车,81辆客车,81辆小轿车,在出厂前进行验收,需要从它们中间抽取一个容量为10的样本,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时,将车辆按汽车、客车、小轿车依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将车辆统一随机编号为1,2,…270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270,
关于上述样本的下列结论中,正确的是
A.②、③都不能为系统抽样
B.②、④都不能为分层抽样
C.①、④可能为系统抽样
D.①、③可能为分层抽样
解析:
③的间隔为27,可为系统抽样,故A错;④的第一个数为30,不符合系统抽样,因为间隔为27,④的第一个数应该为1~27,故C错;②若采用分层抽样,汽车、客车、小轿车的辆数比例应为4∶3∶3,由于共抽取10辆,所以汽车、客车、小轿车分别抽取4辆、3辆、3辆,即在1~108要有4个编号,在109~189和190~270要各有3个编号,②符合要求,是分层抽样,故B错.
答案:
D
10.在某中学举行的跳高比赛选拨赛中,甲和乙进行了5次比赛,他们的成绩用如图所示的茎叶图表示,则下列说法正确的是
A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高,甲比乙成绩稳定
B.甲的平均成绩比乙的平均成绩低,乙比甲成绩稳定
C.甲的平均成绩与乙的平均成绩一样,但甲比乙成绩稳定
D.甲的平均成绩与乙的平均成绩一样,但乙比甲成绩稳定
解析:
=
(98+99+105+115+118)=107,
=
(95+106+108+112+114)=107,
=
[(98-107)2+(99-107)2+(105-107)2+(115-107)2+(118-107)2]=66.8,
=
[(95-107)2+(106-107)2+(108-107)2+(112-107)2+(114-107)2]=44.
答案:
D
11.为了了解学生对新课程改革的满意情况,有关教育部门对某中学的100名学生随机进行了调查,得到如下的统计表:
满意
不满意
合计
男生
50
女生
15
合计
100
已知在全部100名学生中随机抽取1人对课程改革满意的概率为
.
参照附表,得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过0.1%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情况与性别有关
B.在犯错误的概率不超过0.1%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情况与性别无关
C.在犯错误的概率不超过0.5%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情况与性别有关
D.在犯错误的概率不超过0.5%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情况与性别无关
解析:
填表如下:
满意
不满意
合计
男生
50
5
55
女生
30
15
45
合计
80
20
100
k=
≈9.091>7.879,
所以在犯错误的概率不超过0.5%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情况与性别有关.
答案:
C
12.某果林培育基地从其培育的一批幼苗中随机选取了100株,测量其高度(单位:
厘米),并将这些数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从高度在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的幼苗中,用分层抽样的方法选取30株送给友好单位,则从高度在[140,150]内的幼苗中选取的株数应为
A.4B.5C.6D.8
解析:
因为(0.005+0.010+0.020+0.035+a)×10=1,所以a=0.03.
因为高度在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的株数分别为
0.03×10×100=30,0.02×10×100=20,0.01×10×100=10株,
所以从高度在[140,150]内的株数中应选取
×30=5株,故选B.
答案:
B
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.某工人截取了长度不等的钢筋100根,其部分频率分布表如图,已知长度(单位:
cm)在[25,50)上的频率为0.6,则估计长度在[35,50)内的根数为 .
分组
[20,25)
[25,30)
[30,35)
频数
10
15
20
解析:
因为[25,50)上的频率为0.6,所以频数为0.6×100=60,故长度在[35,50)内的根数为60-15-20=25.
答案:
25
14.某公司新研究了一种预防白菜腐烂的药,为了考查这种药物的效果,工作人员对一地里的白菜进行了实验,得到如下的一组数据:
腐烂
未腐烂
总计
用药
10
45
55
没用药
20
30
50
总计
30
75
105
因此,在犯错误的概率不超过 %的情况下,我们有把握认为这种药起到了预防白菜腐烂的效果.
解析:
k=
=6.109>5.024.
答案:
2.5
15.某动物园新添了2只幼子梅花鹿,饲养员在半年内对其分别称重9次,得到小梅花鹿甲与乙的重量(单位:
千克)的茎叶图,如图,则甲、乙两只小梅花鹿重量的平均数之和为 .
解析:
本题考查了对茎叶图的识图能力以及对平均数的计算能力.由茎叶图可知两组数据分别是甲:
19,20,21,23,24,31,32,33,37,所以平均数为
=
;乙:
10,10,14,24,26,30,44,46,46,所以平均数为
=
所以两平均数之和为
+
=
.
答案:
16.某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量
130
由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染得看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是 .
解析:
设样本的总容量为x,则
×1300=130,∴x=300.
∴A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).
设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,∴y=80.
∴C产品的数量为
×80=800.
答案:
800
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
某中学要从高三年级中选出一名同学参加省里举行的化学试验竞赛,经过分组选拨,最后甲和乙两位同学入围,学校决定进行五次试验比赛确定最终人选,已知甲五次试验的得分情况分别为5,8,9,9,9;乙五次试验的得分情况分别为6,7,8,9,10.你认为选出哪位同学参加竞赛比较合适些?
解析:
因为甲5次成绩的平均得分为
=8,
方差
=
=2.4;4分
乙5次成绩的平均得分为
=8,
方差
=
=2.8分
所以
>
所以乙的成绩比较稳定些,故让乙同学去参加竞赛比较合适些.10分
18.(本小题满分12分)
某学校共有高一、高二、高三学生2000名,各年级男、女生人数如下图:
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在高三年级抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.
解析:
(1)由已知有
=0.19,∴x=380.2分
(2)由
(1)知高二男女生一起750人,又高一学生750人,所以高三男女生一起500人,按分层抽样,高三年级应抽取
×500=12人.6分
(3)因为y+z=500,y≥245,z≥245,所以基本事件有:
y=245,z=255;y=246,z=254;y=247,z=253;y=248,z=252;y=249,z=251;y=250,z=250;y=251,z=249;y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245,一共11个基本事件.
其中女生比男生多,即y>z的基本事件有:
y=251,z=249;y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245,共有5个基本事件,
故女生比男生多的事件概率为
.12分
19.(本小题满分12分)
随着经济社会的发展,消费者对食品安全的关注度越来越高,通过随机询问某地区110名居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容,得到如下的列联表:
60岁以下
60岁以上
总计
看生产日期与保质期
50
30
80
不看生产日期与保质期
10
20
30
总计
60
50
110
(1)从这50名60岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各有多少名?
(2)根据以上列联表,在犯错误的概率不超过1%的情况下,是否有把握认为“该地区居民的年龄与在购买食品时是否看生产日期与保质期”有关?
解析:
(1)根据分层抽样可得:
样本中看生产日期与保质期的60岁以上居民有
×30=3名,样本中不看生产日期与保质期的60岁以上居民有
×20=2名.6分
(2)根据题中的列联表得k=
=
≈7.486,9分
又P(K2≥6.635)=0.010,
所以在犯错误的概率不超过1%的情况下,有把握认为“该地区居民的年龄与在购买食品时是否看生产日期与保质期”有关.12分
20.(本小题满分12分)
某养猪厂计划将重量为25kg到50kg的10000头猪向外出售,现从中随机抽取了100头猪进行称重,已知这些猪的重量的频率分布表及不完整的频率分布直方图(如图).
分组(单位:
cm)
频数
频率
[25,30)
5
0.05
[30,35)
①
0.20
[35,40)
35
②
[40,45)
30
0.30
[45,50]
10
0.10
(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?
并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这10000头猪中重量在[35,45)的头数;
(2)在抽出的100头猪中按重量再采用分层抽样法从中抽取20头,求重量低于35kg的猪的头数.
解析:
(1)由各个频数之和为100,可知①处的数字为100-5-35-30-10=20.
由各个频率之和等于1,可知②处的数字为1.00-0.050-0.200-0.300-0.100=0.35.2分
补全频率分布直方图,如图所示:
故10000头猪中重量在[35,45)的频率为0.30+0.35=0.65,头数为0.65×10000=6500(头).7分
(2)由
(1)可知各重量段头数的比例为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2,所以重量在35kg下的头数为20×
=5(头).12分
21.(本小题满分12分)
下表是某地一家超市在2014年一月份某周的时间x与每天获得的利润y(单位:
万元)的有关数据.
时间x
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
利润y
2
3
5
6
9
(1)画出数据对应的散点图;
(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程
=
x+
;
(3)估计星期日获得的利润为多少万元.
解析:
(1)由x、y的数据可得对应的散点图为
从上图可知,这些点大致分布在一条直线附近,
故时间x与获得的利润y(万元)线性相关关系显著.5分
(2)
=
=4,
=
=5,
=
=1.7,所以
=
-
=-1.8,所以
=1.7x-1.8.10分
(3)当x=7时,
=1.7×7-1.8=10.1(万元),
所以星期日估计获得的利润为10.1万元.12分
22.(本小题满分12分)
为对考生的月考成绩进行分析,某地区随机抽查了10000名考生的成绩,根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图.
(1)求成绩在[600,650)的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析成绩与班级、学校等方面的关系,必须按成绩再从这10000人中用分层抽样方法抽出20人作进一步分析,则成绩在[550,600)的这段应抽多少人?
解析:
(1)成绩在[600,650)的频率为0.003×(650-600)=0.15.2分
(2)因为0.002×(450-400)=0.1,0.004×(500-450)=0.2,
0.005×(550-500)=0.25,0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,
所以,样本数据的中位数为500+
=500+40=540(分).7分
(3)成绩在[550,600)的频率为0.005×(600-550)=0.25,
所以10000名考生中成绩在[550,600)的人数为0.25×10000=2500(人),
再从10000人用分层抽样方法抽出20人,则成绩在[550,600)的这段应抽取
20×
=5人.12分
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