数值分析高斯顺序消去法列主元消去法LU分解法.docx

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数值分析高斯顺序消去法列主元消去法LU分解法

数值分析实验报告

（1）

学院：

信息学院

班级：

计算机0903班

姓名：

***

学号：

********

课题一

A.问题提出

给定下列几个不同类型的线性方程组，请用适当的方法求解

线性方程组1、设线性方程组

=

x

=（1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2）

2、设对称正定阵系数阵线方程组

=

x

=（1,-1,0,2,1,-1,0,2）

3、三对角形线性方程组

=

x

=（2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1）

B.

（1）对上述三个方程组分别用Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法；平方根与改进平方根法；追赶法求解（选择其一）

（2）编写算法通用程序

（3）在应用Gauss消去时，尽可能利用相应程序输出系数矩阵的三角分解式

C.

（1）通过该课题的程序编制，掌握模块化结构程序设计方法

（2）掌握求解各类线性方程组的直接方法，了解各种方法的特点

（3）体会高斯消去法选主元的必要性

实验步骤：

（高斯消去法，列主元，LU）

1顺序高斯消去法2.LU分解法3.列主元高斯消去法（如下图）

（1）高斯消去法运行结果如下

（2）对方程的系数矩阵进行LU分解并求出方程组的解

（3）列主元高斯消去法

实验体会总结：

利用gauss消去法解线性方程组的时候，如果没有经过选主元，可能会出现数值不稳定的现象，使得方程组的解偏离精确解。

源程序如下：

#include

#include

#include

#defineMAX20

intN;

doublea[10][11];//增广矩阵

voidinit（）

{

inti,j;

inta1[10][11]=

{4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,5,

8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,12,

4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,3,

0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,2,

-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,3,

8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,46,

0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,13,

16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,38,

4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,19,

0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1,-21};

N=10;

for（i=0;i

{

for（j=0;j<=N;j++）

a[i][j]=a1[i][j];

}

}

voidGS（intN）

{

doublex[20];//存储解向量

doublem;//中间变量

inti,j,k;

//消元过程

for（k=0;k

if（a[k][k]==0）{

cout<<"求解失败!

";

break;

}

for（i=k+1;i

m=a[i][k]/a[k][k];

a[i][k]=0;

for（j=k+1;j<=N;j++）//j<=N？

a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*m;

}

}

//回代过程

x[N-1]=a[N-1][N]/a[N-1][N-1];

for（k=N-2;k>=0;k--）{

for（j=k+1;j

a[k][N]=a[k][N]-a[k][j]*x[j];

}

x[k]=a[k][N]/a[k][k];

}

//输出结果

for（k=0;k

cout<<"x["<

}

voidLU（intN）

{

inti,j,k;doublex[20];

//******开始LU分解*************

for（k=0;k

{

if（a[k][k]==0）

{

cout<<"主元素为零！

"<

break;

}

for（i=k+1;i

{

a[i][k]=a[i][k]/a[k][k];//矩阵A的严格下三角部分存储L矩阵的严格下三角部分

for（j=k+1;j

{

a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]*a[k][j];

}//计算U矩阵

}

}

//*********LU分解完成**************

cout<<"LU分解结果为（矩阵的严格下三角部分存储L矩阵的严格下三角部分,上三角存储U）:

"<

for（i=0;i

{

for（j=0;j

{

cout<

}

cout<

}//输出LU分解

x[0]=a[0][N];

for（k=1;k

{

for（j=0;j

{

a[k][N]=a[k][N]-a[k][j]*x[j];

}

x[k]=a[k][N];

}

x[N-1]=x[N-1]/a[N-1][N-1];

for（k=N-2;k>=0;k--）

{

for（j=k+1;j

{

x[k]=x[k]-a[k][j]*x[j];

}

x[k]=x[k]/a[k][k];

}

cout<<"方程组的解为：

"<

for（k=0;k

cout<<"x["<

}

voidarGS（intN）

{

intk,i,j;doublem,x[20];

for（k=0;k

{//k

ints=k;

for（i=k+1;i

{

if（fabs（a[s][k]）

s=i;

}

if（s!

=k）

{

for（j=0;j<=N;j++）

{

m=a[k][j];

a[k][j]=a[s][j];

a[s][j]=m;

}

}

if（a[k][k]==0）

{

cout<<"求解失败!

";

break;

}

for（i=k+1;i

{

m=a[i][k]/a[k][k];

a[i][k]=0;

for（j=k+1;j<=N;j++）//j<=N？

a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*m;

}

}

//回代过程

x[N-1]=a[N-1][N]/a[N-1][N-1];

for（k=N-2;k>=0;k--）

{

for（j=k+1;j

{

a[k][N]=a[k][N]-a[k][j]*x[j];

}

x[k]=a[k][N]/a[k][k];

}//输出结果

cout<<"方程解为：

"<

for（k=0;k

cout<<"x["<

}

voidmain（）

{

intd=1;

while（d!

=0）

{

cout<<"选择输入方程方式：

（1.例子方程组2.自己输入方程组（0退出））";

cin>>d;

switch（d）

{

case1:

init（）;break;

case2:

{cout<<"请输入方程（增广矩阵）的维数：

";

cin>>N;

intt,p;

cout<<"请输入方程系数:

";cout<

for（t=0;t<=N-1;t++）

for（p=0;p<=N-1;p++）

cin>>a[t][p];

cout<

";

for（intr=0;r<=N-1;r++）

cin>>a[r][N];

cout<

default:

cout<<"输入错误,请重新输入"<

}

intc;

cout<<"请输入选择：

（1.GS消去法2.LU分解3.列主元消去法0.退出）"<

cin>>c;

switch（c）

{

case1:

GS（N）;break;

case2:

LU（N）;break;

case3:

arGS（N）;break;

case0:

exit（-1）;break;

default:

cout<<"输入错误请重新输入：

";break;}

}

}