导数的运算及几何意义.docx
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导数的运算及几何意义.docx
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导数的运算及几何意义
命题点一 导数的运算及几何意义
1.(优质试题·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+
(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.
解析:
y=ax2+
的导数为y′=2ax-
,
直线7x+2y+3=0的斜率为-
.
由题意得
解得
则a+b=-3.
答案:
-3
2.(优质试题·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,7),则a=________.
解析:
因为f′(x)=3ax2+1,
所以f′
(1)=3a+1.
又f
(1)=a+2,
所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
因为切线过点(2,7),所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1.
答案:
1
3.(优质试题·全国丙卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
解析:
因为f(x)为偶函数,所以当x>0时,f(x)=f(-x)=lnx-3x,所以当x>0时,f′(x)=
-3,则f′
(1)=-2.所以y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.
答案:
y=-2x-1
4.(优质试题·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.
解析:
法一:
因为y=x+lnx,所以y′=1+
,
y′
x=1=2.
所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为
y-1=2(x-1),即y=2x-1.
因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
所以a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).
由
消去y,得ax2+ax+2=0.
由Δ=a2-8a=0,解得a=8.
法二:
同法一得切线方程为y=2x-1.
设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,ax
+(a+2)x0+1).因为y′=2ax+(a+2),
所以y′
x=x0=2ax0+(a+2).
由
解得
答案:
8
命题点二 导数的应用
1.(优质试题·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=________.
解析:
由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,所以当x<-2或x>2时,f′(x)>0;当-2<x<2时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数.所以f(x)在x=2处取得极小值,所以a=2.
答案:
2
2.(优质试题·全国乙卷改编)若函数f(x)=x-
sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是________.
解析:
f′(x)=1-
cos2x+acosx=1-
(2cos2x-1)+acosx=-
cos2x+acosx+
,f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0在R上恒成立,令cosx=t,t∈[-1,1],则-
t2+at+
≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则
解得-
≤a≤
.
答案:
3.(优质试题·全国卷Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.
解析:
设y=g(x)=
(x≠0),
则g′(x)=
,
当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,所以g′(x)<0,
所以g(x)在(0,+∞)上为减函数,
且g
(1)=f
(1)=-f(-1)=0.
因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数,
所以g(x)的图象的示意图如图所示.
当x>0时,由f(x)>0,得g(x)>0,由图知0 当x<0时,由f(x)>0,得g(x)<0,由图知x<-1, 所以使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 答案: (-∞,-1)∪(0,1) 4.(优质试题·江苏高考)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数. (1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围; (2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论. 解: (1)令f′(x)= -a= <0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数. 同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g′(x)=ex-a=0,得x=lna.当x 综上,a的取值范围为(e,+∞). (2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g′(x)=ex-a>0,解得a (1)有lna≤-1,即0 综合上述两种情况,有a≤e-1. (ⅰ)当a=0时,由f (1)=0以及f′(x)= >0,得f(x)存在唯一的零点. (ⅱ)当a<0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f (1)=-a>0,且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点. 另外,当x>0时,f′(x)= -a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点. (ⅲ)当0 -a=0,解得x=a-1.当0 ①当-lna-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e. ②当-lna-1>0,即0 实际上,对于00,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点. 另外,当x∈(0,a-1)时,f′(x)= -a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点. 下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况.先证f(ea-1)=a(a-2-ea-1)<0. 为此,我们要证明: 当x>e时,ex>x2.设h(x)=ex-x2,则h′(x)=ex-2x, 再设l(x)=h′(x)=ex-2x,则l′(x)=ex-2. 当x>1时,l′(x)=ex-2>e-2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h′(x)=ex-2x>h′ (2)=e2-4>0, 从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时, h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0,即当x>e时,ex>x2. 当0e时,f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0, 又f(a-1)>0,且函数f(x)在[a-1,ea-1]上的图象不间断,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零点. 又当x>a-1时,f′(x)= -a<0,故f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一个零点. 综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ),当a≤0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,
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- 关 键 词:
- 导数 运算 几何 意义