焦半径公式的三角形式及其应用.docx
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焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用
重庆清华中学张忠
焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量,与它相关的问题是各类考试的热点,常考常新,故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式:
设Fi,F2是曲线的左、右焦点,点P(Xo,y。
)在曲线上,记
r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。
则在椭圆中:
riaexo,r2aexo;在双曲
2p
线中:
r1ex0a,r2ex0a;在抛物线y2px(p0)中:
rx0专。
若焦点在y轴上时,则把相应的X。
改为yo即可。
因应用情形比较常见,不再叙述。
,
本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1:
若椭圆的离心角为贝U
(1)|PFi|=a+ccos0;
(2)|PF2|=a—ccos0.
证明:
•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0,依焦半径的代
例1.Fi、F2是椭圆
数形式知:
|PFi|=a+exp=a+ea•cos0=a+c•cos0,|PF2|=a—exp=a—c•cos0.
+y2=1的左右焦点,点
P在椭圆上运动,则|PF1|•|PF2|的最大值是,最小值是.(1996
年第七届“希望杯”赛)
解:
设椭圆的离心角为0,又知a=2,c2=3,由定理1得
2222
|PF1|c•|PF2|=a—ccos0=4—3cos0
•/0 |PF1|•|PF2|min=4—3•1=1 例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内,椭圆上恒存在点 P,使得PFi±PR。 解: 222222 设椭圆方程为bx+ay=ab(a>b>0),离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得 (2c)2=(a—ccos0)2+(a+ccos0)2化简得cos20= 2 Owcos20<1,•••0W2 <1 结合0vev1 Wev1为所求。 定理2: 在圆锥曲线中,准线在焦点右侧时,焦半径 线PF的角,p为焦准距,在椭圆和双曲线中,因p 点左侧时, PF ep一,在椭圆和双曲线中, 1ecos PF b2 PF ep ,这里为x轴到直 1ecos PF b2 b2 。 准线在焦 accos 。 准线在焦点上方 accos 或下方时,只需将视为y轴到直线PF的角即可。 证明: 则在圆锥曲线中,有以下几种情形: 1.准线在焦点右侧; 2.准线在焦点左侧; 3.准线在焦点上方; 4.准线在焦点下方; 对于情形1: 准线在焦点右侧,女吓图1,设点P(x0,y0)在圆锥曲线上,F是焦点,QH是准线所在直线,x轴到直线PF的角为,过点P作PQQH于Q,过点F作 FHQH于H,则: |PFePQ,|PQFH|PFcos,可得 PF eFH 1ecos ep 1ecos ,这里p为焦准距,在椭圆和双 曲线中, b2 具体化到椭圆和双曲线中,有公式|PF b2 accos 抛物线中,有公式 PF—P— 1cos 对于情形2,如下图,准线在焦点左侧,同理可得: PF eFH 1ecos eP——,这里p为焦准距,在椭圆和双曲 1ecos 线中, b2 。 c fi 具体化到椭圆和双曲线中,有公式PF b2 ,抛物线中,有公式 accos PF 对于情节形3、4,如下两图,只需将上两种情形中的的几何意义改为y轴到直线PF 的角即可。 F面看角焦半径公式在高考中的应用: 例3.(07、重庆)过双曲线C: x2y24的右焦点F作倾斜角为105°的直线,与双曲线 C交于A、B两点,贝U|AF|•|BF| 解: 由题设有: |AF|=ep— 1ecos 2 1,2cos1050 |BF| 2 1.2cos1050 IAF|•|BF|= 4 20 12cos21050 44 1(1cos2100)cos300 8、3 ~3~ 例4.(07.重庆理22)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线I的方程 为: x=12。 (1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上任取三个不同点P1,F2,P3,使RFP2 P2FP3 F3FF1,证明 为定值,并求此定值。 解: (I) 2 设椭圆方程为笃 a 2 y_ b2 1.因焦点为 F(3,0),故半焦距 a2 又右准线I的方程为x,从而由已知 c a2 2 12,a36, 因此a6,b.a2 c227 3.3. x2 故所求椭圆方程为36 (II)记椭圆的右顶点为 A,并设 AFR (i1,2,3),不失一般性, 又设点 P在I上的射影为 Qi, 因椭圆的离心率 3. --,从而有 a2 FR 解得 PQie 1 cFRcosie-(9 2 FPcosi)(i1,2,3). FP 1cosi(i1,2,3). 因此 |FR| FP2 FP3 1cos 2 1cos cos cos cos1 cos cos1 cos1 21 .3.1 sin1cos1 22 —sin10, 2 1 FP「 11 Fp2「FP; I为定值. 例5.(07•重庆文 21)如右图,倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。 (I)求抛物线的焦点F的坐标及准线I的方程; (H)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。 解: (I)设抛物线的标准方程为 P4. 因此焦点F(—,0)的坐标为( 2 又准线方程的一般式为x 从而所求准线I的方程为x y22px,则2p8,从而 2,0). P 。 2 2。 (n)解法一: 如图(21)图作AC丄l,BD丄I,垂足为C、D,则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为Xxxz,则 |FA|=|AC|=Xxp|FA|cosa号 |FA|cosa 4解得|FA| 4 1cosa 类似地有|FB|4|FB|cosa,解得|FB| 1cosa 记直线m与AB的交点为E,则 |FE||FA||AE||FA| |FA||FB| 2 1 2(|FA||FB|) 14 21cosa 4 1cosa 4cosa sin2a 4-2sin2a .2 sina 所以|FP|近目4r-。 cosasina 故|FP||FP|cos2a—(1cos2a)sina 解法二: 设 A(XA,yA),B(Xb,yB),直线 AB的斜率为ktana,则直线方程为 k(k22) 。 将此式代入y28x,得k2x24(k22)x4k20,故xAxB 记直线m与AB的交点为E(xE,yE),则 XaXb2(k22) XE厂 2k2 4 yEk(XE2) k 故直线m的方程为y 令y=0,得P的横坐标 |FP|xp2理笃 k2 2k24 Hk^ Xp 1) 从而|FP||FP|cos2a 2k2 4 sin2a 4 —(1 sina cos2a) 2 4-2sina 28为定值。 sina 2 6.(08、安徽)设椭圆C: 冷 a 2 Yy1(a>b>0)其相应于焦点F(2,0)的准线方程为 b 4• (1)求椭圆C的方程; (2)已知过点£(—2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A、B 4£‘2 两点,求证: |AB|=—;(3)过点F1(—2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 2cos 于点A、B和D、E,求|AB|+|DE|的最小值. 22 解: ⑴椭圆C的方程为—1; 84 (2)F1(—2,0)是椭圆C的左焦点,离心率e于,设l为椭圆的左准线, 则L: x=—4.作 AAi丄L于Ai,BBi丄L于Bi,L与x轴交于点H.l•点A在椭圆上, AF1 —|aA^|—(HF1AF1cos 22 AF1 2 2cos ,同理BF1 2 2cos AF1 BF1 2 ■2cos 2 、: 2cos 4「2 2cos2 A (3)设x轴到直线AB的角为,由于DEAB,由 (2)可得 AB 42 2, 2cos AB|DE DE 4.2 2cos2 34时, AB 例7.(05、全国2)P、Q、 42 2sin2 4迈 2sin2 12.2 2sin2cos2 12一2 2-sin22 4 DE取得最小值以2. 3 M、N四点都在椭圆x2 1上,F为椭圆在y轴正半轴上 的焦点•已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且 PF•MF=0,求四边形 PMNQ的面 积的最大值和最小值. 解: y轴到直线PF 的角为(0WBW—).a2 2 2,b=1,c=1, P= b2 丄由公式直接有: |PQ|= 2 |1 2二 2 ^cos2|2cos 2 同理: |MN| .2sin ••••PQ! MN•••Spmqn 1•|PQ|•|MN| 2 SPMQN 2,2 2cos2 2sin2 4 12 2—(sin2)2 4 22 由0WBW—,所以0wsin2 2 例&(07、安徽) 切线,求切线方程; 16 1—WSpmqnW2. 9 已知抛物线G: x2=4y的焦点为F. (1)过点P(0,-4) (2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足 FA•FB=0.延长 AF、BF分别与抛物线G交于点C、D,求四边形ABCD 的面积的最小值. 2 解: (1)设切点为Q(x0,jX°).由y,=仝,知在点Q处的切线斜率k=西•故 作抛物线的 422 22 所求切线方程为: y—虫=’(x—X。 ).即y=卫x—Xo•因为点P(0,-4)在切线上, 4224 2 22=4 2cos2|sin2 所以: -4=号•0-乡,求得X0=±4.所求切线方程为: y=±2x-4. (2)设y轴到直线AC的角为B.e=1,p=2,由公式有: |AC|= |1-1 同理可得: 4 |BD|=2 cos 1•4 2sin2 4 2 cos FA•FB=0,•••AC丄BD,所以: SABCD -•|AC|•|BD|= 2 s^T‘32.所以Sabcd的最小值为32• 附同类练习题: 32 题1.(2009年高考全国卷n理科题)已知双曲线的右焦点为厂, 过F且斜率为丛的直线交二于—-两点。 若二: <,则二的离心率为() 解: 选上。 题2.(2010年高考全国卷n理科第12题)已知椭圆f的离心率为 £一一 -。 过右焦点且斜率为一「的直线于I相交于两点,若-」,贝『: 一() A18.^2了馆D.2 解: 选吕。 J. 题3.(08高考江西卷理科第15题)过抛物线的焦点戸作倾斜角为三厂的 直线,与抛物线交于川』两点(点丄在卩轴左侧),则有『引 \AF\1 题4.(2010年高考全国卷I理科第16题)已知F是椭圆二的一个焦点,石是短轴的一个 端点,线段衣因的延长线交0于点Q,且丽二2FD,则口的离心率为 s=—解: -; C: 题5(自编题)已知双曲线 =l(d>0^>0) 的离心率为 -,过左焦点F且 斜率为fc>0的直线交C的两支于出月两点。 若|皿卜引肪I,则疋= 解: k¥ 卑MW]),则有 推论: 已知点F和直线■是离心率为扌的圆锥曲线匚的焦点和对应准线,焦准距(焦点到 对应准线的距离)为d。 过点F的弦止三与曲线二的焦点所在的轴的夹角为 证明: 设点丄二厂在准线上的射影分别为: 「,过点F作轴一匸^的垂线交直线宀< AF|貯| "二宕二Fj 于点M,交直线0对于点时。 由圆锥曲线的统一定义得,血1淬d,所以 …’T■■: 一。 (1)当焦点田内分弦血时。 如图4,国如4鋼+阙“+|肿|沖9, I硼=風州-\NB\=p-\BF\cos&o\AF\=e(p^\AF\c^&l\BF\=e{p-|5F|cos^ AF\=—空—阿=—乂— 所以较长焦半径1-处Z,较短焦半径1十它wB。 |如朋曲=矽+矽=学 所以1-^COS^? l+f? COS^\-GCOSdo (2)当焦点F外分弦口三时(此时曲线为双曲线)。 图5 如图5|逊|=|如国站卜|胭J-]阳卜卩恥険把 所以冷: I■■■・•;-「 所以较长焦半径 AF\= ^cos^-1 较短焦半径 所以 epep_2ej? 1—- ■? '一・.: 丿一: 匸.'.■■■JI.<■…■'■J一。 综合 (1) (2)知,较长焦半径 较短焦半径 .■L'_..-J。 特别地,当曲线为无心曲线即为抛物线时,焦准距 7就是通径之半,较长焦半径 |曲|=—艺— -「-;」,较短焦半径 -L八匸,焦点弦的弦长公式为 AB\=^- sm&。 当曲 线为有心曲线即为椭圆或双曲线时,焦准距为 112112cos^ b——,—注由上可得,当焦点尸内分弦血时,有商I阳吋阿眄P 112_丄1_皿日 当焦点F外分弦曲时,有阿则吋|吗阳P。 例1.(2009年高考福建卷理科第13题)过抛物线-''-的焦点F作倾斜角为二丁 的直线,交抛物线于丿,丑两点,若线段/月的长为8,则戸二 解•由抛物焦点弦的弦长公式为 \AB\= sin245 ^+^-=1(^>b>0)_ 例2.(2010年高考辽宁卷理科第20题)已知椭圆一/的右焦点为广, 经过F且倾斜角为的直线■与椭圆相交于不同两点丄',已知一"-o ^51=— (1)求椭圆的离心率; (2)若4,求椭圆方程。 解: (1)这里匸二,〔一: , 由定理1的公式得 ^cos60*= 2-1 2+1 2 e=— 解得二O ff=-re=6(T,\AB\=—1-(-)acosa604 (2)将匚「,代入焦点弦的弦长公式得,-,解 _5__5_c_2 得;-1,即_--「二,所以甘—小①,又"_、1,设’', _—]代入①得杆",所以-: 所以JL「: 故所求椭圆方程为*: 'O 例3.(由2007年重庆卷第16题改编)过双曲线的右焦点歹作倾斜角为-1: : 的 直线,交双曲线于巴。 两点,则"F口的值为 解: 因为’’'V,离心率-■/,点准距「「’一,因倾斜角为--'=,所 以m=。 注意到.二分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得, \FP[\FQ\=—聖艺—=<—=———=8 '。
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