线性代数上机作业题答案详解.docx
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线性代数上机作业题答案详解.docx
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线性代数上机作业题答案详解
线性代数机算与应用作业题
学号:
姓名:
成绩:
一、机算题
1.利用函数rand和函数round构造一个5×5的随机正整数矩阵A和B。
(1)计算A+B,A-B和6A
(2)计算
,
和
(3)计算行列式
,
和
(4)若矩阵A和B可逆,计算
和
(5)计算矩阵A和矩阵B的秩。
解输入:
A=round(rand(5)*10)
B=round(rand(5)*10)
结果为:
A=
24163
22374
49425
310611
94333
B=
86549
02248
955101
710603
55793
(1)输入:
A+B
结果为:
ans=
101061012
2451112
13149126
10201214
14910126
输入:
A-B
结果为:
ans=
-6-2-42-6
2013-4
-54-1-84
-4001-2
4-1-4-60
输入:
6*A
结果为:
ans=
122463618
1212184224
2454241230
18603666
5424181818
(2)输入:
(A*B)'
结果为:
ans=
8211210790135
10012110783122
809910578107
6182137121109
7870133119134
输入:
B'*A'
结果为:
ans=
8211210790135
10012110783122
809910578107
6182137121109
7870133119134
输入:
(A*B)^100
结果为:
ans=
1.0e+270*
1.62931.65261.44941.56201.6399
1.93741.96511.72341.85731.9499
2.41562.45012.14882.31582.4313
2.01372.04251.79131.93052.0268
2.46552.50082.19322.36362.4815
(3)输入:
D=det(A)
结果为:
D=
5121
输入:
D=det(B)
结果为:
D=
-9688
输入:
D=det(A*B)
结果为:
D=
-49612248
(4)输入:
inv(A)
结果为:
ans=
0.0217-0.0662-0.0445-0.01350.1453
0.1845-0.15820.02640.0475-0.0334
-0.31990.2742-0.04570.1178-0.0088
0.17070.0283-0.13430.0471-0.0002
-0.16190.10700.2785-0.1877-0.0490
输入:
inv(B)
结果为:
ans=
0.1726-0.15600.0357-0.0667-0.0471
-0.26420.26930.17860.2157-0.2007
0.1982-0.2957-0.3214-0.09930.4005
-0.13050.14780.14290.0050-0.0553
0.08180.0577-0.0357-0.0316-0.0223
(5)输入:
rank(A)
结果为:
ans=
5
输入:
rank(B)
结果为:
ans=
5
2.求解下列方程组
(1)求非齐次线性方程组
的唯一解。
(2)求非齐次线性方程组
的通解。
解
(1)输入:
A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7];
b=[5;8;5;10];
x=A\b
结果为:
x=
-0.8341
-0.2525
0.7417
1.3593
(2)输入:
A=[5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7];
b=[4;9;1;7];
[R,s]=rref([A,b]);
[m,n]=size(A);
x0=zeros(n,1);
r=length(s);
x0(s,:
)=R(1:
r,end);
x0
x=null(A,'r')
结果为:
x0=
-1.6635
0.1346
1.5865
0
0
x=
4.18270.8558
-1.3269-1.0577
-1.5673-0.3942
1.00000
01.0000
所以方程组的通解为
x=k1[4.1827,-1.3269,-1.5673,1.0000,0]’+k2[0.8558,-1.0577,-0.3942,0,1.0000]’+[-1.6635,0.1346,1.5862,0,0]
3.已知向量组
,
,
,
,
,求出它的最大无关组,并用该最大无关组来线性表示其它向量。
解输入:
a1=[3;4;0;8;3];
a2=[1;1;0;2;2];
a3=[2;3;0;6;1];
a4=[9;3;2;1;2];
a5=[0;8;-2;21;10];
A=[a1,a2,a3,a4,a5];
rref(A)
结果为:
ans=
10102
01-103
0001-1
00000
00000
即最大无关组为a1、a2、a4
a3=a1-a2
a5=2a1+3a2-a3
4.求下列矩阵的特征值和特征向量,并判断其正定性。
(1)
;
(2)
解
(1)输入:
A=[1,2,3;2,5,6;3,6,25];
[V,D]=eig(A)
结果为:
V=
0.93570.32790.1303
-0.35180.89610.2706
-0.0280-0.29900.9538
D=
0.158200
03.72970
0027.1121
输入:
lamda_A=eig(A)
结果为:
lamda_A=
0.1582
3.7297
27.1121
即矩阵A正定
(2)输入:
B=[-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22];
[V,D]=eig(B)
结果为:
V=
-0.38100.90590.1850
0.4005-0.01860.9161
0.83340.4231-0.3557
D=
-25.340400
0-19.59470
00-7.0649
输入:
lamda_B=eig(B)
结果为:
lamda_B=
-25.3404
-19.5947
-7.0649
即矩阵B负定
5.用正交变换法将下列二次型化为标准形。
其中“
”为自己学号的后三位。
解输入:
A=[1,0,2;0,2,1.5;2,1.5,3];
[V,a]=eig(A)
结果为:
V=
0.74880.51390.4186
0.3389-0.83960.4246
-0.56960.17610.8028
a=
-0.521400
01.68540
004.8361
即标准型为f=-0.5214y1^2+1.6854y2^2+4.8361y3^2
二、应用题
1.在某网格图中,每一个节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系:
,其中系数
;
;
;
。
如图所示,如:
。
请计算该网格节点1,2,3,4的值(计算结果按四舍五入保留小数点后1位)。
解输入:
A=[1,-0.3,-0.2,0;-0.4,1,0,-0.2;-0.3,0,1,-0.3;0,-0.3,-0.4,1];
b=[25;15;18;8];
U=rref([A,b])
结果为:
U=
1.000000045.8452
01.00000040.8267
001.0000042.9863
0001.000037.4426
即T1=45.8℃,T2=40.8℃,T3=43.0℃,T4=37.4℃
2.假设一个城市的总人口数固定不变,但人口的分布情况变化如下:
每年都有12%的市区居民搬到郊区;而有10%的郊区居民搬到市区。
若开始有800000人口居住在市区,200000人口居住在郊区。
那么,20年后市区和郊区的人口数各是多少?
解输入:
A=[0.88,0.1;0.12,0.9];
X0=[800000;200000];
X20=A^20*X0
结果为:
X20=
1.0e+005*
4.5695
5.4305
即20年后市区和郊区人口数约为456950和543050.
3.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土,它们的具体配方比例如表1所示。
表1混凝土的配方
型号1混凝土
型号2混凝土
型号3混凝土
水
10
10
10
水泥
22
26
18
砂
32
31
29
石子
53
64
50
灰
0
5
8
现在有一个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为:
24,52,73,133,12。
那么,能否用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土?
如果需要这种混凝土520吨,问三种混凝土各需要多少?
解输入:
u1=[10;22;32;53;0];
u2=[10;26;31;64;5];
u3=[10;18;29;50;8];
v=[24;52;73;133;12];
U=[u1,u2,u3,v];
[U0,r]=rref(U)
结果为:
U0=
1.0000000.6000
01.000000.8000
001.00001.0000
0000
0000
r=
123
即能用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土。
且520吨水泥需要1号130吨,2号173吨,3号217吨。
4.某城市有如下图所示的交通图,每一条道路都是单行道,图中数字表示某一个时段该路段的车流量。
若针对每一个十字路口(节点),进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量
。
解输入:
A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];
b=[-100;72;37;-9];
U=rref([A,b])
结果为:
U=
100-19
010-1109
001-137
00000
即x1=x4+9
x2=x4+109
x3=x4+37
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- 线性代数 上机 作业题 答案 详解