启未教育五升六奥数讲义.docx
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启未教育五升六奥数讲义
第1讲小数的巧算与速算
【例1】.简算:
(1)
思路导航:
题中,9.9接近10,且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。
解法一:
解法二:
=99×0.68+1×0.68=9.9×6.8+0.1×6.8
=(99+1)×0.68=(9.9+0.1)×6.8
=100×0.68=10×6.8
=68=68
想想还有别的解法吗?
同步导练一:
(1)272.4×6.2+2724×0.38
(2)1.25×6.3+37×0.125
(3)7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724
(4)6.49×0.22+258×0.0649+5.3×6.49+64.9×0.19
【例2】:
(2+0.48+0.82)×(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.82+0.56)×(0.48+0.82)
思路导航:
整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×(B+0.56)-(A+0.56)×B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.
解:
设A=2+0.48+0.82B=0.48+0.82,
原式=A×(B+0.56)-(A+0.56)×B
=A×B+A×0.56-(A×B+0.56×B)
=A×B+A×0.56-A×B-0.56×B
=0.56×(A-B)
=0.56×2
=1.12
同步导练二:
(1)(3.7+4.8+5.9)×(4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7)×(4.8+5.9)
(2)(4.6+4.8+7.1)×(4.8+7.1+6)-(4.6+4.8+7.1+6)×(4.8+7.1)
【例三】:
计算76.8÷56×14
思路导航:
这道题是乘除同级运算,解答时,利用添括号法则,在“÷”后面添括号,括号里面要变号,“×”变“÷”,“÷”变“×”。
不过,同学们请注意,这种方法只适用于乘、除同级运算。
解:
76.8÷56×14
=76.8÷(56÷14)
=76.8÷4
=19.2
同步导练三:
(1)144÷15.6×13
(2)
(3)
【例四】:
0.999×0.7+0.111×3.7
思路导航:
本类题可以将原式进行合理的等值变形后,再运用适当的方法进行简便运算
=0.111×9×0.7+0.111×3.7
=0.111×6.3+0.111×3.7
=0.111×(6.3+3.7)
=0.111×10
=1.11
同步导练四:
(1)0.999×0.6+0.111×3.6
(2)0.222×0.778+0.444×0.111
(3)0.888×0.9+0.222×6.4(4)0.111×5.5+0.555×0.9
5.下面有两个小数:
a=0.00…0125b=0.00…08
1996个02000个0
试求a+b,a-b,a
b,a
b.
第2讲用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50(厘米2)。
例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解:
求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
例4下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。
如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法二:
连结C,F(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法三:
延长BC交GF于H(见下页左上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。
解法四:
延长AB,FE交于H(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积
分析与解:
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米2)。
练习:
1.左下图(单位:
厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
2.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。
影部分的面积和。
第3讲逻辑问题
从广义上说,任何一道数学题,任何一个思维过程,都需要逻辑分析、判断和推理。
我们这里所说的逻辑问题,是指那些主要不是通过计算,而是通过逻辑分析、判断和推理,得出正确结论的问题。
逻辑推理必须遵守四条基本规律:
(1)同一律。
在同一推理过程中,每个概念的含义,每个判断都应从始至终保持一致,不能改变。
(2)矛盾律。
在同一推理过程中,对同一对象的两个互相矛盾的判断,至少有一个是错误的。
例如,“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断,其中至少有一个是错的,甚至两个都是错的。
(3)排中律。
在同一推理过程中,对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的,它们不能同时都错。
例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断,其中必有一个是对的,一个是错的。
(4)理由充足律。
在一个推理过程中,要确认某一判断是对的或不对的,必须有充足的理由。
我们在日常生活和学习中,在思考、分析问题时,都自觉或不自觉地使用着上面的规则,只是没有加以总结。
例如假设法,根据假设推出与已知条件矛盾,从而否定假设,就是利用了矛盾律。
在列表法中,对同一事件“√”与“×”只有一个成立,就是利用了排中律。
例1张聪、王仁、陈来三位老师担任五
(2)班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学,每人教两门。
现知道:
(1)英语老师和数学老师是邻居;
(2)王仁年纪最小;
(3)张聪喜欢和体育老师、数学老师来往;
(4)体育老师比语文老师年龄大;
(5)王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。
请判断各人分别教的是哪两门课程。
分析与解:
题中给出的已知条件较复杂,我们用列表法求解。
先设计出下图的表格,表内用“√”表示肯定,用“×”表示否定。
因为题目说“每人教两门”,所以每一横行都应有2个“√”;因为每门课只有一人教,所以每一竖列都只有1个“√”,其余均为“×”。
由(3)知,张聪不是体育、数学老师;由(5)知,王仁不是语文、音乐老师;
由
(2)(4)知,王仁不是体育老师,推知陈来是体育老师。
至此,得到右上表
由(3)知,体育老师与数学老师不是一个人,即陈来不是数学老师,推知王仁是数学老师;由
(1)知,数学老师王仁不是英语老师,推知王仁是美术老师。
至此,得到左下表。
由(4)知,体育老师陈来与语文老师不是一个人,即陈来不是语文老师,推知张聪是语文老师;由(5)知,语文老师张聪不是音乐老师,推知陈来是音乐老师;最后得到张聪是英语老师,见右上表。
所以,张聪教语文、英语,王仁教数学、美术,陈来教音乐、体育。
以上推理过程中,除充分利用已知条件外,还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件,充分加以利用。
另外,还充分利用了表格中每行只有两个“√”,每列只有一个“√”,其余都是“×”这个隐含条件。
例1的推理方法是不断排斥不可能的情况,选取符合条件的结论,这种方法叫做排他法。
例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项,并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。
现知道:
(1)小明不在一小;
(2)小芳不在二小;
(3)爱好乒乓球的不在三小;
(4)爱好游泳的在一小;
(5)爱好游泳的不是小芳。
问:
三人上各爱好什么运动?
各上哪所小学?
分析与解:
这道题比例1复杂,因为要判断人、学校和爱好三个内容。
与四年级第26讲例4类似,先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示:
因为各表中,每行每列只能有一个“√”,所以表3可补全为表4。
由表4、表2知道,爱好游泳的在一小,小芳不爱游泳,所以小芳不在一小。
于是可将表1补全为表5。
对照表5和表4,得到:
小明在二小上学,爱好打乒乓球;小芳在三小上学,爱好打羽毛球;小花在一小上学,爱好游泳。
例1、例2用列表法求解。
下面,我们用分析推理的方法解例3、例4。
例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。
有一天他们来到了“两面国”,却忘记了这一天是星期几。
迎面见了“两面国”里的牛头和马面。
他们知道,牛头在星期一、二、三说假话,在星期四、五、六、日说真话;马面在星期四、五、六说假话,在星期一、二、三、日说真话。
牛头说:
“昨天是我说假话的日子。
”马面说:
“真巧,昨天也是我说假话的日子。
”
请判断这一天是星期几。
分析与解:
因为牛头、马面只有星期日都说真话,其它时间总是一个说真话,另一个说假话,所以这一天不是星期日,否则星期六都说假话,与题意不符。
由题意知,这一天说真话的,前一天必说假话;这一天说假话的,前一天必说真话。
推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。
因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子,所以这一天不是星期二、三、五、六;星期一是牛头由说真话变为说假话的日子,但不是马面由说假话变为说真话的日子,所以这一天也不是星期一;星期四是牛头由说假话变为说真话的日子,也是马面由说真话变为说假话的日子,所以这天是星期四。
例4A,B,C,D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事,班主任把这四人找来了解情况,四人分别回答如下。
A:
“C,D两人中有人做了好事。
”
B:
“C做了好事,我没做。
”
C:
“A,D中只有一人做了好事。
”
D:
“B说的是事实。
”
最后通过仔细分析调查,发现四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。
到底是谁做了好事?
分析与解:
我们用假设法来解决。
题目说四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。
注意,此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符,比如,当B,C都做了好事,或B,C都没做好事,或B做了好事而C没做好事时,B说的话都与事实有出入。
因为B与D说的是一样的,所以只有两种可能,要么B与D正确,A与C错;要么B与D错,A与C正确。
(1)假设B与D说的话正确。
这时C做了好事,A说C,D两人中有人做了好事,A说的话也正确,这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。
所以假设不对。
(2)假设A与C说的话正确。
那么做好事的是A与C,或B与D,或C与D。
若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也正确,与题意不符;若做好事的是B与D,则B说的话与事实不符,符合题意。
综上所述,做好事的是B与D。
练习
1.A,B,C,D,E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。
今天他们又聚在了一起,回忆当时的情景。
A说:
“我坐在B的旁边。
”
B说:
“坐在我左边的不是C就是D。
”
C说:
“我挨着D。
”
D说:
“C坐在B的右边。
”
实际上他们都记错了。
你能说出当时他们是怎样坐的吗?
没有发言的E的左边是谁?
2.从A,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。
根据挑选规则,参展产品满足下列要求:
(1)A,B两种产品中至少选一种;
(2)A,D两种产品不能同时入选;
(3)A,E,F三种产品中要选两种;
(4)B,C两种产品都入选或都不能入选;
(5)C,D两种产品中选一种;
(6)若D种产品不入选,则E种也不能入选。
问:
哪几种产品被选中参展?
3.三户人家每家有一个孩子,分别是小平(女)、小红(女)和小虎(男),孩子的爸爸是老王、老张和老陈,妈妈是刘英、李玲和方丽。
(1)老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队;
(2)老张的女儿不是小红;
(3)老陈和方丽不是一家人。
请你将三户人家区分开。
4.甲、乙、丙三人,他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东,他们的职业分别是教师、工人、演员。
已知:
(1)甲不是辽宁人,乙不是广西人;
(2)辽宁人不是演员,广西人是教师;
(3)乙不是工人。
求这三人各自的籍贯和职业。
5.甲说:
“乙和丙都说谎。
”乙说:
“甲和丙都说谎。
”丙说:
“甲和乙都说谎。
”根据三人所说,你判断一下,下面的结论哪一个正确:
(1)三人都说谎;
(2)三人都不说谎;
(3)三人中只有一人说谎;
(4)三人中只有一人不说谎。
6.五号楼住着四个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩也大4岁,求最大的男孩的岁数。
第4讲:
分解质因数
专题分析:
一个自然数的因数中,为质数的因数叫做质因数。
可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。
【例1】把18个苹果平均分成若干份,每份大于1,小于18。
一共有多少种不同分法?
练习:
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多余15人,有哪几种分法?
2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,一共有几种分发?
3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数各是多少?
【例2】、写出若干个连续的自然数,使它的积是15120。
练习:
1、有一个长方体,它的长宽高是一个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024。
问这4个孩子各是多少岁?
3、四个连续的奇数的积是19305。
这四个数各是多少?
【例3】、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
练习:
把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等。
【例4】、王老师带领同学去植树,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生?
每人植树多少棵?
练习:
1、植树节,老师带领同学去植树,已知老师和学生每人植树的棵数相等,一共植了111棵。
求有多少个同学?
2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,小青买的电影票是几排几号?
3、把一篮苹果分给4人,使4人的苹果数一个比一个多2,且他们的苹果个数的乘积是1920。
这篮苹果有多少个?
第5讲:
最小公倍数
专题分析:
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
记住以下公式:
最大公因数×最小公倍数=这两个数的积。
【例1】、两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少?
练习:
1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少?
2、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60。
求这两个数的和是多少?
3、两个数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。
求这两个数分别是多少?
【例2】:
甲乙丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次,甲3天去1次,乙4天去1次,丙5天去1次。
有一天三人恰好在图书馆相会。
问至少再过多少天他们又在图书馆相会?
针对练习:
1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三路车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车?
2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。
二班的同学每隔6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷
第6讲:
裂项法
(一)
专题简析
同学们知道,在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。
例如
,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:
即
或
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。
【例1】.计算:
像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。
【课堂随练】求
的和。
【例2】.计算:
【例3】.请在()、<>里填上适当的自然数,使得算式
成
【例4】.
【课堂随练】计算
【例5】.计算:
裂项法
(一)练习
1.2666600
=_________;
2.计算:
3.
=_________;
4.求和:
5.求和:
裂项法
(一) 作业
1.计算:
2.
=_________;
3.求出一对自然数x与y,使得等式
成立。
4.
=_________;
第7讲:
裂项法
(二)
【例1】求
的和
【例2】计算:
【例3】计算:
【例4】
=_________;
【例5】计算
5049/5050
裂项法
(二)练习
1.
2.
=_________
3.
=_________;
5049/5050
4.计算:
裂项法
(二)作业
1.43890
=_________;209/840
2.
=_________;
3.42×
=
4.计算:
5.计算:
第8讲消去法解题
(一)
知识要点
在一些比较复杂的应用题中,有的是由两个或多个量的某种关系构成的,解题时我们可以先把每组的数量用等式表示,然后进行比较,将其中的一个量先消去,从而把一道数量关系复杂的应用题转化成比较简单的应用题来解答。
我们把这一类的思考方法叫做消去法。
消去法的实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数,等式依然成立的道理来求未知量。
例1
某宾馆第一次买了5个热水瓶和20个茶杯,一共用去165元;第二次又买了同样的5个热水瓶和16个茶杯,一共用去149元。
算一算,热水瓶和茶杯的单价分别是多少?
例2
3箱苹果和5箱梨一共是86千克;6箱苹果和4箱梨一共是112千克。
一箱苹果和一箱梨各重多少千克?
例3
体育组买9个足球和3个皮球一共要花780元,已知5个足球比3个皮球的价钱要贵340元。
一个足球多少钱?
一个皮球多少钱?
例4
妈妈去水果店买水果,如果买5千克苹果和3千克梨,要付35元。
如果买3千克苹果和2千克梨,则要付22元。
每千克苹果和梨的价钱各是多少?
课后练习:
1、小明买了4只铅笔和3块橡皮,一共付了7.2元;红红买了同样的3块橡皮和2只铅笔,一共付了4.8元。
一只铅笔和一块橡皮的价钱各是多少?
2、张大爷第一天乘车2小时,步行3小时,共行115千米,第二天乘车1小时,步行5小时,共行75千米。
请问:
张大爷乘车的速度和步行速度各是多少?
3、一袋黄豆和一袋绿豆共重50千克,买5袋黄豆和3袋绿豆共重210千克。
一袋黄豆比一袋绿豆重多少千克?
4、食堂若要买5袋大米和3袋面粉,一共要用476元。
已知买3袋面粉比买2袋大米要便宜14元。
一袋大米多少钱?
第9讲消去法解题
(二)
知识要点
怎样用消去法解题呢?
1、如果同类事物的数量相同
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