高考数学复习指导推理与证明docx.docx

高考数学复习指导推理与证明docx.docx

《高考数学复习指导推理与证明docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习指导推理与证明docx.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学复习指导推理与证明docx

高考数学复习指导

推理与证明

一、合情推理与演绎推理

1、考纲点击

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现屮的作用；

（2）了解演绎推理的更要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；

（3）了解合情推理和演绎推理Z间的联系和差界。

2、热点提示

（1）以选择题、填空题的形式考查合情推理；

（2）以选择题或解答题的形式考查演绎推理

（3）题目难度不人，多以中低档题为主。

二、直接证明与间接证明

1、考纲点击

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点；

2、热点提示

（1）本考点在高考中每年都要涉及，主耍以考查直接证明中的综合法为主；

（2）反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

三、数学归纳法

1、考纲点击

（1）了解数学归纳法的原理；

（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2、热点提示

（1）归纳——猜想——证明仍是高考重点；

（2）与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点。

【考纲知识梳理】

一、合情推理与演绎推理

厶

帖••

拆

理

1类比推理

怎义：

由某类爭物的部分対象貝冇荣此持1;•推出诚类爭鞫的全部厲皱都兵仃这些特征的推理・或A由个别也实廐括出・般給论的推理.

持点"上由部分刊幣体"由个别刊•般的推理.

足义:

由两类对独H仃某些类似特tiE和其屮•类对彖的菜些U知特征・推出牙■类对象电具冇这些待征

的推理.

特点:

类比推理kihj殊刊待殊的推理.

D大网提--C旬的•般庄理：

小口扭一所L的特殊怙况:

㊄給论一垠拥•股原理.对特殊悄况作岀的判断.

特点:

演纤笊理焰由■般刊待殊的笊理.

注：

归纳推理和类比推理的特点与区别：

类比推理和归纳推理的结论都是冇待于证明的。

归纳推理是曲特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。

二、直接证明与间接证明

1、直接证明

内容

综合'次

分析法

定义

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等.经过一系列的推理论证，最后•推导出所要证明的结论成立

从要证明的结论出发.逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后.把要11E明的结论U1结为判定一个明显成立的条件

实质

由因导果

执果索因

框图

表示

Q^P.>PUP

—►

P->Q,>

Q.->Q>

…HQ—Q

1

…a得到一个明显成立的条件

文字

语肓

因为…所以…

或由…得…

要证…只需证…即证…

注：

分析法的特点是：

从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：

从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。

分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出來，往往选择较简单的一种。

2、间接证明

反证法：

假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

三、数学归纳法

数学归纳证题的步骤：

（1）证明当n取笫一•值ngwNj时命题成立：

（2）假设n二k（k2q）,kuN*）时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从如开始的所有止整数n都成立。

注：

1、第一个值勺是否一定为1呢？

不一淀，要看题目中n的要求，如当n$3时，则第一个值勺应该为3o

2、数学归纳法两个步骤有何关系？

数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，笫二步是递推的依据，也叫归纳递推。

两者缺一不町。

【热点难点精析】

一、合情推理与演绎推理

（一）归纳推理

※相关链接※

1、归纳推理的特点：

（1）归纳是依据特殊现彖推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围;

（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础Z上的。

2、归纳推理的一般步骤：

（1）通过观察个别悄况发现某些相同本质；

（2）从己知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。

注：

归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明。

※例题解析※

先分别求/（0）+/（!

）,/（-!

）+/

（2）,/（-2）+/（3）,,然后

归纳猜想一般性结论，并给岀证明。

思路解析：

由f（x）T计算各和式T得出结论T归纳猜想T证明

解答：

/（0）+/（!

）=

]1_1]

3°+V33'+V3_1+a/33+V3

，同

理可得：

/（—1）+/

（2）=斗，/（-2）+/⑶=£。

证明:

设%!

+X2=1,

八、11（3叼+能）+（3七+希）3刁+3七+2希

12_3七+希3七+巧_（3X1+V3）（3X2+V3）_3屮七+巧（3勺+3七）+3

_3"+3叼+2弟_3®+3勺+2的_羽

一術（3"+3T+2x3一術（3"+3七+2舲）一3

（二）类比推理

※相关链接※

1、类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：

（1）找出两类事物Z间的相似性或一致性；

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

2、类比是科学研究最普遍的方法之一。

在数学屮，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。

类比在数学中应用广泛。

数与式、平而与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。

注：

类比推理推得的结论不一定正确，其正确性，有待进一步证明。

※例题解析※

K例口请用类比推理完成下表:

平面

空间

三角形两边之和人于第三边

三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

=角形的面积等于任意i边的长度与这边上高的乘积的一半

三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一

三角形的面积等于具内切圆半径与三角形周

长的乘积的一半

思路点拨：

山表格-、二两个问题的类比可知，线対血，长度对血积，从而内切圆应相对内切球，从而可解。

解答：

木题由已知前两组类比可得到如下信息：

①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各ifii的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥而上的高是类比对象；④三角形的而积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的而积公式中的“二分Z—”，与三棱锥的体积公式中的"三分Z—”是类比对彖。

山以上分析可知:

三角形的面积等于其内切圖半径与1三角形周长的乘积的1一半1

类比

类比

类比

类比

类比

三柚絹的讎等于其两拆半径与|兰棱锥余面积|的乘积的|场之二

故第三行空格应填：

三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分Z一。

（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，此处略）

K例2》平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行。

类似地，写出空间中的一个四棱锥为平行六而体的两个充耍条件：

充要条件①：

充要条件②：

解答：

两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行。

一组对边平行且相等类比可得两组对面分別平行且全等。

答案：

①三组对而分别平行；②两组对而分别平行且全等。

注：

类比推理是根据两个对彖有一部分属性类似，推出这两个对彖其他属性亦类似的一种推理方法。

例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对彖类比等。

当然类比时冇能出现错谋，如：

在平面内，直线a、b、c,若a丄b,b丄c,则a〃c；在空间，三个平面a、

B、T,若a丄p,p丄T,但a与T之间可能平行，也可能相交。

（三）演绎推理

K例12

（1）证明函数/（x）=-x2+2%在（±是增函数；

（2）当xg［-5,-2］时，于（兀）是增函数还是减函数？

思路解析:

（1）证明木题的人前提是增函数的定义，即增函数/（兀）满足：

在给定区间内任取口变量的两个值西，兀2且-v,

xe（-oo,l］,结论满足增函数定义。

（1）关键是看［-5,-2］与/（%）的增区间或减区间的关系。

解答：

（1）方法一：

任取兀|宀丘（-00,1］,X］V%2贝9

/（兀］）一/（兀2）=（兀2一兀I）（兀2+兀1一2），T兀|V七<1，兀2+召一2V°,••・/（兀|）一/（%2）<0,/（^）

于是，根据“三段论”可知，

/（x）=-X2+2兀在（-00,1］上是增函数；

方法二：

•//（x）=-2x+2=一2（兀一1）,当兀g（-oo,l）时，x-1<0,.\一2（兀一1）>0,.\/（%）>0在兀g（一oo,l）上恒成立.W（力在（Y）,1］上是增函数0

（2）・・・/⑴在（-oo,l］上是增函数，而1-5,-2］是区间（yo,1］的了区间，:

・f⑴在［一5,-2］上是增函数。

注：

三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：

若集合M的所有元素都具体性质P,S是M的了集，那么S所有元素都具体性质P。

三段论推理屮包含三个原理；第二个判断叫小前捉，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起來，揭示了一般原理和特殊悄况的内在联系，从而产生了第三个判断：

结论。

K例2］用三段论的形式写出卞列演绎推理。

（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；

（2）矩形的对介线相等，正方形的是矩形，所以正方形的对角线相等；

（3）0.332是有理数;

（4）y=sinx（xeR）是周期函数。

解答：

（1）两个角是对顶角，则两角相等，大而提

Z1和Z2不相等小前提

Z1和Z2不是对顶角结论

（2）每个矩形的对角线相等人前提

正方形是矩形小前提

正方形的对角线相等结论

（3）所有的循环小数是有理数，大前

提

0.332是循环小数，小前提

所以0.33空是有理数结论

（4）三角函数是周期函数，人前提

y=sinx是三角函数，小前

捉

y=sinx是周期函数结

论

二、直接证明与间接证明

（一）综合法证明不等式

※相关链接※

1、综合法是“由因导果”，它是从己知条件出发，顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真实性。

用综合法证明题的逻辑关系是：

AdB—B?

亠…dBqB（A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论），它的常见书而表达是“J,・・・”或“n”；

2、综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。

※例题解析※

K例］I已知x+y+z=l,求证x2+y24-z2>-.

3

思路点拨：

利用a2+b2>2ab,同时变形利用x+y+z=l,从而（x+y+z）2=1可证。

解答：

TF+b>2xy,x2+z2>2xz,y2+z2>2）7,

/.2x2+2y24-z2>2xy+2xz+2yz.3x2+3y2+3z2>x2+y2+z?

+2xy+2xz+2yz

3（x2+/+z2）>（^+y+z）2=1/./+），+#>-

（二）分析法证明不等式

※相关链接※

1、分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件；

2、分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实。

用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：

为了证明命题Q为真，从而有……

这只盂证明命题片为真，从而冇

这只需证明命题£为真，从而有

这只需证明命题P为真。

而已知P为真，故Q必为真。

注：

用分析法证题时，一定耍严格按格式书写，否则容易出错。

※例题解析※

K例』已知非零向量a,b,且a丄方，求证:

a+b

\a+b\

思路解析：

a丄=同意注意，"=a,将耍证式子变形平方即町获证。

解答:

丁d丄b：

•a/?

=（）,

要证

a+b

\a+b\

—2I-♦11-*I—*2-*2-♦-♦-*2t_t.-*2―♦―—2—*2—♦2

a+2ab+b<2（a+2ab+b）,只需证a+2ab+b<2a+2b,

只需证+”|诩”卜0,即（”卜附、0,上式显然成立，故原不等式得证。

（三）反证法证明

※相关链接※

1、反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：

（1）反设：

假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）

（2）归廖：

将“反设”作为条件，山此出发经过正确的推理，导出才盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）

（3）结论：

因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的廖谋。

既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

（结论成立）

注：

用反证法证明问题时要注意以下三点：

（1）必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性吋，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全是；

（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，尺必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反而出发进行推理，就不是反证法；

（3）推导出的才厉可能多种多样，有的与已知才盾，有的与假设才盾，有的与事实才盾等，推导出的矛盾必须是明显的。

2、常见的“结论词”与“反设词”如下：

原结论词

反设词

原结论词

反设词

至少有•个

•个也没有

对所有x成立

存在某个X不成立

至多有一个

金少冇两个

对任意x不成立

存在某个x成立

至少何n个

至多有n-1个

P或q

-\p-LL-c[

至多有n个

至多有n+1个

PLLq

-ip或-iq

※例题解析※

K例U已知ci,b,c是互不相等的实数，求证：

由y=ax2+2bx+c,y=bx~+2cx+a,y=cx~+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点。

思路解析：

利用反证法，否定命题的结论T利用△WOT同向不等式求和T推出才盾T得结论

解答：

假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与X冇两个不同的交点（即任何一条抛物线与兀轴没有两个不同的交点），由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx~+lax+b得

A,=（2/?

）2-4ac<0,

A2=（2c）2-4^<0,

A3=（2a）2-4/?

c<0.

同向不等式求和得，

4/?

2+4c2+4a2-4ac-4ah-4hc<0,

/.2a2+2h2+2c2-2ah-2hc-2ac<0,

（d—Z?

）2+（Z?

—c）?

+（c—d）?

<0,

a=b=c,这与题设互不和等矛盾,因此假设不成立，从而命题得证。

（4）综合问题的证明

K例[请先阅读：

在等式cos2x=2cos2x-1

（cos2无）'=（2cos2x-\y

由求导法则,得（一或沁兀）2=4cosx（-sinx）,化简得等式:

sin2%=2cosxsinx.

（1）利用上题的想法（或其他方法），试山等式（i+Q“=U+Ck+C^+.・・+c；；0

\kCkxk~l

（MR,正整数心2）,证明：

n[（l+xy-l-l]=k=i".

（2）对于正整数〃上3,求证：

£（i）g

（i）日=0；

（ii）*=1=0；

f1—27

（iii）"'+1"〃+l.

证明：

（1）在等式（曲”宅+^+心宀…+侔“两边对乂求导得

H（1+兀）”T=C：

+2C>+•••+（/!

—l）Cf—2+nCy

川（1+X）”T—1]=工

移项得k=2（*）

=o

（2）（i）在（*）式中，令兀=一1,整理得

£（-l）g=O

所以“】

（ii）由⑴知mi+Qi=C：

+2C伐+•••+（—l）C,；f+皿；严,空3两边对兀求导，得心一1）（1+切心=2C；+32C扶+・・・+如一Dey"

在上式中,令兀=_1

0=2C；+32C；（-1）+…+n（n-l）C^-iy-2

立伙-1）C；（-1宀0

即"2,

£（_l）W_g=O

亦即"2

（1）

£（-$C=o

又由（i）知—

（2）

£（-i）wc=o

由

（1）+

（2）得"I

（iii）将等式（l+x）"=C!

+C；x+C；x2+・・・+C：

x"两边在［0,1］上对X积分（（1+x）n必=f（C》+Ck++…+C：

X）dx

亠（1+旷

由微积分基本定理，得n+X

2”，-1

所以

n+1

注：

证明问题是初等数学中常见问题，也是高考常考问题，在各章知识中均有所体现,函数、数列、不等式、立体儿何、解析儿何中常有证明问题，木例就是导数应用到证明问题的直接体现，这就需耍对各章知识灵活应用，如应用二项展开式亦可证明有关数学中整除性及不等式问题。

三、数学归纳法

（-）用数学归纳法证明等式

※相关链接※

1、用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄

清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n°是多少；

2、由n二k到n二k+1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n二k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明。

※例题解析※

K例》用数学归纳法证明：

1111/Z.-rj*I-kt*\

丙+百+両+…+2心+2）_4（川+1）八°

思路解析：

按数学归纳法的证明步骤。

解答:

⑴当E时,等式左边=士冷等式右边=爲斗.••等式成立.

n=k（kN1.keN"）时等式成立

丙+盂+亦+…十2心+2）=4伙+1）成丛那么Tn-k+l时,

I

k（k+2）+1

4仗+1）伙+2

1111k1

11•1=12x44x66x82k（2k+2）2（k+1）[2伙+1）+2]4伙+1）4仗+1）伙+2）

_伙+1尸_P+1

一4仗+1）伙+2）一4伙+1）+1]'

即n二k+1时等式成立.

由⑴、

（2）可知，对任意底“等式均成立.

（2）用数学归纳法证明整除问题

※相关链接※

整除问题是常见数学问题,除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可

用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项

和因式分解等方法。

也町以说将式子“硕提公因式”，即将n二k时的项从n二k+1时的项中“硕

捉出來”，构成n二k时的项，后而的式子相对变形，使之与n二k+1时的项相同，从而达到利用假设的冃的。

※例题解析※

K例》用数学归纳法证明«/，+，+⑺+1尸心能被/+q+1整除（nWN*）。

思路解析：

验证n二1时命题是否成立一＞假设n二k吋命题成立T推证n二k+1吋命题成立T得结论。

解答：

（1）当n二1时，a2+（a+l）=a2+a+l可被a2+a+l整除

（2）假设n=k（kG/V*）时，卅宀+@+1）22能被/+Q+1整除，则当n二k+1时，

C严+（q+1）""=a+（d+l）2（d+l）"T=aak+y+°（d+l）"T+（/+d+]）（d+]严T

=a[ak+i+（a+1）2'-1]+（a2+a+\\a+1）2'-1,

由假设可知gW+（a+l）z]能被（/+q+1）整除，（/+q+i）（q+『-I也能被（/+q+1）整除

・•・ak+2+（d+l）2z能被&+&+1）整除，即心£+1时命题也成立，

对任意兀G/V"原命题成立.

（3）用数学归纳法证明几何问题

※相关链接※

在儿何问题中，常有与n有关的儿何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若T部分等问题。

这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题吋，关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n二k+1和n二k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是川数学归纳法证明儿何命题的一大技巧。

※例题解析※

K例1』平Ifli内冇n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：

这n条直

线把平面割成丄⑺2+料+2）个区域。

2

思路解析：

n二k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成（k+1）段，而每一段将它们所在区域一分为2,故增加了k+1个区域。

解答：

（1）当n=l时，一条直线把平面分成两部分，又丄（r+l+2）=2,・・・n=1时命题

2

成立。

（2）假设n二k（keAT）时，命题成立，即k条满足题意的直线把平而分割成丄（/+£+2）个区域。

那么，当n=k+l时,k+1条直线中的k条直线把平面分成丄（疋+R+2）22

个区域，第k+1条总线被这k条直线分成k+1段，每段把它们所在的区域分成了两块。

因此增加了k+1区域，・・・k+1条直线把平面分成了丄伙2+R+2）+£+1=丄[伙+1）2+伙+1）+2]

22

个区域oAn=k+1时命题也成立。

由⑴、

（2）知，对一切的neN\此命题均成立。

K例2》平而内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：

这n个圆将平而分成n'+n+2个部分.

证明：

（1）n=l时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。

（2）假设n二k（kw?

T）时，k个圆将平而分成k-k+2个部分。

当n二k+1吋，第k+1个圆Ch交前而2k个点，这2k个点将圆Ck+】分成2k段，每段各口所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k2-k+2+2k个部分,即（k+1）打（k+1）+2个部分。

故n二k+1时，命题成立。

由

（1）、

（2）可知，对任意nGN"命题成立。