微积分下册知识点docx.docx
- 文档编号:10208930
- 上传时间:2023-02-09
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:132.94KB
微积分下册知识点docx.docx
《微积分下册知识点docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微积分下册知识点docx.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
微积分下册知识点docx
微积分下册知识点
第一章空间解析几何与向量代数
(一)向量及其线性运算
1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
2、线性运算:
加减法、数乘;
3、空间直角坐标系:
坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
4、利用坐标做向量的运算:
设a=(aχ,ay,az),b=(bχ,byb),则a二b=(aχ-bχ,ay-by,az-bz),a=(a*,,az);
5、向量的模、方向角、投影:
1)向量的模:
Jχ2+y2+z2;
2)两点间的距离公式:
ABI=J(X2-Xi)2+厲-yj2+(Z2-z1)2
3)方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角:
Z1,
cos2cos2cos2=1
5)投影:
PrjU^=acos®,其中®为向量a与U的夹角
(二)数量积,向量积
1、
数量积:
ab=
a
b
CoS日
-亠
■
2
1)
aa=
a
2)
a丄b=
ab
=0
ab=axbxaybyazbz
2、向量积:
C=ab
大小:
IalbSin日,方向:
a,b,c符合右手规则
1)
aX
a=
0
2)
a〃
b=
a
Xb
=0
■i
■j
k
aX
b=
ax
ay
az
bx
by
bz
运算律:
反交换律
b×
a=-a汉b
(三)曲面及其方程
1、曲面方程的概念:
S:
f(x,y,Z)=0
2、旋转曲面:
yoz面上曲线C:
f(y,Zp0,
绕y轴旋转一周:
f(y,-Yχ2∙z2P0
绕Z轴旋转一周:
f(-√'χ2∙y2,z)=0
3、柱面:
[F(x,y)=0
F(x,y)=0表示母线平行于Z轴,准线为的柱面
IZ=O
4、二次曲面(不考)
(四)空间曲线及其方程
1、
般方程:
F(x,y,Z^0G(x,y,Z)=O
×=x(t)"X=aCoSt
I
2、参数方程:
—y(t),如螺旋线:
y-asint
z(t)z=bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
[F(x,y,z)=0[H(x,y)=0
ZXc,消去Z,得到曲线在面Xoy上的投影\
G(x,y,z)=0z=0
(五)平面及其方程
1、点法式方程:
A(X-X。
)B(y-y。
)C(Z-z。
)=0
法向量:
n=(A,B,C),过点(x°,y°,z°)
截距式方程:
XyZ=IabC
2、一般式方程:
AXByCZ0
A1A2B1B2C1C2
cos"
3、两平面的夹角:
n^(A1,Bι,Cι),6=(A?
B2,C2),
口“丄口CU
12
A1A2B1B2C1C2=0
//:
12
ABICI
A2B2C2
JA2B12C12λA;B;Cf
4、点P0(X0,y0,Z0)到平面AXByCZD=0的距离:
AXgByoCZOD
B2C2
(六)空间直线及其方程
'A1x+B1y+C1z+D1=O
1、一般式方程:
(
A2X+B2y+C2z+D2=0
L1∕∕L2=
m1n1P1
m2n2P2
方向向量:
S=(m,n,P),过点(Xo,yo,Zo)
X=x0mt
3、参数式方程:
y=yo∙nt
Z=ZoPt
4、两直线的夹角:
S1=(rn∣1,n∣,pj,s?
=(m⅛,山,P2),
L1-L2=m1m2n1n2P1P2=O
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
L//二=
Am
Bn
Cp=O
A
B
C
L-二=
—
m
n
P
第二章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
2、多元函数:
Z=f(x,y),图形:
3、极限:
(Iirrl、f(x,y)=A
(x,y)T(Xo,yo)
4、连续:
(Jim)f(χ,y^f(χo,yo)
(x,y)τ(xo,yo)
5、偏导数:
f(χ°X,y。
)-f(Xo,yo)
也X
fy(xo,y°)=』mdo,%"-%%)
y—;o
6、方向导数:
—一xc°s-Gyc°s'其中,「为I的方向角。
7、梯度:
Z-f(x,y),则gradf(Xo,y°)=fχ(Xo,yo)ify(x°,y°)j
Cr
^ZBZ
8全微分:
设Z=f(x,y),则dz=τxdχ∙—dy
(2)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
—Λl
充分条件
定义
k
函数连续
1)定义:
2)复合函数求导:
链式法则
若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、微分法
ZZUZ:
VZZUZIV
—⅛+÷=""■丰H*■
.x;uX:
VX,;yU:
y:
V;y
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(3)应用1、极值1)无条件极值:
求函数Z=f(x,y)的极值
fχ=O
解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点(Xo,yo),令
Ify-0
A=fχχ(χo,y°),B=fχy(χo,yo),C=fyy(χo,yo),
1若AC-B2o,Ao,函数有极小值,若AC-B2o,A:
:
:
o,函数有极大值;
2若A^B2o,函数没有极值;
3若AC-B2=o,不定。
2)条件极值:
求函数Z=f(χ,y)在条件(χ,y^o下的极值
令:
L(χ,ypf(χ,y)(χ,y)Lagrange函数
L=o
解方程组Ly=O
(χ,y)=o
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
X=x(t)
I
曲线「Xy=y(t),则F上一点M(X0,y0,ZO)(对应参数为to)处的
Z=Z(t)
x—Xo^yQZ-Zo
切线方程为:
帀T殛=応
法平面方程为:
x(to)(x-x°)y(to)(y-y°)z(t°)(z-z°)=0
2)曲面的切平面与法线
曲面≡:
F(x,y,z^O,则匕上一点M(xo,y°,zo)处的切平面方程为:
Fχ(Xo,yo,Zo)(x-xo)Fy(Xo,yo,zo)(y-y。
)Fz(x°,y°,zo)(z-∑o)=O
χf_y—y。
_z-z°
法线方程为:
、
Fx(Xo,yo,zo)Fy(Xo,yo,zo)Fz(Xo,yo,z°)
第三章重积分
(一)二重积分(一般换元法不考)
n
1、定义:
f(χ,y)d'=∣imo'f(k,k)「k
Dk=1
2、性质:
(6条)
3、几何意义:
曲顶柱体的体积。
4、计算:
1)直角坐标
D=(χ,y)
(χ)^y乞2(χ)
J
XEb,
f(x,y)dxdy-
D
b2(x)
adxOf(x,y)dy
D=(χ,y)
ι(y门
C≤
x—2(y)y-d,
d
f(x,y)dxdy=
D
2(y)
c°ι(y)
dy,、f(χ,y)dχ
2)极坐标
D=(I)
W)
Of
"兰卩2(叫
≤6≤βJ
f(x,y)dxdy=
D
β
d丁
Cf
F)
:
:
1U)
f(、CoSdFSinV)V
1、
定义:
2、
性质:
3、
计算:
1)
直角坐标
出
)三重积分
n
f(χ,y,Z)dV=limoJ(k,k,八k
f(χ,y,z)dv二
z2(χ,y)
dxdyf(χ,y,z)dz
Dzι(χ,y)
Iif(χ,y,z)dv=
b
Jdz□Df(χ,y,z)dχdy
aDZ
“先二后一”
2)柱面坐标
^y=PSi^,出J(χ,y,z)dV=J仃Cf(Pcos日,psin日,Z)PdPd日dz
Z=Z
3)球面坐标
X=rsincosP
J
y=rSinSinV
\
z=rcos
!
Hf(χ,y,z)dVf(rsincos,rSinsin,rcos)rSindrd
dxdy
.l~-l.l~-l
X:
y
(三)应用
1、
定义:
Lf(X,y)dS=
Iim):
ιf(i,Js
对弧长的曲线积分
2、性质:
1)j'f(χ,y)(χ,y)]dsfLf(χ,y)ds‘l9(x,y)ds
2)Lf(X,y)ds=f(x,y)dsf(χ,y)ds.(L=L1L2).
LLiL2
3)在L上,若f(x,y)乞g(x,y),则Lf(X,y)ds-Lg(X,y)ds.
4)Ld^I(I为曲线弧L的长度)
3、计算:
*φ(t),
设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为Cmt咗‘),
Iy八(t),
其中(t)/(t)在[■/]上具有一阶连续导数,且2(t^2(t)-0,则
f(x,y)ds=f[(t)√(t)]J2(t)'2(t)dt,C「)
L:
(2)对坐标的曲线积分
1、定义:
设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧,函数P(x,y),Q(x,y)
n
在L上有界,定义lP(x,y)dxJim0'P(k,k)Xk,
LQ(x,y)dy
n
=∣im0'Q(∖,Qyk
LAJTUk=1
向量形式:
LFdr=lP(x,y)dxQ(x,y)dy
2、性质:
用L-表示L的反向弧,则L_F(x,y)-LF(X,y)dr
3、计算:
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为
X=(t),
1ωZX(t®T打,其中®(t)Ψ(t)在[α,P]上具有一阶连续导数,且y=(t),
2(t)‘2(t)=o,贝y
P(x,y)dxQ(x,y)dy「{P[(t)「(t)](t)Qr(t)√(t)](t)}dt
L:
■
4、两类曲线积分之间的关系:
[X=呼(t)
设平面有向曲线弧为L:
ZXX,L上点(x,y)处的切向量的方向角为:
IyN(t)
φXt)G屮Xt)
βCOS□=〒COSP=丁—
?
JA2(t)+X2(t)'2(t)+^2(t厂
则JLPdx+Qdy=L(Pcos。
+QcosP)ds.
(3)格林公式
1、格林公式:
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在
CQ已P
D上具有连续一阶偏导数,则有H一一—dxdy=qPdx+Qdy
DLXCyJL
2、G为一个单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数,则
:
P
G=曲线积分LPdXQdy在G内与路径无关
U曲线积分IPdXQdy=O
L
UP(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分
(4)对面积的曲面积分
1、定义:
设3为光滑曲面,函数f(x,y,Z)是定义在3上的一个有界函数,
n
定义J(x,y,z)dS"iq'f(i,i,JS
2、计算:
id
“一投二换三代入”
一Z=z(x,y),(x,y)DXy,则
f(x,y,z)dS=f[x,y,z(x,y)h1Zχ2(x,y)Zy2(x,y)dxdy
—■DXy
(5)对坐标的曲面积分
1、预备知识:
曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
2、定义:
设匕为有向光滑曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在二上的有界函数,
n
定义,R(x,y,z)dxdy=lim°'R(j,i,J(SJxy
-’'i二1
n
同理,T(x,y,z)dydz=IimjP(i,i,J(SJyz
n
.Q(x,y,z)dzdx=IimjR(i,i,i)(§人
■0i哥
3、性质:
1),「匕2,贝S
TPdydZQdZdXRdXdy
=LPdydZQdZdXRdXdy亠IlPdydZQdZdXRdXdy
Σ∑2
2)厂表示与匕取相反侧的有向曲面,则…三-RdXd^^zRdXdy
4、计算:
一一“一投二代三定号”
匕:
Z=Z(X,y),(x,y)∙DXy,z=z(x,y)在DXy上具有一阶连续偏导数,R(x,y,z)在
匕上连续,贝τR(x,y,z)dxd^-DR[x,y,z(x,y)]dxdy^为上侧取“+”,
DXy
≡为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系:
∖PdydzQdzdxRdxdyLJPcos:
QCOSRCOSdS
其中〉,-,为有向曲面匕在点(χ,y,z)处的法向量的方向角。
(六)高斯公式
1、高斯公式:
设空间闭区域「由分片光滑的闭曲面3所围成,二的方向取外侧
函数P,Q,R在门上有连续的一阶偏导数,则有
dxdydz—PdydzQdZdXRdXdy
CPCQCRR
誡——+——+——dxdydZ=啊(PCOSa+QCOSP+RCOSF)dS
SCX汕EZ‘V
(七)斯托克斯公式
1、斯托克斯公式:
设光滑曲面1的边界】是分段光滑曲线,1的侧与】的正向
符合右手法则,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在内的一个空间域内具有连
续一阶偏导数,则有
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作
:
x
P
:
yQ
:
:
Z
R
八PdXQdyRdZ
第六章常微分方程
1、微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程;
未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;
未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程;
微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶
能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解.
如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解.
不包含任意常数的解为微分方程特解.
2、典型的一阶微分方程
可分离变量的微分方程:
g(y)d目=f(x)dx或dy=h(x)g(y)
dx
对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解:
)任意常数
g(y)dy=f(x)dx
2、齐次微分方程:
Y=G)或者χ,V(∙x)
Xy
在齐次方程y=2)中,令u=y,可将其化为可分离方程
x.X
人dydu
令U,贝Uy=xu,XU)
Xdxdx
代入微分方程即可。
(1)形如V=f(axbyC)的方程.
令u=ax■by■c,则u=abyI原方程可化为
⑵形如y=f(aιxbyG)的方程.
a2x+b2y+c2
可通过坐标平移去掉常数项。
Uf(u).
3、一阶线性微分方程
型如yp(x)y=q(x)称为一阶线性微分方程。
-■p(x)dx其对应的齐次线性微分方程的解为y=Ce•。
利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解
■IP(X)dx.∣p(x)dx
y=e(q(x)edxC)。
4、伯努利方程:
yp(x)y=q(x)yn(n=0,1)
将方程两端同除以yn,得=TNp(x)y1=Zq(X)(n=0,1)
令u=y1τ,贝卩du=(1_n)yTdy,于是U的通解为:
Xdx
dyIdU
=÷
dX1-ndx
u=e-(5p(χ)dx((1_n)q(x)e(IJ)P(X)dxC)
5、全微分方程:
7、可降阶的高阶常微分方程
(1)[y(n)Hf(x))型的微分方程
(2)6.4.2y(n^f(x,y(OJ))型的微分方程
(3)6.4.3ygf(y,y)型的微分方程
&线性微分方程解的结构
(1)函数组的线性无关和线性相关
(2)线性微分方程的性质和解的结构
叠加原理:
二个齐次的特解的线性组合仍是其特解;二个线性无关齐次的特解的线
性组合是其通解
-P(x)dx
eJ
(3)刘维尔公式y2(χ)T1(χ).2dx
yI
(4)二阶非齐线性微分方程解的结构y=yι(x)y*(x)
特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解:
CI(X)yι(x)C2(x)y2(x)=O,
CI(X)y1(x)C2(x)y2(x)=f(x)。
y*(x)=G(x)%(x)C2(x)y2(x)
9、二阶常系数线性微分方程
(1)齐次线性微分方程的通解
特征方程:
P^O。
1)
1x
特征方程有两个不同的实根’1='2,则y1=e1x,y2=e'2x
其通解为:
y=Cy∙C2y2=Ge1xC2e'2x0
2)特征方程有实重根人=妇,贝U“—pip_4q=-卫,
22
此时,y1=e'1x是方程
(1)的一个解。
再利用刘维尔公式求出另外一个线性无关的解即可
3)特征方程有一对共轭复根人=Of+i0,人2=G—i0,贝U
y=C1y1+C2y2=C1e"α+Bx+C2e3Px。
或y=e"(C1cosBx+C2sinPx)。
(2)二阶常系数非齐线性微分方程的特解
1.f(x)=e>xPn(x)的情形
若a不是其特征方程的特征根,则yje:
0(x)O
若a是其特征方程的单特征根,则T=XeXQn(x)o
若a是其特征方程的K重特征根,则T=XkexQn(x)o
2.f(x)=ex[R(x)cosXPn(X)Sinx]的情形,
当卅二肉不是特征根时,方程的特解可设为y=xex[Qmn)(X)co√xQm2)(X)Sin-x];当用二Γ-i是特征根时,方程的特解可设为y二XeH[Qn)(X)COSXQm)(X)Sin-x];
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微积分 下册 知识点 docx