高等数学公式大全完整版.docx
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高等数学公式大全完整版
高等数学公式
导数公式:
(tgx)secx
(ctgx)cscx
(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx
(ax)axlna
(logax)—
xlna
(arctgx)
(arcctgx)
(arcsinx)
(arccosx)
1
1x2
1
1x2
2aax
arcsin仝C
a
chxdxshxC
基本积分表:
tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx
~22
ax
dx
-22
xa
dx
-22
ax
dx_
/22
ax
IncosxC
InsinxC
InsecxtgxC
IncscxctgxC
sec2xdxtgxC
2
cscxdxctgxC
2
0
sin
nxdx
2
n
cos
0
xdx
2
2‘
x2
2
x
a
dx
-■-x
2
a
2x
a
2dx
x2-x
2
2a
2
2
x2
2
a
x
dx
■■■.a
x
2
In
2a一In(x
2
Inx
2
x2a2)C
2
a.xarcsinC
2a
三角函数的有理式积分:
、\函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
90°a
cosa
sina
ctga
tga
90°a
cosa
-sina
-ctga
-tga
180°a
sina
-cosa
-tga
-ctga
180°a
-sina
-cosa
tga
ctga
270°a
-cosa
-sina
ctga
tga
270°a
-cosa
sina
-ctga
-tga
360°a
-sina
cosa
-tga
-ctga
360°a
sina
cosa
tga
ctga
arthx
三角函数公式:
•诱导公式:
和差角公式:
•和差化积公式:
sin(
)sin
cos
cos
sin
sin
sin
2sin
cos
2
2
cos(
)cos
cos
sin
sin
tg(
),g
tg
sin
sin
2cos
2
-sin
2
1tg
tg
cos
cos
2cos-
cos-
ctg(
)ctg
ctg
1
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
•倍角公式:
-半角公式:
•反三角函数性质:
arcsinxarccosx
2
高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:
n
(uv)(n)C:
u(nk)v(k)
k0
(n)(n1)n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)(n)
uvnuvuvuvuv
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
f(a)f()(ba)
柯西中值定理:
丄型
f(a)
f()
F(b)
F(a)
F()
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理
曲率:
弧微分公式:
ds1y2dx,其中ytg
s:
MM弧长。
平均曲率:
K.:
从M点到M点,切线斜率的倾角变化量;
M点的曲率:
Klim|—I_卜
s0s||ds|Q(iy2)3
直线:
K0;
半径为a的圆:
K-.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法:
f(x)
a
(yo
yi
yn1)
bb梯形法:
f(x)
a1
[(y0
yn)
y1
a
n2
b
抛物线法:
f(x)
ba
[(y。
yn)
2(y2
a
3n
ynl]
y4
yn2)4(yiy3
yn1)]
定积分应用相关公式:
功:
W
水压力:
Fs
FpA
引力:
F丿叮2*为引力系数
r
1b
函数的平
F均值:
yf(x)dx
baa
均方根:
Jb1心)出
ba
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
dM1M2丫(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影:
PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。
Prju(aia2)PrjaiPJa?
代表平行六面体的体积
二次曲面:
1、
椭球面:
2、
抛物面:
2x~2a
2
x
2p
2
y_
b2
y2
2q
乙(p,q同号)
3、
双曲面:
22
单叶双曲面:
务每
ab
22双叶双曲面:
务芯
ab
多元函数微分法及应用
全微分:
dz—dx—dyxy
全微分的近似计算:
zdz
多元复合函数的求导法:
du—dx—dy—dzyz
fy(x,y)y
X
fx(x,y)x
pl—
z
u
zv
Zf[u(t),v(t)]二-
dt
u
t
vt
z
z
uzv
Zf[u(x,y),v(x,y)]
X
u
XvX
当uu(x,y),vv(x,y)时,
du—dx—dydv
v
dx
:
—dy
xy
X
y
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)0,也
Fx
dx
卜y
dxx
隐函数F(x,y,z)0,—
Fx
1
ZFy
X
Fz
yFz
隐函数方程组:
F(x,y,u,v)
0
J(F,G)
G(x,y,u,v)
0
(u,v)
u1(F,G)
v
1
(F,G)
XJ(x,v)
X
J
(u,x)
u1(F,G)
v
1
(F,G)
yJ(y,v)
y
J
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x(t)
空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0
)处的切线方程:
z(t)
在点M处的法平面方程:
(to)(x
xo)(to)(y
F
y。
)
xXo
(to)
u
G
u
F
v
G
v
Fu
Gu
Fv
Gv
y。
(to)
zZo
(to)
(to)(ZZo)0
FyFz
GyGZ
FzFxFGzGX,G
若空间曲线方程为:
F(x,y,z)o,则切向量t{
G(x,y,Z)o
曲面F(x,y,z)o上一点M(Xo,y°,Zo),则:
过此点的法向量:
n{Fx(x°,yo,Zo),Fy(x°,y°,z°),Fz(x°,y°,Zo)}过此点的切平面方程:
Fx(Xo,y°,z°)(xXo)Fy(Xo,y°,Zo)(yy°)
2、
3、
过此点的法线方程:
XXo
yy。
zZo
Fx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo,yo,Zo)Fz(Xo,y°,Zo)
Fy
Gy
Fz(Xo,yo,Zo)(zZo)0
方向导数与梯度:
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为:
——cos—sin
lxy
其中为x轴到方向I的转角。
函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)—i—j
xy
它与方向导数的关系是:
-fgradf(x,y)e,其中ecosisinj,为I方向上的
单位向量。
f是gradf(x,y)在I上的投影。
f(x,y)dxdy
D
f(rcos
D
rsin)rdrd
曲面zf(x,y)的面积A
1z2
x
2
dxdy
平面薄片的重心:
x匹
M
x(x,y)d
D
(x,y)d
My
M
D
平面薄片的转动惯量:
对于x轴IX
(x,y)d,
y(x,y)d
D
(x,y)d
D
对于y轴Iy
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a
0)的引力:
(x,y)xd
D(x2y2
柱面坐标和球面坐标:
3,
a2)'
Fy
(x,y)yd
3?
D(x2y2a2)2
Fz
2
x(x,y)d
D
{Fx,Fy,Fz},其中:
(X,y)xd
3
22J
ya)
fa—
D(x2
多元函数的极值及其求法:
设fx(xo,yo)
fy(xo,y°)0,令:
fxx(Xo,y°)A,fxy(x°,yo)B,fyy(x°,yo)C
AC
B2
口斗A
0时,
0,(Xo,yo)为极大值
A
o,(xo,y。
)为极小值
则:
AC
B2
0时,
无极值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用:
球面坐标:
y
rsinsin,
dv
rdrsin
d
2
drrsindrdd
z
rcos
)r2
2
r(,)
f(x,y,z)dxdydzF(r,
sindrdd
d
2
dF(r,,)rsin
dr
0
00
重心:
x1
M
xdv,y
1
M
ydv,z
1
M
zdv,其中M
xdv
转动惯量:
1x
22、
(yz)
dv,
Iy(x2
2z
)dv,Iz(x2
y2)dv
曲线积分:
其中:
F(r,,z)f(rcos,rsin,z)
xrsincos
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
(t)
(t),
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
QP
在一=一时,PdxQdy才是二兀函数u(x,y)的全微分,其中:
xy
(x,y)
u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。
(x0,yo)
Dxy
R(x,y,z)dxdy
R[x,y,z(x,y)]dxdy取曲面的上侧时取正号;
Dxy
P(x,y,z)dydz
P[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前侧时取正号;
Dyz
Q(x,y,z)dzdx
Q[x,y(z,x),z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
Dzx
对坐标的曲面积分:
P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:
两类曲面积分之间的关系:
PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds
高斯公式:
PQR
()dv:
-PdydzQdzdxRdxdy二(PcosQcosRcos)ds
xyz
散度:
..P
div
Q
R,即:
单位体积内所产生
的流体质量,若div
x
y
z
通量:
Ands
Ands
(PcosQcosRcos
)ds,
—通量与散度:
高斯公式的物理意义
因此,高斯公式又可写成:
divAdv■Ands
0,则为消失
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:
(RQ)dydz(PR)dzdx
Q
(上
x
dxdy
—)dxdy
◎Pdx
cos
Qdy
cos
Rdz
yzz
:
x
dydz
dzdx
y
cos
上式左端又可写成:
—
—
—
—
—
—
x
y
z
x
y
z
P
Q
R
P
Q
R
空间曲线积分与路径无
关的条件:
-
R
Q
P
R
QP
y
z
z
x
xy
i
旋度:
rotA—x
P
常数项级数:
等比数列:
1qq2
等差数列:
23
调和级数:
--
23
级数审敛法:
1正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):
1时,级数收敛
设:
limnUn,则1时,级数发散
1时,不确定
2、比值审敛法:
1时,级数收敛
设:
lnimUn^,则1时,级数发散
Un1时,不确定
3、定义法:
snuu2un;limsn存在,则收敛;否则发散。
n
交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法莱布尼兹定理:
unun1
如果交错级数满足篇口0,那么级数收敛且其和sU1,其余项rn的绝对值rn|Un1nn
绝对收敛与条件收敛:
(1)u1u2un,其中Un为任意实数;
(2)U1U2U3Un
如果⑵收敛,则
(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果
(2)发散,而⑴收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
调和级数:
级数:
p级数
1发散,而』收敛;
nn
丄收敛;
n
1/p1时发散
npp1时收敛
幕级数:
1xx2
x3
|x1时,收敛于
对于级数(3)a0
a-|X
a2x2
数轴上都收敛,则必存
在R,
|x1时,发散
,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
R时收敛
R时发散,其中R称为收敛半径。
R时不定
n
anX
0时,R-
求收敛半径的方法:
设
lim
n
an1
an
其中an,an1是(3)的系数,则
n,
0时,R
时,R0
函数展开成幕级数:
函数展开成泰勒级数:
f(x)f(X°)(XX。
)f4x^(xx。
)2
2!
f%)(x
n!
n
Xo)
(n1)
余项:
Rn
(丄(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:
limRn
(n1)!
n
Xo
0时即为麦克劳林公式:
f(x)f(0)f(0)x丄乎x2
2!
f(n)(0)n
x
n!
些函数展开成幕级数:
m
(1x)
1mxm(mJ)x2
2!
m(m1)(mn1)n
x
n!
1x1)
sinxx
3x_3!
5x
5!
2n1
欧拉公式:
ix
ecosx
isinx
三角级数:
f(t)Ao
1)n1
X
(2n1)!
cosx
或
sinx
ix
e
2
ixix
ee
2
ixe
tn)a
Ansin(n
n1
aA0,anAnsinn,S
其中,a0
正交性:
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分=0。
傅立叶级数:
n,
(ancosnxbnsinnx)
n1
AnCOsn,tX。
sinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[
n,
f(x)
a0
2
(ancosnxbnsinnx),周期
n1
an
f(x)cosnxdx
(n0,1,2
其中
bn
f(x)sinnxdx
(n1,2,3
1
1尹
11
2242
1
孑
1
62
1
8
1
24
1
尸
1
22
1
歹
1
32
1
4"
1
2
——(相加)
6
2
一(相减)
12
正弦级数:
an
0,bn
f(x)sinnxdx
1,2,3
f(x)
余弦级数:
bn
0,an
f(x)cosnxdx
0
0,1,2
f(x)
bnsinnx是奇函数
■a°ancosnx是偶函数
2
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
a0nxnx用廿口
f(X)Q.㈡遡十皿.〒)'周期21
其中
「fgcosUdx
1
bn
l
1nx,
f(x)sindx
1
(n0,1,2)
(n1,2,3)
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0
可分离变量的微分方程:
一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:
g(y)dyf(x)dx得:
G(y)F(x)C称为隐式通解。
(x,y),即写成上的函数,解法:
x
—分离变量,积分后将—代替u,
(u)ux
齐次方程:
一阶微分方程可以写成也f(x,y)
dx
ydydudu,、dx
设u2,贝Uux,u(u),
xdxdxdxx
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程:
史P(x)yQ(x)
dx
当Q(x)0时,为齐次方程,y
当Q(x)0时,为非齐次方程,
P(x)dx
Ce
P(x)dx
y(Q(x)edx
P(x)dx
C)e
2、贝努力方程:
翌P(x)yQ(x)yn,(n0,1)
dx
二阶微分方程:
Q(x)y
f(x),
f(x)
f(x)
0时为齐次
0时为非齐次
全微分方程:
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:
du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:
」P(x,y),」Q(x,y)xy
u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)ypyqy0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1写出特征方程:
()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;
2、求出()式的两个根r,,r2
3、根据r,,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
r-i,r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根(p24q0)
nxex
ycec?
e
两个相等实根(p24q0)
y(gc2x)e"x
一对共轭复根(p24q0)
yex(GCOSxc2sinx)
r-i,Di
pJ4qp2
2,2
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf(x),p,q为常数
f(x)exPm(x)型,为常数;
f(x)ex[R(x)cosxFn(x)sinx]型
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