托勒密定理及西姆松定理.docx
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托勒密定理及西姆松定理
§4托勒密定理与西姆松定理
托勒密(∕Vo∕e/切定理:
圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
即:
定理:
在四边形ABCZ)中,有:
ABCD+ADBC≥ACBD证:
在四边^ABCD内取点E,^ZBAE=ZCAD,ZABE=ZACD
4RRF
贝Ij:
AABE和AACD相似A-一=——=>AB∙CD=ACBE
ACCD
ΛDΛJ7
乂•••——=-一HZBΛC=ZEAD:
.SABC和ΔAED相似ACAD
BCED
——=——GADBC=ACED
ACAD
ABCD+ADBC=AC(BE+ED)
・・・AB∙CD+ADBC≥ACBD
且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当久B、GD四点共圆时成立;并且当且仅当四边形ABCM接于圆时,等式成立;
一、直接应用托勒密定理
例1、如图2,P是正AABC外接圆的劣弧EC上任一点(不与B、C重合),
求证:
PA二PB+PC.
分析:
此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗.B若借助托勒密定理论证,则有PA∙BC二PB∙AC+PC∙AB,T
AB=BC=AC.
.∙.PA=PB+PC.
二、完善图形借助托勒密定理
例2、证明“勾股定理”:
在RtΔABC中,ZB=900,求证:
AC2=AB2+BC2
证明:
如图,作以RtΔABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD
是圆内接四边形.由托勒密定理有
AC∙BD=AB∙CD+AD∙BC.①
又-/ABCD是矩形,.∙.AB二CD,AD=BCJAC=BD.②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3、如图,在AABC中,上A的平分线交外接圆于D,连结BD,求证:
AD∙BC=BD(AB+AC).
证明:
连结CD5依托勒密定理有
AD・BC=AB∙CD+AC∙BD.
•/Z1=Z2,.∙.BD=CD.
故AD∙BC=AB・BD+AC∙BD=BD(AB+AC).
三、构造图形借助托勒密定理
例4若o、b、x、y是实数,且α2+b2=l,x2+y2=l.求证:
ax+by≤1.证明:
如图作直径AB二1的圆,在AB两边任作RtΔACB和RtAADB,使AC=O,BC二b,
BD=x,AD=y.
由勾股定理知。
、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理有
AC・BD+BC・AD=AB∙CD.
.,CD≤AB=1J.,.ax+by≤1.
四、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理例5、已知。
、bsC是AABC的三边,且a2=b(b+c),求证:
ZA=2∕B.
分析:
将a2=b(b+c)变形为a∙a=b∙b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个
等腰
梯形,使两腰为b,两对角线为O,—底边为c.
证明:
如图,作AABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、
DC、
DA.,.∙AD=BC,ACD=BDC:
.ZABD=ZBAC.又•/ZBDA=ZACB(对同弧),λ∕1=Z2.于是Bb=ACJ5J∣]BD=AC=b.
依托勒密定理有
BC∙AD=AB∙CD+BD∙AC.而已知a2=b(b+c),即a∙a=b∙c+b2.
比较①、②得CD=b=BD,CD=Bb,Z3=ZI=Z2.
.∙.ZBAC=2ZABC.
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6、在厶ABC中,已知ZA:
ZB:
ZC=I:
2:
4,
求证=
11_1AB+AC-BC'
分析:
将结论变形为AC∙BC+AB∙BC=AB∙AC,把三角形和圆联系起来,可联想到
托勒密
定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作AABC的外接圆,作弦BD=BC)连结AD、CD.在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理有
AC・BD+BC・AD=AB∙CD
易证AB二AD,CD=ACJ/.AC∙BC+BC∙AB=AB∙AC,两端同BaAB-BC-AC,得⅛+⅛=⅛∙
练习1.已知AABC中,ZB=2ZCo求证:
AC2=AB2+AB∙BCO
【分析】过A作BC的平行线交AABC的外接圆于D,连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BDo由托勒密定理,AC-BD=AD∙BC+CD-ABo
练习2•由ΔABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK.P厶和PM
IX.-rBCACAB
求证:
——=——+
PKPLPM
证:
连接PA、PB.PG对于四边形ABPC利用托勒密定理有:
卧詈APPK=巻∙BP∙PL+需∙CP∙P泌
由ZKBP=ZMPnJ巩RtbKBP和心ALAP相似
PKPB
・•・——=——二>AP∙PK=BPpL
PLPA
同理可得:
BPpL=CPpM
R「ACAR
・・・由一・AP・PK=I-・BP・PL+——CPPM可得:
PKPLPM
BCACAB=+PKPLPM
西姆松(加仅"7)定理(西姆松线):
从ΔABC外接圆上任意一点附BGCA.AB或它们的延长线引垂线,
垂足分别为D、E、F,则£>、£、F三点共线.
证明:
连接DE、DF,显然,只需证明ZBDF=Z劭C即可;
•・•ZBDP=ZBFP=90。
.∙.B、F、P、D四点共圆,
.∙.ZBDF=ZBPF同理可得:
ZEDC=ZEPC
又∙.∙ZBFP=乙PEC=90°且ZPCE=180o-ZPCA=ZPBA
:
.ABPF=ZEPC:
.ZBDF=ZEDC:
.D、E、F三点共线
注:
IJ直线DEF叫做ΔABCfi勺关TP点、的西姆松线;
2。
西姆松定理的逆定理也成立,即:
从一点H⅛ΔABC的三边(或它们的延长线)引垂线,若其垂足D、E、F在同一直线上,贝IJP在ΔABC的外接圆上;
3。
西姆松定理还可推广为:
从AABC外接圆上任意一点P引与BGCA.AB分别成同向的等角直线PZλPE、PF,它们与三边
交点分别为D、E、F,则D、E、F三点共线。
例7、设ΔA3C的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为ZλE、F;从点D作
AB.BE、CF、4C的垂线,其垂足分别为P、0、R、S,求证P、0、R、S在同
一直线上;
证明:
设ΔABC的垂心为O,则O、E、C、D四点共圆∙.∙由西姆松定理有:
Q、R、S三点共线乂∙.∙O∖F、B、D四点共圆
且由西姆松定理有:
P、Q、R三点共线
.•.P、Q、R、S四点共圆
例&四边形ABCD是圆内接四边形,且ZD是直角,若从B作直线AC、AD的垂线,垂足
分别为E、F,则直线EF平分线段BZλ
证明:
作BG丄DC,由西姆松定理有:
F、E、G共线,又∙.∙ZBFD=乙FDG=ADGB=90°
.∙.四边形BFDG为矩形
对角线FG平分另一条对角线BD
例9、求证:
四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条
直线所作垂线的垂足在一条直线上;
证明:
如图,设四条直线AB、BC、CD、AD|」,AB交CD于点E,
BC交AD于点F,圆BCE与圆CDF的另一个交点为G
.∙.ZBGF=乙BGC+ZCGF=ZBEC+ZCDA
:
.ZBGF+ZA=180°,即圆ABF过点G同理圆AED也过点G
.∙.圆BCE、圆CDF、ISIABF.圆AED交于同一点G
若点GlnJAB.BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、厶、M、N、P,
由西姆松定理可知厶、M、N在一条直线上,
M、N、P在一条直线上,故厶M、N、P在同一条直线上
例10、设ΔA3C的外接圆的任意直径为PQ,则关于只0的西姆松线是互相垂直的。
提示:
由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆于点P、Q9先证PA、0\4分别与点/\Q
的西姆松线平行,再证PPQQ是矩形,则PA丄OA作业:
设AD是AABC的边BC上的中线,直线CF交AD于FO
AE_2AF
求证:
ED=TBO
2.
过AABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F,
3.D、ESF分别在△ABC的BC、CASAB边上,
ED-AF-CE
DCFEEA
LMNO
4.
以AABC各边为底边向外作相似的等腰ABCE、
△CAF、ΔABGo求证:
AEXBFSCG相交于一点。
111
=1
5.已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7o求证:
AlAAAAlA 6. ΔABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于匕作PE丄AB于E,延长ED交AC延长线于F。 求证: BC∙EF=BF∙CE+BE∙CFO 7.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM: AC二CN: CE*SBsMsN共线。 求k。 (23-1MO5) &O为AABC内一点,分别以da、ClbSde表示O到BC、CAS 求证: (1)a∙Ra≥b∙db÷c∙dc;⑵a∙Ra≥c∙db+b∙dc; (3)Ra÷Rb÷Rc>2(da+db+dc)o AB的距离,以R。 、RbXRC表示O到A、B、C的距离。 9.ΔABC中,H、G、O分别为垂心、重心、外心。 求证: H、G、O三点共线,且HG=2GOo(欧拉线) 10.C)Ol和06与AABC的三边所在直线都相切,E、FSG、H为切点,EG、FH的延长线交于P。 求证: PA丄BC。 11・如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分ZBADO在CD 上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。 求证: ZGAC=ZEACO AEDCBFI 1.分析: CEF截AABDf玩一西云=(梅氏定理)评注: 也可以添加辅助线证明: 过A、B、D之一作CF的平行线。 2・分析: 连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中点。 EEAGMDI —••=1 DEG戳厶ABMfE負GMDB(梅氏定理) CFAGMDI —••=1 DGFaCΔACM→faGMDC(梅氏定理) BEICFGM∙(DB÷DQGM∙2MD .∙.EA+FA=—AG∙MD—=2GM∙MD=1评注: 梅氏定理 3.梅氏定理 4.塞瓦定理 5・评注: 托勒密定理 6・评注: 西姆松定理(西姆松线) 7.评注: 面积法 8.评注: 面积法 9. 评注: 同一法 10.评注: 同一法 H.证明: 连结BD交AC于H。 对ABCD用塞瓦定理,可得 CGBHDE_ GBHDEC= 因为AH是ZBAD的角平分线,由角平分线定理, IBH=可得五一 —∞.Δ5.25=I AD,故GBADEC 过C作AB的平行线交AG的延长线于I,过C作AD的 A CGCIDEAD 平行线交AE的延长线于J。 则GB^AB,EC"^J CIABADI 所以AEADCJ,从而CI=CJO 又因为CI∕∕AB,CJ//AD,故ZACl=π-ZBAC=∏-ZDAC=ZACJo 因此,AACI仝AACJ,从而ZlAC二上JAC,EDZGAC=ZEACO
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- 托勒密 定理 西姆松
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