第二章整式的加减正章教案.docx
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第二章整式的加减正章教案
第一课时:
单项式
教学目标
1.知识与技能
(1)能用代数式表示实际问题中的数量关系.
(2)理解单项式、单项式的次数,系数等概念,会指出单项式的次数和系数.
2.过程与方法
经历列式表示实际问题中的数量关系,发展符号感,通过观察代数式的特点,发现、归纳单项式的概念,培养学生观察、分析、归纳的能力.
3.情感态度与价值观
通过列单项式表示实际问题中的数量关系,体会整式比具体数字表达的式子更具有一般性,这给实际问题的解决带来很大方便.
教学重点和难点
1.重点:
单项式的有关概念.
2.难点:
负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数.
教学过程
一、课题导入
教师操作课件,展示章前图案以及字幕,学生观看并思考下列问题:
1.青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段,列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时,在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时,请根据这些数据回答下列问题:
(1)列车在冻土地段行驶时,2小时能行驶多少千米?
3小时呢?
t小时呢?
(2)在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间的2.1倍,如果通过冻土地段所需要t小时,能用含t的式子表示这段铁路的全长吗?
(3)在格里木到拉萨路段,列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时,如果通过冻土地段需要u小时,则这段铁路的全长可以怎样表示?
冻土地段与非冻土地段相差多少千米?
分析:
(1)根据速度、时间和路程之间的关系:
路程=速度×时间.列车在冻土地段2小时行驶的路程是100×2=200(千米),3小时行驶的路程为100×3=300(千米),t小时行驶的路程为100×t=100t(千米).
(2)列车通过非冻土地段所需时间为2.1t小时,行驶的路程为120×2.1t(千米);列车通过冻土地段的路程为100t,因此这段铁路的全长为120×2.1t+100t(千米).
(3)在格里木到拉萨路段,列车通过冻土地段要u小时,那么通过非冻土地段要(u-0.5)小时,冻土地段的路程为100u千米,非冻土地段的路程为120(u-0.5)千米,这段铁路的全长为[100u+120(u-0.5)]千米,冻土地段与非冻土地段相差为[100u-120(u-0.5)]千米.
思路点拨:
上述问题
(1)可由学生自己完成,问题
(2)、(3)先由学生思考、交流的基础上教师引导学生分析怎样列式.
上述的3个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示,通过本章学习,我们还可以将上述问题
(2)、(3)进行加减运算,化简.
2.下面,我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题.
用含有字母的式子填空,看看列出的式子有什么特点.
(1)边长为a的正方体的表面积为______,体积为_______.
(2)铅笔的单价是x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍,圆珠笔的单价是_______元.
(3)一辆汽车的速度是v千米/时,它t小时行驶的路程为_______千米.
(4)数n的相反数是_______.
教师课堂巡视,关注中下程度的学生,及时引导,学生探究交流.
上面各问题的代数式分别是:
6a2,a3,2.5x,vt,-n.
观察上面各式中运算有什么共同特点?
上面各式中,数字与字母之间,字母与字母之间都是乘法运算,它们都是数字与字母的积,例如:
6a2表示6×a2,a3表示1×a3,2.5x表示2.5×x,vt表示1×v×t,-n表示-1×n.
像上面这样,只含有数与字母的积的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.如:
-2,a,
,都是单项式,而
,1+x都不是单项.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,例如:
6a2的系数是6,a3的系数是1,-n的系数是-1,-
的系数是-
.
单项式表示数字与字母相乘时,通常把数字写成前面,当一个单项式的系数是1或-1时通常省略不写.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如,2.5x中字母x的指数是1,2.5x是一次单项式;vt中字母v与t的指数和是2,vt是二次单项式,-ab2c中字母a、b、c的指数和是4,-ab2c是4次单项式.
二、例题
例1.用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
(1)每包书有12册,n包书有_______册.
(2)底边长为a,高为h的三角形的面积是______.
(3)一个长方体的长和宽都是a,高是h,它的体积是_______.
(4)一台电视机原价a元,现按原价的9折出售,这台电视机现在售价为_____元.
(5)一个长方形的长为0.9,宽是a,这个长方形的面积是_________.
教师操作投影仪,展示例1,学生思考、交流.师生互动.
思路点拨:
(1)12n,它的系数是12,次数是1;
(2)根据三角形的面积公式,得
ah,它的系数是
,次数是2;
(3)根据长方体的体积公式=长×宽×高,得a2h,它的系数是1,次数是3;
(4)0.9a,它的系数是0.9,次数是1;
(5)0.9a,系数为0.9,次数为1.
教学时,以师生互动方式进行,由学生口述,教师板书.
强调:
单项式的次数是单项式中所有字母的指数和,字母的指数不写的,表示这个字母的指数是1,不是“没有”.
用字母表示数后,同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义.例如,在问题(4)、(5)中,所填的结果都是0.9a,一个是表示电视机的售价,一个是表示长方形的面积,你还能赋予0.9a一个含义吗?
让学生交流各自想法,加深对字母表示数的理解.
三、巩固练习
1.下列各式是不是单项式?
为什么?
(1)x-2y;
(2)-
;(5)-1.
2.判断下列各说法是否正确,错误的改正过来.
(1)单项式-xy2的系数是0,次数是2.
(2)单项式27a2的系数是2,次数是9.
(3)单项式-
的系数是-
,次数是n+1.
3.请你写出系数为-,含有x、y,次数为4的所有单项式.
教师操作投影仪,出示上述练习题,独立思考,然后进行交流.
4.课本第56页练习1、2题.
教师巡视,关注中下程度的学生,适时给予指导,学生独立完成后,相互交流.
思路点拨:
1.
(2)、(5)是单项式,
(1)、(3)、(4)都不是单项式,因为它们不是数字与字母的乘积.
2.
(1)、
(2)错误,订正:
-xy2的系数是-1,次数是3,27a2的系数是a7,次数是2,(3)正确.3.-
xy3,-
x2y2,-
x3y.4.略.
四、课堂小结
师生互动,共同学习小结本节课内容.
1.什么叫单项式?
举例说明.
2.单独的一个数或一个字母是单项式吗?
是单项式吗?
为什么?
3.什么叫单项式的系数?
什么叫单项式的次数?
举例说明.
第二课时:
多项式
教学目标
1.使学生理解多项式、整式的概念,会准确确定一个多项式的项数和次数.
2.通过实例列整式,培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.培养学生积极思考的学习态度,合作交流意识,了解整式的实际背景,进一步感受字母表示数的意义.
教学难点和重点
1.重点:
多项式以及有关概念.
2.难点:
准确确定多项式的次数和项.
教学过程
一、复习
1.什么叫单项式?
举例说明.
2.怎样确定一个单项式的系数和次数?
-
的系数、次数分别是多少?
3.列式表示下列问题:
(1)一个数比数x的2倍小3,则这个数为________.
(2)买一个篮球需要x(元),买一个排球需要y(元),买一个足球需要z(元),买3个篮球,5个排球,2个足球共需________元.
(3)如图1,三角尺的面积为________.
(1)
(2)
(4)如图2是一所住宅的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是________平方米.
老师操作投影仪,展示上述问题,关注学生列式情况,学生小组交流、合作学习.
思路点拨:
(1)数x的2倍表示为2x,因此比x的2倍小3的数为2x-3;
(2)一个篮球x(元),3个篮球为3x元;一个排球y(元),5个排球要5y元;一个足球z(元),2个足球要2z元,因此一共需(3x+5x+2z)元;
(3)三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积,三角形的面积为
ab,圆面积为
r2,因此三角尺的面积为
ab-
r2;
(4)每个房间的建筑面积分别为x2平方米,2x平方米,6平方米,12平方米,因此这所住宅的建筑面积为(x2+2x+18)平方米.
上面列出的式子2x-3,3x+5y+2z,
ab-
r2,x2+2x+18,它们是单项式吗?
这些式子有什么共同特点?
与单项式有什么关系?
2x-3可看作2x与-3的和:
3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和;同样
ab-
r2看作
ab与-
r2的和,x2+2x+18可以x2、2x、18的和.
二、课题导入
请同学们阅读课本有关内容,并回答下列问题.
1.几个单项式的和叫做_________;
2.在多项式中,每个单项式叫做_________;
3.在多项式中,不含字母的项叫做_________;
4.在多项式中,_____________________,叫做这个多项式的次数.
5.多项式的次数与单项式的次数有什么区别?
6.请说出上面各多项式的次数和项.
思路点拨:
(1)多项式的各项应包括它前面的符号,比如,多项式6x2-
x-3中第二项是-
x,而不是
x,常数项是-3,不是3.多项式没有系数概念,但其每一项均有系数,每一项的系数应包括自己的符号.
(2)多项式的次数与单项式的次数概念不同,但又有联系,首先求出此多项式各项(单项式)的次数,次数最高的就是这个多项式的次数.
(3)一个多项式的最高次项可以不唯一,次高项也可以不唯一,如,多项式3x2y-
xy2+x2-xy-5中,最高次项为3x2y和-
xy2,二次项也有2项,x2和-xy,这个多项式为二次五项式.
单项式和多项式统称为整式,例如:
100t,6a3,vt,-n,2x-3,3x+5y+2z等都是整式.
三、例题
例1.用多项式填空,并指出它们的项和次数.
(1)温度由t℃下降5℃后是_______℃.
(2)甲数x的
与乙数y的
的差可以表示为_________.
(3)如课本图2.1-3,圆环的面积为________.
(4)如课本图2.1-4,钢管的体积是________.
思路点拨:
(1)t-5,它的项为t和-5,次数是1;
(2)甲数x的
表示为
x,乙数y的
表示为
y,它们的差为
x-
y,它的项为
x和-
y,次数为1;(3)圆环面积等于大圆面积减去小圆面积,因此圆环面积为
R2-
r2,它的项是
R2-
r2,次数是2(
是常数是R2的系数).(4)钢管的体积等于大圆柱的体积减去小圆柱的体积,即
R2a-
r2a,它的项是
R2a和-
r2a,次数是3.
例2.一条河流的水流速度为2.5千米/时,如果已知船在静水中的速度,那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示?
如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时,则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少?
教师操作投影仪,展示例2,并引导学生进行分析:
顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度
这里水流速度为2.5千米/时,如果,我们设船在静水中的速度为v千米/时,那么船在顺水行驶时的速度表示为(v+2.5)千米/时,船在逆水行驶时的速度为(v-2.5)千米/时.
当v=20时,则v+2.5=20+2.5=22.5,v-2.4=20-2.5=17.5;当v=35时,则v+2.5=35+2.5=37.5,v-2.5=35-2.5=32.5.因此,甲船顺水行驶的速度是22.5千米/时,逆水行驶的速度为17.5千米/时;乙船顺水行驶的速度是37.5千米/时,逆水行驶的速度为32.5千米/时.
思路点拨:
从例2可以看到:
用整式表示实际问题中的数量关系,然后再将整式中的字母所表示的不同数代入计算,从而可求出相应的值,这给问题的解决带来方便.代入时,要将整式中省略掉的乘号添上.例如,当x=-1时,整式2x23x+1的值为2×(-1)2-3×(-1)+1=2×1+3+1=6.
四、巩固练习
1.下列式子中,哪些是单项式?
哪些是多项式?
哪些是整式?
3x,2x-1,
,-ab,-5,
-1,3m-4n+m2n.
(3x,-ab,-5都是单项式;2x-1,
,3m-4n+m2n都是多项式;题目中除
-1以外都是整式)
思路点拨:
=
+
,是一次二次项,因为
不是单项式,所以
-1不是多项式,当然也不是整式.
2.判别正误:
(1)多项式-x2y+2x2-y的次数2.()
(2)多项式-
-a+3a2的一次项系数是1.()
(3)-x-y-z是三次三项式.()
思路点拨:
要求学生说明错误原因,并加以改正.
(1)次数是3;
(2)一次项系数是-1,(3)是一次三项式.
3.课本第59页练习.
4.课本第61页第10题.
点拨:
观察图形易知每增加一个梯形,图形的周长就增加3a,因此梯形个数为5时,周长为17a,梯形个数为6时,周长为20a.因为梯形的长、下底之和为3a,所以n个梯形按课本所示拼在一起所得图形较长两边长之和为3a·n,另外两边之和为2a,所以n个梯形拼成的图形周长为3an+2a.
根据这个整式3an+2a,我们很容易计算出n为任意正整数时,图形的周长,例如当n=10时,周长为32a,当n=56时,周长为170a.用整式表示实际问题中的数量关系,它比具体数字表达的式子更具有一般性,这给实际问题的解决带来很大方便.
教师引导,关注学生思路,指导学生合作交流,探索规律.
五、课堂小结
师生互动,共同小结本节课内容.
1.什么叫做多项式?
多项式是整式吗?
整式是多项式吗?
2.什么叫多项式的基?
什么叫做常数项?
举例说明?
3.什么叫做多项式的次数?
六、课堂作业
第三课时:
整式的加减
(1)
教学目标
(1)了解同类项、合并同类项的概念,掌握合并同类项法则,能正确合并同类项.
(2)能先合并同类项化简后求值.
(3)经历类比有理数的运算律,探究合并同类项法则,培养学生观察、探索、分类、归纳等能力.
(4)掌握规范的解题步骤,养成良好的学习习惯,通过比较两种求代数式值的方法,体会合并同类项的作用.
教学难点和重点
1.重点:
掌握合并同类项法则,熟练地合并同类项.
2.难点:
多字母同类项的合并.
教学过程
一、课题导入
有理数可以进行加减计算,那么整式能否可以加减运算呢?
怎样化简呢?
我们来看本章引言中的问题
(2).
在西宁到拉萨路段,如果列车通过冻土地段的时间是t小时,那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时,则这段铁路的全长是100t+120×2.1t,
即100t+252t
1.类比数的运算,我们应如何化简式子100t+252t呢?
(1)运用有理数的运算律计算:
100×2+252×2=______;
100×(-2)+252×(-2)=________.
(2)根据
(1)中的方法完成下面的运算,并说明其中的道理.
思路点拨:
根据逆用乘法对加法的分配律可得:
100t+252t=________.
思路点拨:
逆用乘法对加法的分配律可得:
100×2+252×2=(100+252)×2=352×2
100×(-2)+252×(-2)=(100+252)×(-2)=352×(-2)
我们知道字母可以表示数,如果用t表示上述算术中的数2(或-2)就有,100t+252t=(100+252)×t=352t.
事实上,100t+252t与100×2+252×2和100×(-2)+252×(-2)有相同的结构,都是两个数分别与同一个数乘积的和,这里t表示同一个因数,因此根据分配律也应该有:
100t+252t=(100+252)t=352t
2.填空:
(1)100t-252t=()t;
(2)3x2+2x2=()x2;
(3)3ab24ab2=()ab2.
上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律?
思路点拨:
上述两个探究,教师组织学生分四人小组进行讨论,引导学生观察、类比,从而发现规律,鼓励学生用自己的语言表达.
对于上面的
(1)、
(2)、(3),利用分配律可得
100t-252t=(100-252)t=-152t
3x2+2x2=(3+2)x2=5x2
3ab2-4ab2=(3-4)ab2=-ab2
这就是说,上面的三个多项式都可以合并为一个单项式.
具备什么特点的多项式可以合并呢?
观察
(1)中多项式的项100t和-252t,它们都含有相同字母t,并且t的指数都是1;
(2)中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x,并且字母x的指数都是2;(3)中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a,b,并且字母a的指数都是1,b的指数都是2.
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项,几个常数项也是同类项.
3.思考:
下列各组是不是同类项:
(1)0.5x2y和0.2xy2;
(2)4abc和4ab;
(3)-5m2n3和2n3m2;(4)7xnyn+1和-3xnyn+1.
思路点拨:
根据同类项定义进行判断,同类项应所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,二者缺一不可,与其系数无关,与其字母顺序无关.
(1)题虽然所含字母相同,但相同字母的指数不同,
(2)题所含字母不同;(3)、(4)符合同类项定义,所以(3)、(4)是同类项,
(1)、
(2)不是同类项.
因为多项式中的字母表示的是数,所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.例如,
4x2+2x+7+3x-8x2-2(找出多项式中的同类项)
=4x2-8x2+2x+3x+7-2(交换律)
=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)(结合律)
=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)(分配律)
=-4x2+5x+5
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项后,所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系?
学生交流后,教师归纳:
合并同类项法则:
在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变.
若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零,即这两项相抵消,如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0.
多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并.
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列,如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2.
二、例题
例1.合并下列各式的同类项:
(1)xy2-
xy2;
(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;(3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2.
教师操作投影仪,展示例1,引导学生先观察多项式中哪些项是同类项,初学时,按照上面的解题步骤,先根据交换律、结合律把同类项结合在一起,然后再合并.
解题过程按照课本、教学时,可采用学生口述,老师板书,同时让学生说明每一步骤的依据.
例2.
(1)求多项式2x2-5x+x24x-3x22的值,其中x=
.
(2)求多项式3a+abc-
c2-3a+
c2的值,其中a=-
,b=2,c=-3.
教师操作投影仪,展示例2,
(1)题先让学生直接代入求值,然后采用先化简后代入的方法,让学生通过比较两种方法,以使体会合并同类项的作用.
解:
(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2(仔细观察,标出同类项)
=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2(系数相加,字母部分不变)
=-x-2(系数是“1”或“-1”时省略不写)
当x=
时,原式=-
-2=-
(2)3a+abc
-3a
=(3-3)a+abc+(-
+
)c2
=abc
当a=-
,b=2,c=-3时,原式=(-
)×2×(-3)=1
点评:
在求多项式的值时,一般先对多项式进行化简,然后再代入指定的数值进行计算,这样做比较简便,同时也减少计算失误.合并时,特殊注意系数是负数的情况,规范书写格式,代入字母给定的值时,必要时要正确使用括号,否则易发生错误.
例3.
(1)水库中水位第一天连续下降了a小时,每小时平均下降2cm,第二天连续上升了a小时,每小时平均上升0.5cm,这两天水位总的变化情况如何?
(2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x千克,上午卖出3袋,下午又购进同样包装的大米4袋,进货后这个商店有大米多少千克?
思路点拨:
(1)水位上升量与水位下降量是具有相反意义的两个量.我们可以把下降的水位变化量记为负,上升的水位变化量记为正,那么,第一天水位的变化量为-2acm,第二天水位的变化量0.5acm,两天水位的总变化量为-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a(cm),这表明这两天水位的总变化情况是下降了1.5acm;
(2)类似
(1)把进货的数量记为正,售出的数量记为负,那么进货后这个商店共有大米5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x(千克).
三、巩固练习
四、课堂小结
1.什么叫同类项?
字母相同,次数也相同的项是同类项吗?
举例说明.
2.什么叫合并同类项?
怎样合并同类项?
合并同类项的依据是什么?
对于求多项式的值,不要急于代入,应先观察多项式,看其中有没有同类项,若有,要先合并同类项使之变得简单,而后代入求值.
五、课堂作业
第四课时:
整式的加减
(2)
教学目标
(1)能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简.
(2)经历类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时的符号变化的规律,归纳出去括号法则,培养学生观察、分析、归纳能力.
(3)培养学生主动探究、合作交流的意识,严谨治学的学习态度.
教学难点和重点
1.重点:
去括号法则,准确应用法则将整式化简.
2.难点:
括号前面是“-”号去括号时,括号内各项变号容易产生错误。
教学过程
一、课题导入
利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎样化简呢?
在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段要t小时,那么它通过非冻土地段的时间为(t-0.5)小时,于是,冻土地段的路程为100t千米,非冻土地段的路程为120(t-0.5)千米,因此,这段铁路全长为
100t+120(t-0.5)千米①
冻土地段与非冻土地段相差
100t-120(t-0.5)千米②
上面的式子①、②都带有括号,它们应如何化简?
思路点拨:
教师引导,启发学生类比数的运算,利用分配律.学生练习、交流后,教师归纳:
利用分配律,可以去括号,合并同类项,得:
100t+120(t-0.5)=100t+120t+
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