数学思维训练导引 六年级.docx

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数学思维训练导引六年级

第1讲分数数列计算

内容概述

建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．

典型问题

兴趣篇

1．计算：

2．计算：

3．计算：

4．计算：

5．计算：

6．计算：

7．计算：

8．计算：

9．计算：

10．计算：

拓展篇

1．计算：

2．计算：

3．计算：

4．计算：

5．计算：

6．计算：

7.计算：

8.计算：

9.计算：

10.计算：

11.计算：

12.计算：

超越篇

1.计算：

2.计算：

3.已知算式

的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？

4.计算：

5.计算：

（最后结果可以用阶乘表示）

6.已知

，请比较A和B的大小。

7.计算：

（结果可以用阶乘和乘方表示）

8.计算：

第2讲比例解应用题

内容概述

涉及两个或多个量之闻比例的应用题．熟练掌握比的转化和运算；对条件较多的应用题，学会通过列表的方法逐步分析求解；了解正比例与反比例的概念，掌握行程问题和工程问题中的正反比例关系．

典型问题

兴趣篇

1．圆珠笔和铅笔的价格比是4:

3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元．问：

圆珠笔的单价是每支多少元？

2．一段路程分为上坡和下坡两段，这两段的长度之比是4：

3．已知阿奇在上坡时每小时走3千米，下坡时每小时走4.5千米．如果阿奇走完全程用了半小时．请问：

这段路程一共有多少千米？

3．加工一个零件，甲要2分钟，乙要3分钟，丙要4分钟，现有1170个零件，甲、乙、丙三人各加工几个零件，才能使得他们同时完成任务？

4．有两块重量相同的铜锌合金．第一块合金中铜与锌的重量比是2:

5，第二块合金中铜与锌的重量比是1：

3．现在把这两块合金合铸成一块大的．求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比．

5．已知甲、乙、丙三个班总人数的比为3:

4:

2，甲班男、女生的比为5:

4，丙班男、女生的比为2:

1，而且三个班所有男生和所有女生的比为13:

14.请问：

（1）乙班男、女生人数的比是多少？

（2）如果甲班男生比乙班女生少12人，那么甲、乙、丙三个班各有多少人？

6．甲、乙两包糖的重量比是5:

3，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：

5．请问：

这两包糖重量的总和是多少克？

7．小明从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用了4小时．问：

小明去时用了多长时间？

8．冬冬从家去学校，平时总是7:

50到校，有一天他起晚了，结果晚出发了10分钟，为了不至于迟到，他将速度提高了五分之一，跑步前往学校，最后在7:

55到校，请问：

冬冬这天是几点出发的？

9．一项工程，由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，只需用规定时间的

就可完成；如果减少2台机器，就要推迟

小时才能完成．请问：

（1）在规定时间内完成需几台机器？

（2）由1台机器去完成这工程，需要多少小时？

10.康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务；如果康师傅从一开始就把工作效率提高12.5%，那么也可以提前4天完成任务．这批零件共有多少个？

拓展篇

1．学校组织体检，收费标准如下：

老师每人3元，女生每人2元，男生每人1元，已知老师和女生的人数比为2:

9，女生和男生的人数比为3:

7，共收体检费945元．那么老师、女生和男生各有多少人？

2．徐福记的巧克力糖每6块包成一小袋，水果糖每15块包成一大袋．现有巧克力糖和水果糖各若干袋，而且巧克力糖比水果糖多30袋．如果巧克力糖的总块数与水果糖的总块数之比为7:

10，那么它们各有多少块？

3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问：

（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？

（2）这台电视机售价多少钱？

4．一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:

5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:

13.小明原来有多少钱？

5．两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为29:

26，燃烧50分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比为11:

9，那么较长的那根还能燃烧多少分钟？

6．某俱乐部男、女会员的人数比是3:

2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:

8:

7，甲组中男、女会员的人数比是3:

1，乙组中男、女会员的人数比是5：

3．求丙组中男、女会员的人数比．

7．某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知：

①甲、乙两校获一等奖的人数比为1:

2，但它们一等奖人数占各自获奖总人数的百分数之比为2:

5；

②甲、乙两校获二等奖人数占两校获奖人数总和的25%，其中乙校是甲校的3.5倍；

③甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的80%．

请问：

乙校获三等奖人数占该校获奖人数的百分比是多少？

8．如果单独完成某项工作，甲需24天，乙需36天，丙需48天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成．甲、乙工作的天数比为1：

2，乙、丙工作的天数比为3：

5．问：

完成这项工作一共用了多少天？

9．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，求猫、狗和兔的速度之比.

10．星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去，弟弟先走5分钟，哥哥出发25分钟后追上了弟弟，如果哥哥每分钟多走5米，出发20分钟后就可以追上弟弟．问：

弟弟每分钟走多少米？

11．一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到，问：

这支解放军部队一共需要行多少千米？

12．一项工作由甲、乙两人合作，恰可在规定时间内完成，如果甲效率提高三分之一，则只需用规定时间的

即可完成；如果乙效率降低四分之一，那么就要推迟75分钟才能完成，请问：

规定时间是多少小时？

超越篇

1．甲、乙两人分别同时从A、B两地开始，修建一条连接A、B两地的公路，并按修路的距离分配240万元工程款．如果按原计划，甲应分得100万元．而在实际施工的时候，乙每天比原计划多修l千米，结果乙实际分得了150万元，那么乙队实际施工时，每天修多少千米？

2．孙悟空有仙桃、机器猫有甜饼、米老鼠有泡泡糖，他们按下面比例互换：

仙桃与甜饼为3:

5，仙桃与泡泡糖为3:

8，甜饼与泡泡糖为5：

8．现在孙悟空共拿出39个仙桃分别与其他两位互换，机器猫共拿出甜饼90个与其他两位互换，米老鼠共拿出88个泡泡糖与其他两位互换．请问：

米老鼠与孙悟空和机器猫各交换泡泡糖多少个？

3．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知：

①第一包糖的粒数是第二包糖的

；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；

③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍，当两包糖混合在一起时，巧克力糖占28%．求第一包与第二包中水果糖占所有糖的百分比．

4．某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:

7:

6，速度比为3:

4:

5，运送土方的路程之比为15:

14:

14，三种车的辆数之比为10:

5:

7.工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投人工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．

5．在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一．当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进．请问：

当甲再次追上乙时，甲（从开始出发算起）一共走了多少米？

6．将A、B两种细菌分别放在两个容器里．在光线亮时A细菌需12小时分裂完毕，B细菌需15小时分裂完毕；在光线暗时，A细菌的分裂速度要下降40%，B细菌的分裂速度反而提高10%．现在两种细菌同时开始分裂并同时分裂完毕，试问：

在分裂过程中，光线暗的时间有多少小时？

7．某大学本科共有四个年级，男生总人数和女生总人数的比为7：

5．又已知：

①一年级男生和二年级女生的比是3：

2，二年级男生和一年级女生的比也是3：

2；

②三年级和四年级的人数相等，且三年级男生比四年级女生多100人；

③三、四年级男生与女生的比为6：

5；

④二年级的男生占学生总数的24%．

请问：

一年级男生和女生的人数分别是多少？

8．如图2-1所示，A、B、C、D、E、F是六个齿轮．其中A和B相互咬合，B和C相互咬合，D和E、E和F也都相互咬合；而C和D是同轴的两个齿轮，也就是说C和D转动的圈数始终相同．当A转了7圈时，B恰好转了5圈；当E转了8圈时，F恰好转了9圈；当C转了5圈时，B和E恰好共转了28圈．请问：

（1）如果A、E转的总圈数总是和B、F转的总圈数相同，那么当A、F共转了100圈时，D转了多少圈？

（注：

图片只是示意图，并不代表实际齿数）

（2）如果A、E的总齿数和B、F的总齿数相等，D的齿数是C的齿数的2倍，那么当A转了210圈时，D和F分别转了多少圈？

第3讲方程解应用题

内容概述

掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。

典型问题

兴趣篇

1.解下列方程：

2．在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张．如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：

甲得了多少张选票？

．

3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个．问：

有多少名学生上体育课？

4．唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的

，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．

5．明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍．如果两班合在一起，则男生所占的比例为60%．请问：

二班有多少名女生？

6．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，在A、B之间不断往返行驶．甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：

A、B两地相距多少千米？

7．解下面的方程组：

8．冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元．小悦买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元，你能算出1千克苹果多少元，1千克梨多少元吗？

9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的

，8个蟹将和10个虾兵就能把龙官全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？

只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？

10.如图3-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：

2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？

拓展篇

1．解下列方程：

2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是

，那么原来的分数是多少？

3.130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水．请问：

最后配成的盐水有多少克？

4．如图3-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是以．图3-3中的短除式表明：

这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍，求这个自然数．

5．给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果，问：

该班一共有多少名学生？

6．解下面的方程组：

7．商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍，问：

三种包装的筷子各有多少盒？

8．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：

甲、乙两人每小时各走多少千米？

9．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡．问：

白球、黑球每个各重多少克？

10.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：

商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？

11.如图3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了

一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：

厘米），你能求出这块木板的长度吗？

12.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，

23，21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？

超越篇

1．丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：

其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是x=4，y=4．试问：

方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？

2．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣．问：

三个班总共分了多少个枣？

3．下表显示了一次钓鱼比赛的结果：

n

O

1

2

3

…

13

14

15

钓了n条鱼的人数

9

5

7

23

…

5

2

1

已知：

①冠军钓到15条鱼；

②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；

③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．

请问：

一共有多少名选手参赛？

这些选手一共钓到了多少条鱼？

4．A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：

甲比乙每分钟多走多少米？

5．甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：

甲车单独运要几次运完？

6．一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项．

7．一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管．如果只打开进水管，50分钟可以把水池灌满；如果只打开出水管，60分钟可以把一池水放完，现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要80分钟才能放满一池水，而只打开出水管只需46.5分钟即可放完一池水，请问：

裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？

8．“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后．在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔2秒后，再次发出声波，当声波传到“北冰洋号”时，“北冰洋号”会反射声波．已知“太平洋号”的速度是每小时54千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号”反射的回波的间隔时间是2.01秒，声波传播的速度是每秒1185米．请问：

“北冰洋号”的速度是每小时多少千米？

第4讲浓度问题与经济问题

内容概述

实际生活中与浓度或经济有关的百分数应用题．掌握浓度问题中溶液、溶质、浓度的概念，熟练处理两种溶液混合的问题．掌握经济问题中成本、利润、利润率等概念，熟悉相关问题的计算，体会浓度问题与经济问题的联系和区别．

典型问题

兴趣篇

1．在200克浓度为15%的盐水中加入50克盐，这时盐水浓度变为多少？

然后再加入150克水，浓度变为多少？

最后又加入200克浓度为8%的盐水，浓度变为多少？

2．

（1）在120克浓度为20%的盐水中加入多少克水，才能把它稀释成浓度为10%的盐水？

（2）在900克浓度为20%的糖水中加人多少克糖，才能将其配成浓度为40%的糖水？

3．现有浓度为20%的盐水100克，加入相同质量的盐和水后，变成了浓度为30%的盐水，请问：

加了多少克盐？

4．在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%．再加入多少千克纯酒精，浓度才能变成50%?

5．两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，将这两杯盐水倒在一起混合后，盐水浓度变为30%．若再加入300克20%的盐水，浓度变为25%．请问：

原有40%的盐水多少克？

6．

（1）一部电话的进价是250元，售出价是320元，这部电话的利润率是多少？

（2）一个鼠标的进价是108元，定价是180元，实际上打七五折出售，这个鼠标的利润率是多少？

（3）一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没人来买．店主决定打折出售，但希望利润率不能低于35%，请问：

这件皮衣最低可以打几折？

7．某商店卖出两件商品，其中一件比进价高10%出售，另一件比进价低10%出售，结果两件的售出价都是990元，试问：

这两件商品售出后，商店是赚了还是赔了？

8．甲、乙两种商品，甲商品的成本是125元，乙商品的成本比甲商品低16%，现有以下三种销售方案：

①甲商品按30%的利润率定价，乙商品按40%的利润率定价；

②甲、乙都以35%利润率定价；③甲、乙的定价都是155元．

请问：

选择哪种方案最赚钱？

这时能盈利多少元？

9．一件衣服，第一天按80%的利润率定价，无人来买；第二天在此基础上再打九折，还是无人来买；第三天再降价96元，终于卖出，已知卖出的价格是进价的1.3倍，求这件衣服的进价．

10.费叔叔有10000元钱，打算存人银行两年．

办法一：

存两年期的整存整取定期储蓄，年利率为4.7%，到期后可取出本金和利息一共多少元？

办法二：

先存一年期的整存整取定期储蓄，年利率为4%；到期后将本金和利息再存一年，最后本金和利息一共多少元？

拓展篇

1.一个瓶子内最初装有25克纯酒精，先倒出5克，再加入5克水后摇匀，这时溶液的深度是多少？

接着又倒出5克，加入5克水，此时溶液的深度变为多少？

2．阿奇从冰箱里拿出一瓶100%的汇源纯果汁，一口气喝了五分之一后又放回了冰箱．第二天妈妈拿出来喝了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天再喝，第三天阿奇拿出这瓶果汁，一口气喝得只剩一半了．他担心妈妈说他喝得太多，于是就加了些水把果汁兑满，请问：

这时果汁的浓度是多少？

3．

（1）有浓度为20%的糖水500克，另有浓度为56%的糖水625克，将它们混合之后，糖水的浓度是多少？

（2）将浓度为75%的糖水32克稀释成浓度为30%的糖水，需加入水多少克？

4．有浓度为20%的硫酸溶液450克，要配制成35%的硫酸溶液，需要加入浓度为65%的硫酸溶液多少克？

5．有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%，42%，28%，其中甲瓶有11千克．先将甲、乙两瓶中的糖水混和，浓度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为35%的糖水．请问：

原来丙瓶有多少千克糖水？

6．甲、乙、丙三瓶糖水各有30克、40克、20克，将这三瓶糖水混合后，浓度变为30%．已知甲瓶的浓度比乙瓶和丙瓶混合溶液的浓度高9%，甲瓶的浓度比乙瓶的浓度高8%．请求出丙瓶糖水的浓度．

7．如果取40克甲种酒精溶液和60克乙种酒精溶液混合，那么浓度为62%；如果取同样质量的甲种酒精和乙种酒精混合，那么浓度为61%．请问：

甲、乙两种酒精溶液的浓度分别是多少？

8．某台空调按30%的利润率定价，换季促销时打8折售出后，获得了100元利润．请问：

（1）这台空调的成本是多少元？

（2）最后的利润率是多少？

9．A、B两种商品，A商品成本占定价的80%，B商品按20%的利润率定价．冬冬的妈妈一次性购买了l件A商品和1件日商品，商店给她打了九折后，还获利36元．现在知道B商品的定价为240元，求A商品的定价．

10．大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10%．大超市按30%的利润率定价，小超市按28%的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22元．请问：

（1）大超市这种商品的进价是多少元？

（2）大超市每件商品赚多少元？

小超市每件商品赚多少元？

11．某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元．现在打八八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%．请问：

打折后每个变形金刚的售价是多少元？

12．某家商店购人一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的

．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．问：

这批苹果一共有多少千克？

超越篇

1．有一杯盐水，如果加入200克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入25克盐，它的浓度则变为原来的两倍，问：

这杯盐水原来的浓度是多少？

2．现有甲、乙、丙三种硫酸溶液．如果把甲、乙按照3:

4的质量比混合，得到浓度为17.5%的硫酸；如果把甲、乙按照2:

5的质量比混合，得到浓度为14.5%的硫酸；如果把甲、乙、丙按照5：

9：

10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸，请求出丙溶液的浓度．

3．甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精，第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶中液体的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中液体的质量减少五分之一．最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量，请问：

最后甲、乙两桶中液体的浓度分别等于多少？

4．有甲、乙、丙3瓶酒精溶液，它们的质量比是3：

2：

1．如果把两瓶酒精混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作．现在先对甲、乙两瓶酒精进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精进行一次操作．三次操作后，甲、乙两瓶溶液的浓度分别是67%和61%．求最初丙溶液的浓度．

5．水果店进了一批水果，希望卖出去之后得到50%的利润．当售出六成数量的水果时，由于天气原因水果无法保存，于是商店决定打折处理，结果还是有一成数量的水果烂了，最终只得到了所期望利润的34%．请问：

商店打折处理时打了几折？

6．某商店将甲、乙两种奶糖混合在一起．甲种每份100克，售价1.65元；乙种每份100克，售价1.2元，原来打算将甲种的两份混合到乙种的一份中去，后来改变混合