第二章对偶理论与灵敏度分析A4.docx
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第二章对偶理论与灵敏度分析A4
第二章对偶理论与灵敏度分析
本章内容重点:
1、线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义;
2、线性规划的对偶单纯形法;
3、线性规划的灵敏度分析。
线性规划有一个有趣的特性,就是每一个LP问题都存在一个与之相应的LP问题,我们称其中任一个为原问题(记为LP),另一个为对偶问题(记为DP)。
线性规划的这个特性称为对偶性。
线性规划有一个有趣的特性,就是每一个LP问题都存在一个与之相应的LP问题,我们称其中任一个为原始问题(记为LP),另一个为对偶问题(记为DP)。
线性规划的这个特性称为对偶性。
研究线性规划的对偶问题,不仅可以获得许多原始问题的知识,还可以得到原始问题不易直接弄清楚的问题,从而有利于原始问题的求解。
在这一章中,我们将从经济意义上研究线性规划的对偶问题,揭示原问题与对偶问题之间的关系,间接地获得更多的有用的信息,为企业经营决策提供更多的科学依据。
§1线性规划的对偶问题
一、LP对偶问题的提出
例1某工厂拥有A、B、C三种类型的设备,生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备台时数,每件产品可获得的利润以及三种设备可利用的台时数如下表所示。
求获取利润最大的生产方案。
甲产品
乙产品
每天设备台时限制
设备A
0
5
15
设备B
6
2
24
设备C
1
1
5
利润(万元/吨)
2
1
这个问题的数学模型与第一章例2类似,设x1,x2分别为产品甲、乙的计划日产量,则有:
Maxz=2x1+x2
s.t.5x2≤15
6x1+2x2≤24
x1+x2≤5
x1,x2≥0
求解得每天最大利润8.5万元。
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。
假如有另一个企业要求租用该厂的设备A、B、C,那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢?
一般来说,有两点需要考虑,一是该厂出租设备要合算;二是要价合理。
所谓合算,就是出租的收入不少于生产利润8.5万元。
而要价合理,就是在合算的前提下,租金要尽量低,这样才能吸引求租者。
为了用线性规划来决策这一问题,设y1,y2,y3分别为设备A、B、C的每台时租金。
对出租者来说,将用于生产一吨甲产品的设备台时总数的租金不低于生产一吨甲产品的利润(2万元),即6y2+y3≥2,就合算。
否则这些设备台时就不能出租,还是用于生产一吨甲产品以获取利润2万元合算;同理用于生产一吨乙产品的设备台时总数的租金也不应低于生产一吨乙产品的利润(1万元),即5y1+2y2+y3≥1,否则这些设备台时就不能出租,还是用于生产乙产品以获取利润1万元合算。
但对于租用者来说,他希望在出租者愿意出租的前提下,总租金越低越好,即Minf=15y1+24y2+5y3,于是有如下线性规划:
Minf=15y1+24y2+5y3
6y2+y3≥2(不少于一吨甲产品的利润)
5y1+2y2+y3≥1(不少于一吨乙产品的利润)
y1,y2,y3≥0
这是从两个不同的角度来考虑同一厂的最大利润(最小租金)的问题,所建立起来的两个LP模型。
这两个线性规划就是一对互为对偶问题,把其中任一个叫做原问题,而另一个就是其对偶问题。
不难看出上述互为对偶的两个线性规划具有如下关系:
1.在互为对偶的两个LP中,一个目标函数为“极大化”,约束条件为“≤”型,另一个目标函数为“极小化”,约束条件是“≥”型。
即“max,≤”和“min,≥”相对应。
2.在互为对偶的两个LP中,一个问题的约束条件个数等于另一个问题的变量个数,即一个约束条件对应着另一个问题的一个变量。
因为两个问题的变量意义不同,为区别起见,称对偶问题变量为对偶变量。
3.从b、C的位置上看,在两个LP模型中,b和C的位置成交换关系。
4.在互为对偶的两个LP中,系数矩阵是互为转置关系。
5.在互为对偶的两个LP中,变量取值均有非负约束。
我们把具有上述关系的对偶问题称为对称形对偶问题。
一般地,对称形的两个互为对偶问题具有如下形式:
(LP)Maxz=cx(DP)Minf=yb
Ax≤b互为对偶yA≥C
x≥0y≥0
由对称形对偶问题的关系可以直接写出一个LP的对偶问题,如
Minf=300x1+400x2+250x3Maxz=50y1+100y2
x1+2x2≥50y1+y2≥300
x1+x2+x3≥100对偶问题2y1+y2≥400
x1,x2,x3≥0y2≥250
y1,y2≥0
如果线性规划不具有“max,≤”和“min,≥”形式,变量也不都有非负约束,其对偶问题就不是对称形的,被称为非对称形对偶问题。
下面我们来讨论非对称形对偶问题的关系:
例2.Maxz=50y1+100y2
y1+y2≤300
2y1+y2≥400
y2=250
y1,y2≥0
这是一个极大化问题,为了写出其对偶问题,我们可以将其约束条件化成“≤”号的等价形式,以便利用对称形式写出其对偶问题。
为此将第二个约束条件两边乘(-1),使之变成“≤”号。
因为这里不是标准化,所以无需满足右边常数非负条件。
第三个约束条件可以用两个等价的不等式代替,即
经等价变换后原模型可改写为:
Maxz=50y1+100y2
y1+y2≤300
-2y1-y2≤-400
y2≤250
-y2≤-250
y1,y2≥0
将此问题看作原问题,利用前面介绍的对称形对偶关系可以直接写出其对偶问题如下:
式中
对应于原问题第一个约束条件,
对应于原问题的第二个约束条件的等价约束;
对应于原问题的第三个约束条件的两个等价约束。
为了让对偶变量与原问题的约束条件一一对应,我们令
代入上式作替换,则上式变为:
由此可见,当原问题中某个约束条件为等式约束时,在其对偶问题中,与该等式约束对应的变量取值无约束;而当原问题中某个变量取值无约束时,在其对偶问题中,与该变量对应的约束为等式型。
一般情况下,任何一个LP原问题与其对偶问题都存在如表2-1所示的相互关系。
表2-1线性规划原问题与其对偶问题的相互关系
原问题(max,≤)
<==>
对偶问题(min,≥)
系数矩阵A
<==>
系数矩阵AT
价值系数C
<==>
右端项b
右端项b
<==>
价值系数C
第i个约束条件为≤型
<==>
对偶变量yi≥0
第i个约束条件为≥型
<==>
对偶变量yi≤0
第i个约束条件为=型
<==>
对偶变量yi无约束
决策变量xj≥0
<==>
第j个约束条件为≥型
决策变量xj≤0
<==>
第j个约束条件为≤型
决策变量xj无约束
<==>
第j个约束条件为=型
例3.利用表2-1中关系直接写出下面线性规划的对偶问题
(1)
(2)
解:
(1)由表2-1中关系有
(2)由表2-1中关系有
练习
(1)
(2)
§2.原问题与对偶问题关系的基本性质
上节我们讨论了原问题与对偶问题模型在形式上的关系,本节我们要介绍原问题与对偶问题解的一些关系。
并以下面两个互为对偶问题的模型为背景。
(LP)MaxZ=CX(DP)MinF=Yb
AX≤bYA≥C
X≥0Y≥0
可以证明LP与DP的解具有如下性质:
1.弱对偶性(弱对偶定理)
设X,Y分别是(LP)与(DP)的任意可行解,则有CX≤Yb。
证明:
因为可行解X、Y满足各自问题的所有约束条件,于是有:
C≤YA
两边右乘X(X≥O),再把AX换成b得:
CX≤YAX≤Yb证毕。
这一性质表明LP的目标函数最大值也不会超过DP的目标函数最小值。
2.最优性(最优性准则定理)
若X*,Y*分别是LP和DP的可行解,且CX*=Y*b,则X*,Y*分别为LP和DP的最优解。
证明:
由性质1有:
CX*=Y*b≥CX;Y*b=CX*≤Yb
3.无界性
若已知LP与DP中一个问题无界,则另一个问题必无可行解。
反之不一定。
证明:
用反证法,因为如果另一个问题(假设为DP)有可行解,对应的目标函数值为F(是有限实数),则按性质1有,Z≤F,这与无界条件相矛盾。
4.强对偶性(对偶定理)
如果原问题有最优解,则其对偶问题也一定有最优解,且二者目标函数最优值相等。
证明:
将原问题LP标准化后,约束方程组为:
AX=BXB+NXN=b(注意此式中A不是LP中的A)
令方程组中XN=0,可解得XB=B-1b,目标值Z=CBXB+CNXN=CBB-1b
当上式中B是最优解中基变量对应的基(即最优基)时,最优表中的最优解就是:
它对应的目标函数最优值为:
Z*=CBXB+CNXN=CBB-1b
最优表中检验数行的检验数排成的行向量为:
σ=[(C,0)-CBB-1(A,I)]≤0(此式中的A是LP中的A)
于是有:
CBB-1A≥C,CBB-1I=CBB-1≥0
令Y*=CBB-1代入上式得
Y*A≥C,Y*≥0
这表明Y*=CBB-1是对偶问题DP的可行解,这是因为Y*=CBB-1满足了DP的所有约束条件。
又因为当Y*=CBB-1时,Z*=CBB-1b=Y*b=F*
由此可见,对偶问题DP的可行解Y*=CBB-1对应的目标函数值F*与原问题LP目标函数最优值Z*相等,于是根据上面性质2,Y=CBB-1应是对偶问题的最优解,二者目标函数最优值相等,证毕。
5.互补松弛定理
在LP(或DP)的最优解中,如果第i个约束条件对应的对偶变量y*i≠0,则该约束条件取严格等式(即松弛或剩余变量为0);反之如果第i个约束条件取严格不等式(松弛或剩余变量大于0),则其对应的对偶变量y*i=0。
即
如果
(其中松弛变量等于0)
如果
如果
(其中剩余变量等于0)
如果
6.在每一张单纯形表中,原问题LP的检验数的相反数(-σ)是其对偶问题DP的一个基解,该基解对应的目标值F与表中原问题的基可行解的目标值Z相等,并且该基解中各对偶变量值就是原问题中松弛变量检验数的相反数。
由这一性质可知,在最优表中,松弛(剩余)变量检验数的相反数就是其对偶问题的最优解,二者最优值相等。
注意:
上述性质对任何形式(含非对称形式)的对偶问题均有效。
例4.用单纯形法求解下面互为对偶的两个问题,所得到的最优表如下:
Maxz=2x1+x2MinF=15y1+24y2+5y3
5x2≤156y2+y3≥2
6x1+2x2≤245y1+2y2+y3≥1
x1+x2≤5y1,y2,y3≥0
x1,x2≥0
原问题变量原问题的松弛变量
XB
x1x2x3x4x5
b
x3
x1
x2
0015/4-15/2
1001/4-1/2
010-1/43/2
15/2
7/2
3/2
σj
000-1/4-1/2
Z=8.5
对偶问题的剩余变量值对偶问题的变量值的相反数
对偶问题的变量对偶问题剩余变量
XB
y1y2y3y4y5
b
y2
y3
-5/410-1/4-1/4
15/2011/2-3/2
1/4
1/2
σ
-15/200-7/2-3/2
F=8.5
原始问题松弛变量值原始问题变量值的相反数
从两个最优表中,不难看出原问题与其对偶问题最优解的关系。
根据性质6,我们只需求解其中一个问题,从最优表中同时可以得到另一个问题的最优解。
大量实例表明,约束条件个数对求解工作量的影响要比变量个数影响大得多,也就是说,增加一个约束条件比增加一个变量会给求解工作带来更多计算量。
由上面例子我们可以看出,原问题与其对偶问题的约束条件个数不都一样。
因此,当对偶问题的约束条件数少时,我们可以用单纯形法求解其对偶问题,同样可得原问题的最优解,从而减少计算工作量。
由于实际工作中所遇到的线性规划,其变量个数和约束条件个数都比较多,会给求解带来很大工作量,所以减少计算工作量也是非常必要的。
练习:
已知LP问题为:
要求:
(1)写出其对偶问题;
(2)已知原问题的最优解为X*=(2,2,4,0)T,试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
解:
(1)对偶问题为:
(2)把原问题的最优解代入原问题的第三个约束中,左边小于右边。
于是根据互补松弛定理可知,对偶问题的第四个变量
。
又因原问题的最优解中前三个分量非零,所以其对偶问题的前三个约束条件均取等式,将这三个等式联立求解可得另外三个对偶变量值分别为:
0.8,0.6,1,从而对偶问题的最优解为Y*=(0.8,0.6,1,0)。
§3、影子价格
1.影子价格的概念
考虑下面互为对偶的两个线性规划:
设
为对偶问题
(2)最优解,则称
为原问题
(1)中第i个约束条件对应资源的影子价格。
资源影子价格不是市场价格,而是企业对现有资源实现最大效益时的一种估价。
影子价格的经济含义对于企业经营活动分析具有重要作用。
为此,下面要说明影子价格的经济含义。
2.影子价格的经济含义
(1)影子价格是企业对现有资源实现最大经济效益时的一种估价。
企业可以根据现有资源的影子价格去科学、合理地使用资源。
比如说:
当设备加工台时的租金高于该设备加工台时的影子价格,就可以考虑出租该设备的加工台时,否则不宜出租。
又如,在投资购买资源,扩大生产时,要参考资源的影子价格,当某种资源的市场价格低于该资源的影子价格时,可考虑买进该种资源,以扩大生产,否则不宜买进。
(2)资源影子价格还能反映增加资源对总效益(即目标函数值)的影响大小。
由上节对偶性质知,当最优解存在时,有如下关系:
当第i种资源的数量bi有变化时,可以将
看作是
的函数,于是对bi求偏导数可得到:
该导数表示:
当第i种资源bi增加一个单位时,目标函数值
的增量
。
根据这一含义,增加影子价格大的资源可以给企业带来更大的效益。
但是,必须注意:
只有紧缺资源的影子价格才能大于零,而增加紧缺资源是有一定限度的,当紧缺资源增加到一定程度时,就会不紧缺。
这时该资源的影子价格就会变成零,这时该资源增加再多,也不会带来效益。
另外当约束条件、产品利润等发生变化时,也可能使资源影子价格发生变化。
这些问题将在后面的灵敏度分析一节中讨论。
§4对偶单纯形法
由对偶问题的性质6,用单纯形法求解LP问题时,在得到原问题的一个基可行解的同时,由检验数行可得到对偶问题的一个基解。
并且将两个解分别代入各自的目标函数时,其目标值相等。
单纯形法的求解过程是在保持原问题为可行解(即表中最后一列无负数)的基础上(这时一般检验数行有正数,故其对偶问题的基解是不可行解),通过迭代逐步改善目标函数值,当检验全非正时(即其对偶问题的基解变为可行解时),就得到了最优值解。
所谓对偶单纯形法,就是将单纯形法用于对偶问题的计算,其基本思想是在保持对偶问题为可行解(即检验数行无正数)的基础上,这时表中最后一列一般有负数,即原问题的解不可行,通过迭代逐步改善目标函数值,当表中最后一列无负数时,即原问题的解变为可行时,就得到了最优解。
对偶单纯形法具体计算步骤是:
1、先由最小负常数
确定“出基”变量;
2、再由最小比值
确定“进基”变量;
3、其迭代计算方法与单纯形法相同。
下面用例子来说明对偶单纯形法具体计算过程:
例5用对偶单纯形法求解下面线性规划问题:
Minf=15x1+24x2+5x3
6x2+x3≥2
5x1+2x2+x3≥1
x1,x2,x3≥0
解:
先将问题化为标准形:
Max-f=-15x1-24x2–5x3
6x2+x3–x4=2
5x1+2x2+x3–x5=1
x1,x2,x3,x4,x5≥0
为了让x4,x5做基变量,将约束条件两端乘(-1)得:
Max-f=-15x1-24x2–5x3
-6x2-x3+x4=-2
-5x1–2x2-x3+x5=-1
x1,x2,x3,x4,x5≥0
因为对偶单纯形法只要求保持对偶问题的解可行(非负),开始时并不要求原问题的解可行(非负),所以列表时不要求约束常数b非负,只要求目标函数中所有系数非正,且不含基变量。
下面列表用对偶单纯形法求解,其计算过程见表。
Cj
-15-24-500
解
(B-1b)
CB
XB
x1x2x3x4x5
0
0
x4
x5
0[-6]-110
-5-2-101
-2→①
-1
σj
-15-24↑-500
0
-24
0
x2
x5
011/6-1/60
-50[-2/3]-1/31
1/3
-1/3→
σj
-150-1↑-40
8
-24
-5
x2
x3
-5/410-1/41/4
15/2011/2-3/2
1/4
1/2
σj
-15/200-7/2-3/2
8.5
从上述计算中可以看出,用对偶单纯形法求解线性规划问题时,当约束条件为“≥”号时,不必引入人工变量,比较方便。
但在初始表中要求对偶问题有一个基可行解(即所有非基变量σj≤0),这个要求,对多数LP问题是很难实现。
因此对偶单纯形法一般不单独使用,主要应用于下一节的灵敏度分析及整数规划等问题中。
§5灵敏度分析
在前面讨论的线性规划中,我们都认为模型中的各个系数aij,bi,cj是确定的常数。
但实际上,这些数据通常是根据经验估计或用统计数据预测的方法得到的。
由于市场情况不断变化的原因,上述系数往往也会发生变动。
例如,各种产品的利润cj,会随原材料供应的市场价格波动而变化。
又如,原材料供应量若发生变化,则约束条件的右端常数项bi也会发生变化。
再如,工厂的工艺技术条件若发生变化,则原来约束条件中的消耗系数aij也会发生变化。
遇到上述情况,必须要考虑这些系数的变化对变化前最优解的影响,这就是本节要研究的问题。
研究和分析LP模型中系数变化对最优解的影响,或者说这些系数在多大范围内变动,最优解不变,是灵敏度分析研究的主要内容。
除此之外,灵敏度分析也研究增加新变量或新约束条件对最优解的影响。
总之,在经济活动中,只求出最优解是不够的,还需要研究最优解对数据变化的敏感程度,即灵敏度分析。
根据市场变化采取相应的措施,才能取得更好的经济效益。
否则就会导致决策失误和经济损失。
当数据发生变化时,把问题从新计算,也是一种办法,但是这样做有时没有必要。
灵敏度分析的重点是研究上述系数在什么范围内变化时,最优解不受影响,以减少反复从头计算的工作量。
所谓系数cj的灵敏度分析,就是在资源bi条件不变的前提下,问最优解保持不变时,求每个系数cj允许变动的范围;而资源量bi的灵敏度分析,就是在系数C不变的前提下,问最优基不变时,求每种资源bi允许变动的范围。
为此,需要考虑两个方面:
一是解的最优性,即非基变量检验数是否仍保持≤0。
二是解的可行性,即解是否仍满足非负条件。
下面的讨论将围绕这两个方面展开。
一、目标函数中系数Cj的灵敏度分析
例6下面是某厂用原材料1和2生产三种产品的生产优化模型,目标函数为求最大利润(三个决策变量分别是三种产品的产量)。
求解这个模型得到的最终表如下(其中x4,x5为引入的松弛变量)。
表2—2最终单纯形表
XB
x1x2x3x4x5
B-1b
x1
x2
109/203/20-1/5
0117/20-1/202/5
10
130
σj
00-9.2-2.4-0.8
1760
由表可知,最优解为生产第一种产品10件,第二种产品130件,不生产第三种产品,最大利润为1760万元。
现在问:
①当目标函数中X3的系数C3有改变量⊿C3时,对最优解有何影响?
②当目标函数中X1的系数C1有改变量⊿C1时,对最优解有何影响?
解:
①因为C3是目标函数中非基变量X3的系数,因此,当C3有改变量⊿C3时,基变量的系数CB=(C1C2)并无变化,于是用检验数计算公式
计算非基变量检验数时,有
可见,只有σ3受C3变化影响,即
σ3→σ'3=(C3+⊿C3)-CBPj'=(C3-CBP3')+⊿C3=σ3+⊿C3
而其他检验数并不受影响,因此,要使最优解不变,只需保持σ'3=σ3+⊿C3≤0,从而有⊿C3≤-σ3=9.2。
这表明,C3的允许增加量为:
-σ3=9.2,而允许减少量没有限制。
即C3在(-∞,C3+9.2)范围内变化时,最优解不会改变。
②因为C1是目标函数中基变量x1的系数,因此当C1有改变量⊿C1时,CB=(C1+⊿C1,C2)。
而计算各非基变量检验数都要用到CB=(C1+⊿C1,C2),于是所有非基变量的检验数都会发生变化。
这表明CB发生变化将影响到所有非基变量检验数的变化。
为此,要将C1的改变量⊿C1加入公式中,重新计算所有非基变量的检验数,即:
要使最优解不变,必须保持σ'3,σ'4,σ'5≤0,于是解上面不等式组得:
-16≤⊿C1≤4
这表明C1的允许增加量为4,允许减少量为16,即C1在[20-16,20+4]范围内变化时,最优解不变,否则最优解将发生变化。
综上分析,不难看出最优解对目标函数中的系数的改变并不十分灵敏。
对此,企业可以在不改变资源优化分配的前提下,在一定的幅度内改变价值系数的值,来积极应对市场挑战。
二、约束常数bi(资源数量)的灵敏度分析
在最终单纯形表上,基变量XB的值就是常数项列中的数据B-1b,即XB=B-1b,所以当b有改变量⊿b时,新的XB=B-1(b+⊿b)=B-1b+B-1⊿b,其中B-1⊿b就是常数项列的改变量。
由于检验数
与b的变化无关,所以b的变动,并不影响检验数和影子价格Y=-σ,只影响到原最优表中的解是否可行,如果新的XB值仍满足非负,则新解仍可行,最优基B不变。
注意,最优基B的逆矩阵B-1就在最优表中。
B-1的第j个列向量Pj'对应于初始表中单位向量ej。
比如,在上面的单纯形表中
B-1=
假设b1有改变量⊿b1时,则最优表中常数项列的改变量为:
常数项列数据改变后,若要基变量值仍满足非负条件,就要满足:
于是有:
由此可见,要基变量XB的值仍满足非负条件,b1的允许增加量为2600
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- 第二章 对偶理论与灵敏度分析A4 第二 对偶 理论 灵敏度 分析 A4