谈谈高考数学选择题的解法.docx
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谈谈高考数学选择题的解法
谈谈高考数学选择题的解法
把选择题引入数学试卷,有利于扩大试卷容量以覆盖较多的知识点与数学方法;由于其表述简洁、清晰,评分标准客观、准确,有利于提高考试信度;选择题不需要表述解答,重在考查学生基于数学概念分析、判断、推理的灵活性以及直觉意识,注重训练学生的逻辑思维能力、合情推理能力以及深入探究构建算法、向着目标运算求解的能力.
全国高考数学试卷中通常有12道选择题,每道5分,共计60分,占试卷总分值的40%.因此,研究、总结高考数学选择题的解法,给考生提供应对策略十分必要.
高考数学试卷中的选择题由题干与4个选项组成4个命题,解答选择题就是按指令判明其中的真命题或假命题,即从4个选项中辨别出正确选项.这使得选择题既有着与填空题相同的直接解法,也存在独特的间接解法,甚至可以猜测选项.笔者基于检测训练,构建出选择题的求解策略:
直接求解与间接求解.前者基于推理与计算直击目标,后者有极大的灵活性,它基于不同选项之间的差异,经历逻辑推理、合情推理、探究构建等数学技能,肯定一支或否定三支,辨别出正确选项.
教学检测统计表明,对于较容易的选择题,算法熟悉,学生普遍视选择题为填空题,不会顾忌选项之间的差异而采用直接法;遇到较难的选择题,考生则普遍注重分析选项之间的差异,基于特例,甚至猜测否定三个选项,合理找出正确选项.当然,求解选择题也应基于审题灵活决策,尤其要重视题干陈述的条件、选项之间的差异,通过逻辑分析、数形结合、活用概念、善用结论、以极端思维方法(特殊值、特殊点、极限趋势等),在验算、估算、活算、巧算、速算、少算、不算上多思考、多下功夫.
一、直接求解方法
直接方法的根本特点在于基于题设经历推理、计算,直击正确选项,不需考虑其他三个干扰项为什么错.
1.运算求解
由题干到目标求解的算法很熟悉,可以运算求解,直击目标.
例1(2013年安徽卷)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA?
OB=2,则点集R={P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是().
(A)22(B)23
(C)42(D)43
解析:
本题计算一个定义区域的面积,选项正误难于辨别,也不存在特例可构造;目标求解对图形的依赖比较明显,这时,通常不顾选项,构图计算,再对比选项,作出选择.
图1如图1,当λ+μ=1时,由OP=λOA+μOB定义的点P在线段AB上.结合对称性,当|λ|+|μ|=1时,点P的轨迹是矩形ABA′B′(其中OA′=-OA,OB′=-OB);满足|λ|+|μ|≤1的所有点P构成的点集是矩形ABA′B′的内部(含边界)区域.所以,平面点集R的面积S=12|AA′|?
|BB′|?
sinπ3=43,选D.
2.分类追踪
例2实数a,d,q满足{a,a+d,a+2d}={a,aq,aq2},则q的值是().
综上所述,正确选项是C.
评注:
遇到不确定情形,应以分类追踪目标,但是作为选择题,其选项之间的互斥性以及唯一正确性,既不必像解填空题那样彻底追踪(这里未验证q=-12是否存在相应的实数a,d满足集合等式),也不一定要像解填空题那样对各种情形予以全面追踪,只需就其某些情形求解,达到筛选出正确选项的目的即可.读者还可以继续探究上述解析中未尽的部分,此略.下面的例3进一步表明,只求解其中一种情形即可找到正确选项,无需再多浪费宝贵时间.因此,解选择题还应坚持“反分类求解”.
例3已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为().
(A)34(B)1
(C)54(D)74
解析:
本题情境算法学生比较熟悉,但是A,B,F三点存在共线与不共线两种情况,具有不确定性,以分类讨论能够完全求解;但由于选项是互斥的,只要按其中一种情况搜寻出答案即可排除三个,肯定一个,做到合理避免讨论,节约时间.
令A,F,B三点共线,记线段AB的中点为M,分别自点A,M,B向抛物线的准线l:
x=-14引垂线,垂足分别记作A1,M1,B1.
由抛物线的定义以及MM1是直角梯形AA1B1B的中位线,可得|MM1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=32.
所以,点M到y轴的距离是xM=|MM1|-14=54,选C.
读者可以继续探究:
在A,F,B不共线时,目标的求解方法.
3.逻辑推理
例4椭圆x24+y2=1上到直线x+y=0的距离是2的点共有().
(A)4个(B)3个
(C)2个(D)1个
解析:
由直线x+y=0过椭圆x24+y2=1的对称中心O(0,0)可知,满足题设的点应该是偶数个,排除B,D;再由椭圆的右顶点A(2,0)到直线x+y=0的距离为d=22=2以及椭圆在右顶点A处的切线是直线x=2,直线x+y=0不是该椭圆的切线,可以选定A.
评注:
按题干基本特性作简单计算与推理分析,排除干扰,选定目标.
4.数形结合
例5(2013年天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为().
(A)1(B)2
(C)3(D)4
解析:
函数的零点是指满足f(x0)=0的x0∈(0,+∞),也就是方程2x|log0.5x|-1=0的解x=x0;面对超越代数方程,我们无法通过运算求解得到零点的个数,但通过方程变换,可以重塑零点的意义,应用数形结合方法直接求得零点个数. 方程2x|log0.5x|-1=0等价于|log2x|=(12)x,作出两个函数y=|log2x|与y=(12)x的图象可知,这两个函数图象恰有2个交点,所以,选B.
例6方程x2-2asin(cosx)+a2=0(a>0)仅有一解,则a的值是().
(A)2sin1
(B)2cos1
(C)2sin(cos1)
(D)2cos(sin1)
解析:
由于偶函数f(x)=x2-2asin(cosx)+a2图象关于y轴对称,结合题意该函数有唯一零点x=0,所以,正数a=2sin1,选A.
评注:
遇到超越函数零点问题应多考虑函数性质,结合图象求解.
二、间接求解方法
间接求解方法不同于直接求解方法,不直接确认哪个是正确的,重在辨别出其中三个干扰选项;基于正确选项的唯一性,否定三个选择一个,不需要顾忌被选项是否正确.
1.筛选法
例7(2013年北京卷)设关于x,y的不等式组2x-y+1>0,
x+m<0,
y-m>0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是().
(A)(-∞,43)
(B)(-∞,13)
(C)(-∞,-23)
(D)(-∞,-53)
解析:
各选项表示的实数m范围存在差异,基于这种差异,以m的值也容易验证题干.
取m=0,得到可行域2x-y+1>0,
x<0,
y>0,但其中不含直线x-2y=2上的点P(x0,y0),所以排除A,B.
再取m=-1,得可行域2x-y+1>0,
x<1,
y>-1,其中含直线x-2y=2上的点P(12,-34),所以排除D.只有C正确,∴选C.
图22.验证法
例8(2013年四川卷)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图2所示,则ω,φ的值分别是().
(A)2,-π3(B)2,-π6
(C)4,-π6(D)4,π3
解析:
从图中数据看容易先求出周期,从而先得到ω的值,排除两个选项;然后在另两个选项中筛选出正确选项.
由图示数据可知,34T=34?
2πω=5π12+π3=9π12=3π4,所以ω=2,从而否定选项C,D.
若选项B正确,则f(x)=2sin(2x-π6),所以f(-π3)=2sin(-2π3-π6)=2sin(-π+π6)=-2sinπ6=-1,与图示数据矛盾!
故选项B不正确,所以选择A.
评注:
上述解法以直接法与间接法综合应对选项.后半部继续应用直接方法也很快捷,取一个与f(x)=2sin(2x+φ)有相同周期的函数y=2sin2x,按照图示函数y=f(x)图象在y轴右侧与x轴最左边的交点是(π6,0),所以把y=2sin2x的图象向右平移π6个单位,即得到函数y=f(x)的图象,所以f(x)=2sin2(x-π6)=2sin(2x-π3),正好与选项A吻合.
3.极端性
具体表现为特例法、特殊值法、极限法等.
例9(2013年辽宁卷)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2以及g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8;定义H1(x)=max{f(x),g(x)}以及H2(x)=min{f(x),g(x)}(其中maxp,q表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)得最小值为A,H2(x)得最大值为B,则A-B=().
(A)a2-2a-16
(B)a2+2a-16
(C)-16
(D)16
解析:
本题用特殊值法快捷.
取a=1,则f(x)=x2-6x+1以及g(x)=-x2-2x+7.
由f(x)≤g(x)-1≤x≤3,所以
H1(x)=
x2-6x+1,x∈(-∞,-1],↓
-x2-2x+7,x∈[-1,3],↓
x2-6x+1,x∈[3,+∞),↑
H2(x)=
-x2-2x+7,x∈(-∞,-1],↑
x2-6x+1,x∈[-1,3],↓
-x2-2x+7,x∈[3,+∞),↓
∴A=H1(x)min=H1(3)=-8,
B=H2(x)max=H2(-1)=8,
A-B=-16,故选C.
4.数形结合法
例10(2013年广东卷)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x (A)(y,z,w)∈S,(x,y,w)S (B)(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S (C)(y,z,w)S,(x,y,w)∈S (D)(y,z,w)S,(x,y,w)S 解析: 本题高度抽象,当以图示数,化抽象为具体.S中的每个三元数组(x,y,z)本质上可以将x,y,z以逆时针方向构成一个圆排列恰好体现出其从小到大的顺序,如图3;再由(z,w,x)∈S可知,w位于z,x之间,如图4;按图4,由S的定义,选B. 图3图45.归纳猜想 例11(2013年全国卷)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则(). (A){Sn}为递减数列 (B){Sn}为递增数列 (C){S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 (D){S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 解析: 按题意,可取b1=43a1,c1=23a1,先选出以下数值: b2=56a1,c2=76a1,a2=a1;b3=1312a1,c3=1112a1,a3=a1;b4=2324a1,c4=2524a1,a4=a1. 由三角形面积公式S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=a+b+c2,可算出: S1=15a2112,S2=24a2112>S1,S3=105a2112>S2,S4=429a2124=429420? 105a2112>S3,从而有S1 6.极限思想 例12椭圆E: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别记作F1,F2,如果E上存在一点P使得线段PF1的中垂线过点F2,则E的离心率取值范围是(). (A)(0,13)(B)(13,12) (C)[13,1)(D)[13,23) 解析: 按题意|PF2|=|F1F2|=2c,得|PF1|=2a-2c,记线段PF1的中点为K;如图5,∠F1KF2=90°(含K与F2重合),必有|PF1|2≤|F1F2|,即a-c≤2c,即13≤e<1,否定A. 图5图6另外,如图6,越是e→1,越支持题设条件“椭圆上存在点P使得线段PF1的中垂线过点F2”(事实上,当PF1⊥x轴时,线段PF1的中垂线与x轴平行,认为它与x轴正方向交于无穷远点;将PF1绕点F1以顺时针方向连续转动,则交点向左连续移动,并且交点可以发生在点F2左侧,从而必有一个点P,使得线段PF1的中垂线过右焦点F2),所以,否定B,D. 故正确选项是C. 评注: 上述解法基于极限方法否定选项B,D,我们也可以如下作直接推证否定B,D. 任取e∈(13,1),都有|PF1|2∠F1F2K,当点P移动时,∠F2F1K由0°变到180°,∠F1KF2也随着从180°到0°,其中必有一点P使得∠F1KF2=90°,此点P即满足线段PF1的中垂线过点F2,所以否定B,D. 三、珠联璧合 选择题的解答策略的练就和掌握,重在平时,抓住每一次检测训练的机会,切实提升自己求解选择题的速度与准确性.一个有效的方法是对一个题多动脑筋,多探究其间接解法,追求快捷、准确与巧妙的求解水平. 例13(2013年江西卷)如图7,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点,设弧FG的长为x(0 图7分析: 本题函数与自变量依赖关系稍微复杂一些,但其单调递增性是明确的. 解法一: 按函数y=f(x)的严格递增性直接否定B;记平行线l与l1之间的距离为h,则y与h之间是一次函数关系,不难看出x与h之间是三角函数关系,从而否定A;很明显,当h=12时,有x=2π3以及y=233×2=433,所以,函数y=f(x)的图象过点(2π3,433),从C,D两个选项看,当否定C,选定D. 解法二: 记平行线l与l1之间的距离为h,由1-h=cosx2, y=233+2×hsinπ3,消去h,可得y=23-433cosx2,其中x∈(0,π),从而选D. 评注: 解法一是间接方法,基于函数的基本性质与选项之间的差异性否定干扰项,确认正确选项,其中特殊点(2π3,433)在最后起到关键性作用;解法二是直接解法,应用参数h实现变量y与x之间的联系,经过消元构建出目标函数,化为按三角函数式选择图形,直接找到正确选项. 例14(2013年全国卷)已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,x>0, ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(). (A)(-∞,0](B)(-∞,1] (C)[-2,1](D)[-2,0] 分析: 一方面,4个选项之间数据差异明显,适宜用筛选法否定干扰项;另一方面,所给函数图象容易作出,因此,也适宜应用数形结合法直接找出正确选项. 解法一(筛选法): 取a=1,则应有|f(x)|≥x,x∈R,但|f (1)|=ln2<1,矛盾! 所以a≠1,从而否定B,C;下面区分A与D. 取a=-3,则应有|f(x)|≥-3x,x∈R,但|f(-12)|=54<-3×(-12),所以a≠-3,从而否定A,故选择D. 解法二(数形结合): 如图8,当x>0时,恒有|f(x)|≥ax,即ln(x+1)≥ax,x>0,但函数y=ln(x+1)图象向上凸,其图象位于点(0,0)处切线y=x下方,所以a≤0;再由|f(x)|≥ax,x≤0,即x2-2x≥ax,x≤0,但函数y=x2-2x图象向下凸,其图象位于点(0,0)处的切线y=-2x上方,所以a≥-2. 图8综上所述,得-2≤a≤0,选D. 评注: 解法一从选择支的差异,采取特殊值策略,巧妙地否定三个干扰项,快捷地找出正确答案D;解法二基于熟知的函数图象,直接找出出正确选项D;本题还可以分离参数求解,留给读者自行探究. 例15(2013年辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=exx,f (2)=e28,则当x>0时,f(x)(). (A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值 (C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值 解析一: 由题设条件,得[x2f(x)]′=exx. 记g(x)=x2f(x),则g′(x)=exx, f(x)=g(x)x2,从而 f′(x)=g′(x)x-2g(x)x3=ex-2g(x)x3. 令δ(x)=ex-2g(x),则δ′(x)=ex-2g′(x)=ex-2exx=(x-2)exx,从而δ(x)在区间(0,2]上递减,在[2,+∞)上递增,δ(x)min=δ (2)=e2-2g (2)=e2-8f (2)=0,所以f′(x)=δ(x)x3≥0,x∈(0,+∞),其中仅f′ (2)=0.这就证明了f(x)在区间(0,+∞)上递增,既没有极大值也没有极小值. 解析二: 由x2f′(x)+2xf(x)=exx,得[x2f(x)]′=exx,所以,对一切x∈(0,+∞),都有x2f(x)=∫x0ettdt,即f(x)=1x2∫x0ettdt,求导,得f′(x)=ex-2∫x0ettdtx3. 记δ(x)=ex-2∫x0ettdt,则δ′(x)=(x-2)exx,δ(x)=ex-2x2f(x)在区间(0,2]上递减,在区间[2,+∞)上递增,对一切x∈(0,+∞),都有δ(x)≥δ (2)=e2-2×22f (2)=e2-8? e28=0.所以,对一切x∈(0,+∞),都有f′(x)=δ(x)x≥0,其中“=”仅在x=2时取到,f(x)在区间(0,+∞)上递增,正确选项是D. 解析三: 由题设,得[x2f(x)]′=exx,所以, 当x>2时,有∫x2exxdx=x2f(x)2 x=x2f(x)-4f (2)=x2f(x)-e22; 当0 ∫2xexxdx=x2f(x)2 x=4f (2)-x2f(x) =e22-x2f(x). 又f′(x)=ex-2x2f(x)x3, ∴f′(x)≥0,x>0ex-2x2f(x)≥0, x>0x2f(x)≤ex2,x>0, 故∫x2exxdx≤ex2-e22=∫x2ex2dx, 即∫x2(exx-ex2)dx≤0,x>2, (1) 或∫2xexxdx=e22-x2f(x) ≥e22-ex2=∫2xex2? dx, 即∫2x(exx-ex2)dx≥0,x∈(0,2). (2) 上述 (1)和 (2)明显成立,结合f′ (2)=0可知,f′(x)在(0,+∞)上不变号. 故函数y=f(x)在(0,+∞)上无极值. 评注: 本小题作为2013年高考辽宁卷压轴选择题,以2013年最难选择题著称. 高考数学选择题的解法不拘一格,大体上分为直接解法与间接解法两大类别,巧妙快捷之法来自对题目的深入探究.高考数学试卷中,选择题数量多,分值大,能否考出理想的成绩,选择题的得分很是关键.因此,考前抓住检测模拟的机会,切实向着目标努力训练,力争快捷、准确地做好选择题.
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