高等数学函数与极限习题及解答.docx
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高等数学函数与极限习题及解答
练习1-1
(2)∕(∕n5S)W)∙
证明因为j∈∕(∠4nB)∑∑>3x≡AnB.使用片0(因为x"且XEB)yef(Λ)^ye/(B)=>j∈AJ)r√(B),所以血c‰U)c∕(叭
4.设映射fιX→Yy若存在一个映射g.Y→X.使S-f=Ix5f-g=ιγ,其中《、“分别是x、y上的恒等映射,即对于每一个xwX,有ZYXnc;对于每一个ywlζ有b>⅛=y.证明:
/是双射,且g是/的逆映射:
g=f~x.
证明因为对于任意的JVgE有
X=g(y)eY,且^X)=f[g(y)]=Iyy=y1
即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以/为X到Y的满射.
又因为对于任意的X1≠X2,必有.Λχl)≠Λx2)5否则若
用1)*2)=>g[金1)]=£[/(兀2)]=>工1=Xl・因此/既是单射,又是满射,即/是双射.
对于映射g:
IX,因为对每个ywE有曲0三尤且满足]=∕^=Λ按逆映射的定义,S是/的逆映射.
5.设映射f.X→Y,A^X.证明:
(IrIm)=>4;
证明因为
Xe^=>∕{τ)=ye∕C4)
所以厂血)i.
(2)当/是单射时,有Γ1(∕(^)M・
证明由⑴知广1弘))=皿
另一方而,对于任意的xef~γ{f(A)∖存在yef(A∖使/-1(F)=X⊂>∕(x)=y.
因为炸/⑷且/是单射,所以“4这就证明了广)(/⑷口・因此广1(/⑷匕力.
6.求下列函数的自然定义域:
(l)y=V3x+2;
解由3x+2≥O得x>-∣,故函数的定义域为Z>=[-∣,+oo).
解由I-Fho得如±1,故函数的定义域为z‰(-00,-IM-Ij])u(l,-H0).
⑶丿=丄-JI-X2;
X
解由x≠0且1-√>O得函数的定义域D=[-l,O)U(0,1].
解由4→2>0^IXl<2,故函数的定义域为D=(-2,2).
(5)j∕=sin√x;
解由空O得函数的定义D=[0,+o□).
解⅛x÷1≠∣(^±13±25.∙.)得函数的定义域为XH后+号-1(α=0j,±l,±2,…).
(7)戶arcsing-3);
解由IX-3∣≤1得函数的定义域D=[2,4].
(8)>,=√3-x+arctan—;
解由3-x≥0且x≠0得函数的定义域D=(-∞,OM0,3).
⑼TI如);
解±x+l>O得函数的定义域P=(-19+∞X
1
(IO)尸尹.
解±x≠0得函数的定义域6(-00,0)u(0,+00).
7.下列各题中,函数、冷)和蛉)是否相同?
为什么?
(l)∕(x)≡lgx2,4g(x)≡21gx;
解不同.因为定义域不同.
⑵/(兀)=七g(x)=V?
;
解不同.因为对应法则不同,无<0时,g(x)=-兀.
⑶f(x)=l∕^(X)=X^[x^i;
解和同.因为定义域、对应法则均相相同.
(4MX)=I,g(x)=sec2x-tai^x.
解不同.因为定义域不同.
并作出函数片於)的图形.
解61=|»
”却雋碍,0(违)=fsin(-却I=乎,
*2)=0.
9・试证下列函数在指定区间内的单调性:
⑴p=⅛gi);
证明对于任意的Xl,X2∈(-∞,1),有I-XIAO,1-兀2>0・因为当H1 XlX2X1-X2n 所以函数尸严∕ι⅛∣ιl](-∞,1)内是单调增加的・ ■I-X (2)y=x+lnx,(0,+□o). 证明对于任意的Xl9X2∈(0,+∞λ当工1VC2时,有 j∕∣-y2=(x1+lnx∣)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+ln- 所以函数j⅛τ+lnx在区间(0,+□o)内是单调增加的. io.设yu)为定义在(-M内的奇函数,若沧)在(0』内单调埠加,证明金)在(-/,0)内也单调增加・ 证明对丁VXI,兀2丘(-仃0)且X1 2) 这就证明了对于∀-Π5X2∈H,O)3有XXI)<Λ^2)5所以用)在HOM也单调增加. 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的,证I (1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数; 证明设F(X)=Λχ)+g(χ).如果/&)和g(χ)都是偶函数,则 F(FMF)+g(τ)g)+矗)=Fg所以F(H)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数. 如果用)和的都是奇函数,则 F(Tr上心)+g3二*M兀)==F(Q所以Fa)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数・ (2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明设F(x)=f(xyg(x∖如果Λr)和能)都是偶函数,则F(-xM-兀)∙g(-x)∕X)∙g(x)=F(Q所以Fa)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数. 如果压)和me都是奇函数7则 F(→)=∕(-x)g(-Λ)=[√{x)][-g(x)]√(x)∙g(x)=F(x)9所以Fa)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数・如果用)是偶函数,而g(x)是奇函数,则 F(-x>√(-兀)g(-xM>)[-曲)]=√(h)於)=-F(Q所以F(Q为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇目数又菲偶函数? {l)y=x2(l-x2); {2)y=3x2-x3; ⑶尸 解因为Λ→X→)2[l-(→)2]^x2(1→2Mx),所以√(x)是偶函 I-X2.l+x29 (4]yw(x-I)(X+1); 解因为 X-X)=(-x)(-X-1)(-x+1)=-x(x+I)(X-I)=-flx∖所以咒0是奇函数. (5)y=sinx-cosx+1; 解由∕{-x)=SirI(-工)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可见√(v)既? 数又非偶函数, (6)尸¥ 解因为-*(小所以是偶函 13.下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (l)y=cos(x-2); 解是周期函数,周期为l=2π. (2)y=cos4x; 解是周期函数,周期为/=乡. (3)y=l+sinπv; 解是周期函数,周期为1=2. (4]y=xcosx; 解不是周期函数. (5)y-siι∕x. 解是周期函数,周期为僅兀 14.求下列函数的反函数: (l)y=Vjc+l;解由尸炖得 x=√-l, 所以y=l∕^∖的反函数为 y=x3-l. 解由尸昙得 一1一丿 X~u7, 所以v=⅛的反函数为 1+x (^y=^±^(ad-bc≠O);cx+a 解由P=空毘得 CX+d (4)严2sin3x; 解由y=2sinSx得 1-y X=—arcsm⅛-. 32 所以y=2sinlr的反函数为 1X βy=-arcsin^. (5)尸l+ln*+2); 解由*l+ln*+2)得 所以y=l十ln&十2)的反函数为y=ex^l-2. 解由少=莞? 得 X=Iog2FL,ι-y 所以尸丄的反函数为 2x+l P=Iog2 15.设函数金)在数集X上有定义试证: 函数庄)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界・ 证明先证必要性. 设函数TIH)在X上有界,则存在正数M使∖f(x)∖≤M9即-Mg)≤M 这就证明了心)在X上有下界-M和上界M.再证充分性 设函数刃>)在X上有下界Kl和上界心,即KIg)≤K2. 取M=UmX{Kι∣,KT},则 -M 16. 在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值Xi和Xi的函数值: j2=siπ(2∙^)=sι∩y=L 解y=sin2v,I=Sin(2∙-^)=Sm^=^ (3)y=y∕^i9U==I+x9Xl=IS兀2=2; 解y=y∕l+x29jμ1=71+l2=V2,y2=∖∕l+22=√5a (4)JfeeM9u=x29Xi=0,x2=l; 解y=eχ25y↑=e°2=15j∕2=^I2=e- nII (5)y=u,,xι=l9%2=-l. 解2j5yι=e2,1=e2,j2=^2^"1^=e^2β 17.设沧)的定义域D=GU求下列各函数的定义域: (Iw); 解由O≤r2≤l得 IXld ⑵.AsiiK); 解由OSSinXSl得2nπ≤x<(2n+1)π(∕ι=0,±1,±2・・・),所以函数爪血)的定义域为 ⑵忆(2h+1)∕γ](h=O? +1,土2…)・ ⑶Λ*)(QO); 解由O≤τ+QSl得-a≤x<1-Zi,所以函数βx+a)的定义域为[-a,∖-a∖. ⑷刃χ+d)t∕H)(U〉o)・ 解由O≤τ+6r≤l且O≤x-α≤l得: '"ι0<π
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