电磁场方程的物理解法.docx
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电磁场方程的物理解法
电磁场方程的物理解法
LT
(3)
其中=2为拉普拉斯算符。
方程组(3)中前者称为泊松(Poisson)方程。
该问题的解是存在的,而且满足唯一性定理和叠加原理。
为了得到上面方程的解,先考虑一个位于
处带单位电量的点电荷,其电势为
(4)
因此,一个位于
处带电量q的点电荷,其电势为
再考虑一个位于
处电荷密度为的体积元d',它可以看成电量为dq=d'的点电荷元,其电势为
(5)
而一般的电荷分布可以看成点电荷的集合,相应的电势为上式的叠加,即
(6)
可以验证解(6)式恰好满足方程组(3)式。
3静磁场矢势方程的物理解
由方程组
(1)知,对于静磁场,满足
,静磁场为无源场,故可以引入一矢势
来描述静磁场,它与磁感应强度之间的关系为
(7)
由于上式只确定了矢势
的旋度,故其散度
可以自由选择,为了使计算简便,这里取
(8)
上式称为库仑规范。
利用此规范,在无界的各向同性线性均匀介质中,矢势
所满足的定解问题为
(9)
可见,矢势
的每个直角分量也满足泊松(Poisson)方程。
与方程组(3)相比,我们发现只要取=1/ε,并把自由电流密度比作自由电荷密度,则矢势
与标势满足同样的定解问题,因此也具有同样形式的解,即
(10)
4一般电磁场标势和矢势方程的物理解
由方程组
(1)知,在一般的变化情况下,电场是有源和有旋的场,磁场和电场是相互作用着的。
方程组
(1)中第四式说明磁场为无源场,因此它可以表示为一个矢量场的旋度,我们把这个矢量场称为矢势,记为
,即
(11)
将上式代入
(1)的第一式,我们得到
(12)
这说明
为无旋场,因此它可以表示为一个标量场的梯度,我们把这个标量场记为,即
或
(13)
由此可知,把矢势
与标势作为一个整体来共同描述电磁场完全确定了电磁场的性质,但是电磁场并没有完全确定矢势与标势。
此时,为了使矢势和标势的方程具有对称性,通常取洛仑兹规范,即
(14)
利用此规范,在无界的各向同性线性均匀介质中,矢势和标势所满足的微分方程分别为
(15)
(16)
以上两式称为达朗贝尔(d’Alembert)方程。
一般来说,矢势和标势应该通过达朗贝尔方程来求解。
但是在无界的各向同性线性均匀介质中,我们可以用物理分析的方法得到矢势和标势。
先考虑方程(16)式,当自由电荷和电流分布不随时间变化时,标势也不随时间变化,所以其结果与(6)式相同。
当电磁场的传播速度v为无穷大时,则方程(16)式中对时间的导数项消失,此时方程变为静电势所满足的方程,相应的解也应该具有(6)式的形式,只是自变量中多了一个时间t。
由于方程(16)式中已经失去了对时间的导数项,因此t可以看成一个参数,而不是实质性变量。
即
(17)
上式说明假如电磁场的传播不需要时间,那么标势应该随着电荷分布的变化而同步变化,其形式与静电势相同。
现在电磁场的传播速度v为有限值,因此标势的变化应该比电荷分布的变化推迟一个传播时间R/v,即在t时刻的场量取决于t'时刻的电荷分布。
由于
(18)
于是(17)式应该修改为
(19)
上式称为推迟势。
可以严格地证明,推迟势(19)式恰好满足达朗贝尔方程方程(16)式。
类似地,达朗贝尔方程(15)的推迟势为
(20)
5时谐电磁场标势和矢势方程的物理解
在迅变情况下,电磁场以波动形式存在,变化着的电场和磁场互相激发,形成在空间传播的电磁波。
在很多实际情况下,电磁波的激发源往往以一定的频率作正弦振荡,因此会辐射出以该频率作正弦振荡的波,称为时谐电磁波,对应的场称为时谐电磁场。
此时电荷和电流的分布随时间作简谐变化时,即
(21)
上式称为时谐条件。
相应地,在时谐条件下,标势和矢势分别具有的形式为
(22)
令
,在无界的各向同性线性均匀介质中,达朗贝尔方程方程(15)和(16)式分别相应地转化为
(23)
(24)
上两式称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。
先考虑标势方程(24)式,综合(16)、(18)和(19)式,有
(25)
所以标势方程(24)式的解为
(26)
类似地,可以求得矢势方程(23)式的解为
(27)
6结论和展望
在电动力学的学习过程中,电磁场方程的求解问题是一大难点。
正确求解电磁场方程是学好电动力学的基础和关键。
通过上面典型的几类问题的求解,我们看到了解题方法和技巧的重要性。
利用已知的物理知识,结合半定量的物理分析,采用适当的科学方法不仅可以避开繁杂的数学推导,简化计算过程,降低学习难度,而且能灵活运用基础知识,形成正确、清晰的物理思路,深化对物理意义的理解,收到事半功倍的效果。
本文讨论的几类问题都基于无界的各向同性的线性均匀介质,对于真空中的情况,只需将介质中的磁导率
和电容率
替换为真空中的磁导率
和电容率
即可。
对于非各向同性、非均匀和非线性介质中的电磁场以及有界空间中相应的物理解,我们将另文研究。
参考文献
[1]虞福春、郑春开编著,电动力学(修订版)[M],北京:
北京大学出版社,2003
[2]郭硕鸿著,电动力学(第二版)[M],北京:
高等教育出版社,2003
[3]曹昌祺著,电动力学(第二版)[M],北京:
人民教育出版社,1962
[4][美]J.D.杰克逊珠,朱培豫译,经典电动力学(下册)[M],北京:
高等教育出版社,1980
[5]林璇英、张之翔编著,电动力学题解(第一版)[M],北京:
科学出版社,2003
[6]谢树艺著,矢量分析与场论(第二版)[M],北京:
高等教育出版社,1994
PhysicalSolutionofElectromagneticFieldEquation
LiuGuangdongNiZhixiang
(PhysicsDepartment,FuyangNormalCollege,Fuyang236032)
Abstract:
Inthispaper,weobtainvectorpotentialandscalarpotentialofstaticelectricfield、staticmagneticfieldandelectromagneticfieldinthenoboundaryisotropylinearsymmetricalmediumdirectlybyutilizingforegonephysicalknowledge,combiningquasi-quantitativephysicalanalysisandadoptingappropriatescientificmethods.
Keywords:
staticelectricfield;staticmagneticfield;electromagneticfield;scalarpotential;vectorpotential
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- 电磁场 方程 物理 解法