样本估计总体教学案 1.docx
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样本估计总体教学案 1.docx
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样本估计总体教学案1
样本估计总体
一、教学目标
1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.
2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图.
3.会根据频率分布直方图解答相关问题.
二、教学重点
1、会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图
2、会根据频率分布直方图解答相关问题
三、教学难点
1、理解用样本的频率分布估计总体分布的方法
2、会根据频率分布直方图解答相关问题
四、教学过程
知识点一用样本估计总体、数据分析的基本方法
1.用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体分布.
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.数据分析的基本方法
(1)借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,此方法可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.
(2)借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式,此方法是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.
练习1、 在2010年第十六届亚运会中,各个国家和地区代表队金牌获得情况的条形统计图,如图所示.
从图中可以看出中国队所获得金牌
数占全部金牌数的比例约是( )
A.41.7% B.59.8%C.67.3%D.94.8%
解析:
金牌总数为477,我国获得199块金牌,所占比例为
≈41.7%,故选A.
知识点二频率分布直方图、频率分布折线图
1.绘制频率分布直方图的步骤
2.频率分布直方图中小长方形面积的含义
小长方形的面积=组距×
=频率.即小长方形的面积表示相应组的频率,在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1.
3.频率分布折线图和总体密度曲线
练习2、 在画频率分布直方图时,某组的频数为10,样本容量为50,总体容量为600,则该组的频率是( )
A.
B.
C.
D.不确定
知识点三茎叶图
1.茎叶图的制作方法:
将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出.
2.茎叶图的优缺点
在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.但是当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占据一个空间,如果数据很多,茎叶就会很长.
思考:
茎叶图中对“叶”和“茎”有什么要求?
解析:
茎叶图中,“叶”是数据的最后一个数字,其前面的数字作为“茎”.
归纳:
1.频率分布直方图的特征:
直观、形象地反映了样本的分布规律;可以大致估计出总体的分布.但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容,把数据绘制成频率分布直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
2.频率分布直方图中,纵轴表示频率/组距,小长方形的面积是相应各组的频率,各小长方形的面积和等于1是我们寻找等量关系的重要依据.
典例分析
考点一绘制频率分布直方图及折线图
例1美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901年就任,当时年仅42岁;就任时年纪最大的是里根,他于1981年就任,当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马,共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄:
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图.
解析:
以4为组距,列表如下:
分组
频率累计
频数
频率
[41.5,45.5)
[45.5,49.5)
[49.5,53.5)
[53.5,57.5)
[57.5,61.5)
[61.5,65.5)
[65.5,69.5)
正
正
正正正
正
2
7
8
16
5
4
2
0.0455
0.1591
0.1818
0.3636
0.1136
0.0909
0.0455
频率分布直方图如图
(1)所示,频率分布折线图如图
(2)所示.
点评:
1.在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系:
①若
为整数,则
=组数
②若
不为整数,则
的整数部分+1=组数.
2.组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
变式探究1 有一容量为50的样本,数据的分组及各组的数据如下:
[10,15),4;[30,35),9;[15,20),5;[35,40),8;[20,25),10;[40,45),3;[25,30),11.
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图及折线图.
解析:
(1)由所给的数据,不难得出以下样本的频率分布表:
数据段
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
频数
4
5
10
11
频率
0.08
0.10
0.20
0.22
数据段
[30,35)
[35,40)
[40,45)
总计
频数
9
8
3
50
频率
0.18
0.16
0.06
1
(2)频率分布直方图如图
(1)所示,频率分布折线图如图
(2)所示.
考点二频率分布直方图的应用
例2从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为__________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为__________.
思维启迪:
(1)根据各小长方形的面积和为1求解.
(2)先求数据落在[100,250)内的频率,再由频率公式求值.
解析:
(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1-(0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012)×50=0.22,于是x=
=0.0044.
(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.7,
∴所求户数为0.7×100=70.
答案:
(1)0.0044
(2)70
点评:
在频率分布直方图中,如不作特别说明,纵轴表示频率/组距,各长方形的面积表示各组的频率,各长方形的面积之和为1.
变式探究2 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:
厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
解析:
根据(0.035+a+0.020+0.010+0.005)×10=1,求得a=0.030.
身高在[120,130)内学生有0.030×10×100=30人,
在[130,140)内学生有0.020×10×100=20人,
在[140,150]内学生有0.010×10×100=10人,
则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为
×10=3(人).
答案:
0.030 3
考点三茎叶图及其应用
例3某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有一个优良品种B进行对照实验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:
千克)如下:
品种A:
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B:
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)画出两组数据的茎叶图;
(2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
(3)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量用其稳定性进行比较,写出统计结论.
解析:
(1)茎叶图如图所示.
(2)用茎叶图处理现有的数据不但可以看出数据的分布情况,而且可以看出每组中的具体数据.
(3)通过观察茎叶图,可以发现品种A的平均亩产量约为411.1千克,品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高,但品种A的亩产量不够稳定,而品种B的亩产量比较集中在平均亩产量附近.
点评:
画茎叶图时,用中间的数表示数据的十位和百位数,两边的数分别表示两组数据的个位数.要先确定中间的数取数据的哪几位,填写数据时边读边填.比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较.绘制茎叶图的关键是分清茎和叶,一般地说数据是两位数时,十位数字为“茎”,个位数字为“叶”;如果是小数的,通常把整数部位作为“茎”,小数部分作为“叶”,解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.
变式探究3 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:
台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( )
A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6
解析:
∵数据总个数n=10,又落在区间[22,30)内的数据个数为4,∴所求的频率为
=0.4.故选B.
随堂自测
1、一个容量为n的样本,分成若干组,已知某数的频数和频率分别为40,0.125,则n的值为( )
A.640 B.320C.240D.160
解析:
因为
=0.125,所以n=320.答案:
B
2、如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空:
(1)样本数据落在[6,10)内的频率是________,频数是________.
(2)样本数据落在[2,6),[10,14),[14,18]内的频率分别是________,________,________.
解析:
(1)样本数据落在[6,10)内的频率是0.08×4=0.32,频数是0.32×100=32.
(2)样本数据落在[2,6),[10,14),[14,18]内的频率分别为0.02×4=0.08,0.09×4=0.36,1-0.36-0.32-0.08=0.24.
3、把某校高三(5)班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图(如图),由此判断甲的平均分________乙的平均分.(填“>”“=”或“<”)
解析:
由茎叶图可知,甲的历次数学考试得分分别是79,80,85,91,94,99,102,乙的历次数学考试得分分别是:
83,87,92,94,98,104,110,则甲的数学得分的平均分为
甲=
=90,
乙的数学得分的平均分为
乙=
=
,
由于90<
,则
甲<
乙.
4、中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名.对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6,则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________.
解析:
由图知,第五小组的频率为0.5×0.3=0.15,所以第一小组的频率为0.15×
=0.125,所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60000×0.125=7500(人).
5、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图:
据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在[15,25)内的人数为________.
解析:
在抽取的20名教师中,在[15,25)内的人数为6人,据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在[15,25)内的人数为60.
6、某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________.
答案:
600名
7、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为()
A.100B.160C.200D.280
解析:
观察茎叶图,抽取的20名教师中使用多媒体教学次数在[16,30)内的有8人,所以该区间段的频率为
=0.4,因此全校400名教师使用多媒体教学次数在[16,30)内的有400×0.4=160(人).答案:
B
8、对某种电子元件进行寿命跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图,由图可知:
一批电子元件中,寿命在[100,300)小时的电子元件的数量与寿命在[300,600)小时的电子元件的数量的比大约是()
A.
B.
C.
D.
解析:
寿命在[100,300)小时的频率为
×100=
,寿命在[300,600)小时的频率为1-
=
,所以所求比值为
=
.答案:
C
9、如图所示是总体的一样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数是8.
(1)求样本容量;
(2)在该直方图中,[12,15)内小矩形面积为0.06,求样本在[12,15)内的频数;
(3)在
(2)中条件下,求样本在[18,33]内的频率.
解析:
(1)由题图可知[15,18)对应y轴数字为
,且组距为3,故[15,18)对应频率为
×3=
.又已知[15,18)内频数为8,故样本容量n=
=50.
(2)[12,15)内小矩形面积为0.06,即[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,故样本在[12,15)内的频数为50×0.06=3.
(3)由
(1)
(2)知样本在[12,15)内的频数为3,在[15,18)内的频数为8,样本容量为50,所以在[18,33]内的频数为50-3-8=39,在[18,33]内的频率为
=0.78.
六、课堂小结
1、茎叶图中,“叶”是数据的最后一个数字,其前面的数字作为“茎”.
2、频率分布直方图中小长方形面积的含义
小长方形的面积=组距×
=频率.即小长方形的面积表示相应组的频率,在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1.
七、教学反思
样本估计总体
一、学习目标
1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.
2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图.
3.会根据频率分布直方图解答相关问题.
二、学习过程
知识点一用样本估计总体、数据分析的基本方法
1.用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体分布.
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.数据分析的基本方法
(1)借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,此方法可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.
(2)借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式,此方法是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.
练习1、 在2010年第十六届亚运会中,各个国家和地区代表队金牌获得情况的条形统计图,如图所示.
从图中可以看出中国队所获得金牌
数占全部金牌数的比例约是( )
A.41.7% B.59.8%C.67.3%D.94.8%
知识点二频率分布直方图、频率分布折线图
1.绘制频率分布直方图的步骤
2.频率分布直方图中小长方形面积的含义
小长方形的面积=组距×
=频率.即小长方形的面积表示相应组的频率,在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1.
3.频率分布折线图和总体密度曲线
练习2、 在画频率分布直方图时,某组的频数为10,样本容量为50,总体容量为600,则该组的频率是( )
A.
B.
C.
D.不确定
知识点三茎叶图
茎叶图的制作方法:
将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出.
思考:
茎叶图中对“叶”和“茎”有什么要求?
典例分析
考点一绘制频率分布直方图及折线图
例1美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901年就任,当时年仅42岁;就任时年纪最大的是里根,他于1981年就任,当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马,共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄:
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图.
点评:
1.在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系:
①若
为整数,则
=组数
②若
不为整数,则
的整数部分+1=组数.
2.组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
变式探究1 有一容量为50的样本,数据的分组及各组的数据如下:
[10,15),4;[30,35),9;[15,20),5;[35,40),8;[20,25),10;[40,45),3;[25,30),11.
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图及折线图.
考点二频率分布直方图的应用
例2从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为__________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为__________.
点评:
在频率分布直方图中,如不作特别说明,纵轴表示频率/组距,各长方形的面积表示各组的频率,各长方形的面积之和为1.
变式探究2 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:
厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
考点三茎叶图及其应用
例3某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有一个优良品种B进行对照实验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:
千克)如下:
品种A:
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B:
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)画出两组数据的茎叶图;
(2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
(3)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量用其稳定性进行比较,写出统计结论.
变式探究3 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:
台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( )
A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6
五、随堂自测
1、一个容量为n的样本,分成若干组,已知某数的频数和频率分别为40,0.125,则n的值为( )
A.640 B.320C.240D.160
2、如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空:
(1)样本数据落在[6,10)内的频率是________,频数是________.
(2)样本数据落在[2,6),[10,14),[14,18]内的频率分别是________,________,________.
3、把某校高三(5)班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图(如图),由此判断甲的平均分________乙的平均分.(填“>”“=”或“<”)
4、中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名.对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6,则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________.
5、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图:
据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在[15,25)内的人数为________.
6、某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________.
7、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为()
A.100B.160C.200D.280
8、对某种电子元件进行寿命跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图,由图可知:
一批电子元件中,寿命在[100,300)小时的电子元件的数量与寿命在[300,600)小时的电子元件的数量的比大约是()
A.
B.
C.
D.
9、如图所示是总体的一样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数是8.
(1)求样本容量;
(2)在该直方图中,[12,15)内小矩形面积为0.06,求样本在[12,15)内的频数;
(3)在
(2)中条件下,求样本在[18,33]内的频率.
解析:
(1)由题图可知[15,18)对应y轴数字为
,且组距为3,故[15,18)对应频率为
×3=
.又已知[15,18)内频数为8,故样本容量n=
=50.
(2)[12,15)内小矩形面积为0.06,即[12,15)内频率为0.06,且样本容量为5
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