高数试题及答案11.docx
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高数试题及答案11.docx
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高数试题及答案11
高数试题
一、填空题(每小题1分,共10分)
________1
1.函数y=arcsin√1-x2+──────的定义域为
_________
√1-x2
_______________。
2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)
3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────
h→oh
=_____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是
____________。
x
5.∫─────dx=_____________。
1-x4
1
6.limXsin───=___________。
x→∞X
7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
_______
R√R2-x2
8.累次积分∫dx∫f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为
____________。
00
d3y3d2y
9.微分方程───+──(───)2的阶数为____________。
dx3xdx2
∞∞
10.设级数∑an发散,则级数∑an_______________。
n=1n=1000
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,
1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
(一)每小题1分,共10分
1
1.设函数f(x)=──,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()
x
111
①1-──②1+──③────④x
xx1-x
1
2.x→0时,xsin──+1是()
x
①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量
3.下列说法正确的是()
①若f(X)在X=Xo连续,则f(X)在X=Xo可导
②若f(X)在X=Xo不可导,则f(X)在X=Xo不连续
③若f(X)在X=Xo不可微,则f(X)在X=Xo极限不存在
④若f(X)在X=Xo不连续,则f(X)在X=Xo不可导
4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)
内曲线弧y=f(x)为()
①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧
5.设F'(x)=G'(x),则()
①F(X)+G(X)为常数
②F(X)-G(X)为常数
③F(X)-G(X)=0
dd
④──∫F(x)dx=──∫G(x)dx
dxdx
1
6.∫│x│dx=()
-1
①0②1③2④3
7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()
①平行于xoy面的平面
②平行于oz轴的平面
③过oz轴的平面
④直线
x
8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg──,则f(tx,ty)=()
y
①tf(x,y)②t2f(x,y)
1
③t3f(x,y)④──f(x,y)
t2
an+1∞
9.设an≥0,且lim─────=p,则级数∑an()
n→∞an=1
①在p〉1时收敛,p〈1时发散
②在p≥1时收敛,p〈1时发散
③在p≤1时收敛,p〉1时发散
④在p〈1时收敛,p〉1时发散
10.方程y'+3xy=6x2y是()
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
(二)每小题2分,共20分
11.下列函数中为偶函数的是()
①y=ex②y=x3+1
③y=x3cosx④y=ln│x│
12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()
①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)
②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)
③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)
④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)
13.设f(X)在X=Xo的左右导数存在且相等是f(X)在X=Xo可导的()
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
d
14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,
则f(x)=()
dx
①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx
15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()
①x4②x4+c③x4+1④x4-1
1x
16.lim───∫3tgt2dt=()
x→0x30
1
①0②1③──④∞
3
xy
17.limxysin─────=()
x→0x2+y2
y→0
①0②1③∞④sin1
18.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()
①设y'=p,则y"=p'
dp
②设y'=p,则y"=───
dy
dp
③设y'=p,则y"=p───
dy
1dp
④设y'=p,则y"=─────
pdy
∞∞
19.设幂级数∑anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑anxn在│x│〈│xo│()
n=on=o
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关
sinx
20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫─────dσ=()
Dx
11sinx
①∫dx∫─────dy
0xx
__
1√ysinx
②∫dy∫─────dx
0yx
__
1√xsinx
③∫dx∫─────dy
0xx
__
1√xsinx
④∫dy∫─────dx
0xx
三、计算题(每小题5分,共45分)
___________
/x-1
1.设y=/──────求y'。
√x(x+3)
sin(9x2-16)
2.求lim───────────。
x→4/33x-4
dx
3.计算∫───────。
(1+ex)2
t1dy
4.设x=∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求───。
0tdx
5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。
___
6.设u=ex+√y+sinz,求du。
xasinθ
7.计算∫∫rsinθdrdθ。
00
y+1
8.求微分方程dy=(────)2dx通解。
x+1
3
9.将f(x)=─────────展成的幂级数。
(1-x)(2+x)
四、应用和证明题(共15分)
1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度
(比例常数为k〉0)求速度与时间的关系。
___1
2.(7分)借助于函数的单调性证明:
当x〉1时,2√x〉3-──。
x
附:
高数
(一)参考答案和评分标准
一、填空题(每小题1分,共10分)
1.(-1,1)
2.2x-y+1=0
3.5A
4.y=x2+1
1
5.──arctgx2+c
2
6.1
7.ycos(xy)
π/2π
8.∫dθ∫f(r2)rdr
00
9.三阶
10.发散
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的
()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
(一)每小题1分,共10分
1.③2.③3.④4.④5.②
6.②7.②8.⑤9.④10.③
(二)每小题2分,共20分
11.④12.④13.⑤14.③15.③
16.②17.①18.③19.①20.②
三、计算题(每小题5分,共45分)
1
1.解:
lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)](2分)
2
11111
──y'=──(────-──-────)(2分)
y2x-1xx+3
__________
1/x-1111
y'=──/──────(────-──-────)(1分)
2√x(x+3)x-1xx+3
18xcos(9x2-16)
2.解:
原式=lim────────────────(3分)
x→4/33
18(4/3)cos[9(4/3)2-16]
=──────────────────────=8(2分)
3
1+ex-ex
3.解:
原式=∫───────dx(2分)
(1+ex)2
dxd(1+ex)
=∫─────-∫───────(1分)
1+ex(1+ex)2
1+ex-ex1
=∫───────dx+─────(1分)
1+ex1+ex
1
=x-ln(1+ex)+─────+c(1分)
1+ex
4.解:
因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arctgtdt(3分)
dy-(sint)arctgtdt
所以───=────────────────=-tgt(2分)
dx(cost)arctgtdt
5.解:
所求直线的方向数为{1,0,-3}(3分)
x-1y-1z-2
所求直线方程为────=────=────(2分)
10-3
____
6.解:
du=ex+√y+sinzd(x+√y+sinx)(3分)
__dy
=ex+√y+sinz[(1+cosx)dx+─────](2分)
___
2√y
πasinθ1π
7.解:
原积分=∫sinθdθ∫rdr=──a2∫sin3θdθ(3分)
0020
π/22
=a2∫sin3θdθ=──a2(2分)
03
dydx
8.解:
两边同除以(y+1)2得──────=──────(2分)
(1+y)2(1+x)2
dydx
两边积分得∫──────=∫──────(1分)
(1+y)2(1+x)2
11
亦即所求通解为────-────=c(2分)
1+x1+y
11
9.解:
分解,得f(x)=────+────(1分)
1-x2+x
111
=────+───────(1分)
1-x2x
1+──
2
∞1∞xnx
=∑xn+──∑(-1)n──(│x│〈1且│──│〈1)(2分)
n=02n=02n2
∞1
=∑[1+(-1)n───]xn(│x│〈1)(2分)
n=02n+1
四、应用和证明题(共15分)
du
1.解:
设速度为u,则u满足m=──=mg-ku(3分)
dt
1
解方程得u=──(mg-ce-kt/m)(3分)
k
mg
由u│t=0=0定出c,得u=──(1-e-kt/m)(2分)
k
__1
2.证:
令f(x)=2√x+──-3则f(x)在区间[1,+∞]连续(2分)
x
11
而且当x〉1时,f'(x)=──-──〉0(2分)
__x2
√x
因此f(x)在[1,+∞]单调增加(1分)
从而当x〉1时,f(x)〉f(1)=0(1分)
___1
即当x〉1时,2√x〉3-──(1分)
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