第1章 量子论基础.docx

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第1章量子论基础

第一章量子论基础

§1.1经典物理学的困难

19世纪末20世纪初，经典物理学，主要是经典力学、热力学和经典统计物理学、经典电动力学，已经发展得相当完善。

比方说，速度远小于光速的物体的机械运动遵从牛顿力学规律;电磁现象满足麦克斯韦方程组;光的现象满足光的波动理论;特别是当时已认识到热辐射和光辐射都是电磁波，还提出了热辐射满足的基尔霍夫（Kirchhoff）定律和斯式藩（Stefan）定律-玻耳兹曼（Boltzmann），证实黑体辐射场的能量密度与温度的四次方成正比。

对于热现象，除了已经有了非常系统的热力学理论外，还有玻耳兹曼、吉布斯（Gibbs）等人提出的统计物理学。

经典物理学的大厦已经建立得相当完美了。

但是，在和实验进一步对比的过程中，也出现了一些困难，而且这些困难，在经典物理的范畴内是无法解释的。

这主要表现在:

1.黑体辐射.

任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。

物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。

一般地，物体只吸收投射到它表面上的部分能量，吸收系数小于1。

如果一个物体，能吸收投射到它表面上的全部辐射，即其吸收系数为1时，则称这个物体为绝对黑休，简称黑体。

一个开有一个小孔的空腔可近似视为黑体。

因为一旦光线通过小孔射入空腔后，就很难再通过小孔反射出来。

另一方面，由于腔壁具有一定温度，它还会发出热辐射。

当空腔和内部的热辐射达到平衡后，实验发现，在频率

之间的辐射能量密度只与频率和热力学温度T有关，在不同度下,ρν随ν的变化曲线如图1.1.1所示。

实验曲线存在维恩（Wien）位移:

辐射能量密度按波长分布的最大值

与T的乘积为常数:

（1.1.1）

而且满足

（1.1.2）

其中

是常数。

1983年，维恩利用经典热力学和电动力学给出了辐射能量密度的经验公式是

（1.1.3）

（1.1.3）式称为维恩公式，式中c，.C，是经验参数。

与实验结果比较后发现，维恩公式只适用于高频区。

1899年，瑞利（Rayleigh）和金斯（Jeans）利用经典统计物理学和电磁理论，推导出公式

（1.1.4）

（1.1.4）式称为瑞利-金斯公式，式中k是玻耳兹曼常数，c是光速。

它只在低频区与实验相符。

在高频区，当

时，

而且能量密度发散，

这个结果称为紫外灾难。

2.光电效应

1888年，赫兹（Hertz）在验证电磁波存在的实验中，发现当用紫外光照到火花隙的负极上时，放电比较容易发生。

1897年汤姆孙（J.J.Thornson）通过气体放电和阴极射线的研究发现电子后，人们逐渐认识到这种现象是由于紫外光照射到金属表面上，金属中的电子吸收了光的能量而从金属表面逸出所至。

这种逸出的

电子称为光电子。

对于表面光洁的金属材料，光电效应的实验结果是:

（i）存在临界频率

，当入射光的频率

时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。

只有在

时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。

只要光照到金属表面上，几乎在10-9的极短时间内，就能观测到光电子。

（ii）出射的光电子的能量只与入射光的频率ν有关，而与入射光的强度无关。

（iii）人射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电子的数目。

显然，这些实验结果，特别是（i）和（ii），无法用经典电磁理论、解释。

因为按经典电动力学，光是电磁波。

电磁波的能量决定于它的强度，即只与电磁波的振幅有关，而与电磁波的频率无关。

而要释放光电子，显然需要有足够的能量。

3.原子的线状光谱

1885年，巴耳末（Bermer））通过对氢的光谱线分析研究后，发现氢原子可见光的光谱线满足经验公式

（n=3,4,5...）（1.1.6）

石为波长的倒数，称为波数。

RH称为里德伯（Rydberg）常数，数值上等于.581cm-1。

以后又陆续发现了其他线系,1889年，里德伯把氢的所有谱线归纳为一个里德伯方程，即

（1.1.7）

式中，n=1,2,3，…;对于每一个n，有

=n+1,n+2,n+3...构成一个谱线系.T（n）称为光谱项。

由（1.1.7）式可见，如果光谱中有频率为

和

的两条谱线，则也有频率为

及

的谱线。

这个结果称为里兹（Ritz）的并合原则。

原子的线状光谱用经典理论也是无法解释的。

因为按卢瑟福模型，原子中电子绕原子核运动。

这是一种加速运动。

但按经典电动力学，加速电荷应不断发出辐射。

于是电子不断损失能量。

而且，加速电荷发出的辐射的频率是连续分布的，不可能产生线状光谱。

此外，按电动力学，若体系发出频率为ν的波，则它也可能发出频率为ν的整数倍的其他谐波。

这个结论也与并合原则不符。

4.原子的稳定性

原子结构的卢瑟福模型在经典理论中是无法理解的。

因为电子既然绕原子核运动，则在这一加速运动过程中，由于辐射能量，必然使电子绕核运动的轨道变小。

最后“落到”原子核中去。

也就是说，按经典理论，卢瑟福的原子模型是不稳定的。

这种原子最后、必然坍缩成一团。

但是现实世界中原子是稳定的。

经典理论无法解释原子的稳定性。

5.比热

经典物理学的比热理论建立在能量均分定理的基础上。

在和实验比较后发现，经典的比热理论存在着下列困难：

（i）固体比热的杜隆-珀蒂（Dulong-Petit）定律

（1.1.8）

与温度T无关。

这个结果只在常温下与实验相符。

在极低温下，固体比热服从德拜（Debye）T3定律：

（ii）不能解释为什么原子中处于束缚态的电子对比热的贡献可以略去。

因为按原子模型，原子核外的电子在运动。

而按能量均分定理，每个电子运动的平均动能为要

，相应的定容比热应为

（iii）不能解释为什么绝大部分双原子分子，多原子分子在常温下振动自由度被冻结，对比热没有贡献。

除了当时已出现的这些困难外，1923年发现的康普顿（Compton）效应，也不能用经典理论解释。

实验发现，高频率的x射线被轻元素的电子散射后，散射波的波长随散射角的增大而增大。

这个结果也无法用经典理论说明。

因为散射过程只涉及入射光与电子之间的能量和动量交换，而按经典理论，电磁波的能量只与振幅有关，而与波长无关，能量、动量的交换不应导致波长的变化。

对于经典物理学的这些困难，19世纪的许多有为的物理学家，其实是早有察觉，忧虑重重的。

1859年，气体分子运动论的奠基人之一麦克斯韦，就明确指出了经典比热理论的困难。

十年后他又重复强调了这个困难，并且指出这里存在着一些经典物理根本不可能解释的东西。

以后，金斯等人又作过许多讨论。

正是麦克斯韦等人的这些真知灼见，使得美国著名物理学家费曼（Feymann）得以有根据地说;“人们经常听说19世纪后期的物理学家认为，他们已经了解了所有有意义的物理规律，因而以后所能作的只是去计算更多的小数位。

某个人可能这么说过一次，其他人就争相传抄。

但是彻底查阅当时的文献表明，他们所有的人都是对某些问题忧虑重重的。

”①正是因为当时这些有为的物理学家们，根本不像有些人所说的那样，躺倒在经典物理学的大厦里恬然自得，以为已经最后解决了一切物理学问题。

恰恰相反，他们多年如一日地深入思考着经典物理学的困难，不固步自封，勇于进取，寻找解决这些困难的途径，提出各种新的物理概念和方法，这才会有量子论，继而有量子力学的出现，使人们的视野真正深入到原子世界中去。

§1.2光量子和普朗克一爱因斯坦关系

深入考察一下经典物理学的许多困难后会发现，这些困难都来自以往经典电动力学中，电磁波的能量只与振幅有关与频率无关，而且能量连续变化的结论。

要统一解决这些困难，应该从它们的共性着手。

重新考察这一经典物理中过去认为颠扑不破，奉为基石的理论可通过光量子假说解决。

于是，1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了能量子化的观念。

他假定黑体相当于一组连续振动的谐振子，振子的能量只能取最小能量单位ε的整数倍的值。

黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式是不连续的，只能以发射或吸收ε为单位的“量子”的方式进行。

每个量子的能量与频率ν成正比,

（1.2.1）

式中的比例常数h称为普朗克常量。

这和过去经典电动力学中电磁波的能量只与振幅有关而与频率无关完全不同。

而且能量的吸收和发射是量子化的。

利用能量量子化的概念和统计物理学，普朗克推导出了以他的名字命名的普朗克公式，成功的解释了黑体辐射的实验结果。

1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广。

爱因斯坦提出，不仅黑体和辐射场的能量交换是量子化的，而且辐射场本身就由不连续的光量子组成。

每一个光量子的能量ε与辐射场频率ν，之间仍满足（1.2.1）式。

爱因斯坦的光量子其实就是光子。

由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有

（1.2.2）

c是光速，mo是光子的静质量为零。

因此得到光子的能量和动量

（1.2.3）

联立（1.2.1）和（1.2.3）式得

（1.2.4）

式中en是光子运动方向上的单位向量，

.（1.2.5）

是波矢量。

公式（1.2.1）和（1.2.4）称为普朗克—爱因斯坦（Planck-Einstein）关系式。

利用普朗克—爱因斯坦关系，可以解释下述实验结果：

1.黑体辐射

光子可以被物质发射和吸收。

黑体向辐射场发射或吸收能量by的过程就是发射或吸收光子的过程。

因此光子数不守恒。

相应地光子的化学势为零。

另外，光子是玻色子，自旋s=1,简并度g=2s+1应等于3。

但由于电磁场存在横波条件，满足一个约束方程，所以实验上光子的自旋简并度g应取为2。

在物理上就表现为光子具有两个不同的偏振方向。

根据爱因斯坦光量子假说，将辐射场看成是光子气。

利用玻色一爱因斯坦分布和（1..2.1）式，可得光子气在频率间隔ν

ν+dν中的能量密度是

（1.2.6）

再利用（1.2.3）式，最后得

（1.2.7）

（1.2.7）式称为普朗克公式。

可以证明，普朗克公式给出的场能量密度满足斯忒藩-玻尔兹曼定律。

的确，由

（1.2.8）

令

，再注意到

完成（1.2.8）式的积分后可得

（1.2.9）

（1.2.10）

（1.2.9）式和（1.2.10）式与实验相符。

另外，利用普朗克公式可以解释维恩位移律。

由（1.2.7）式给出的ρν对ν的曲线与图1.1.1的

实验结果相符。

2.光电效应

当光子照射到金属的表面上时，能量为hν的光子被电子吸收。

根据能量守恒定律，这个能量部分用来克服金属的脱出功，使电子能逸出金属表面;部分变为电子逸出金属后的动能，即有

（1.2.11）

式中m是电子质量,v是电子逸出后的运动速度,W。

是金属中电子的脱出功。

显然，临界频率ν满足

v=Wo/h（1.2.12）

由（1.2.11））式可见，当，νo时，有光电效应发生。

逸出的电子的动能

与入射光的频率ν有关。

当入射光的强度增大时，入射的光子的数目增多，发生光电效应的电子的数目也增多，从而使逸出的电子的数目也增多，光电流的强度增大。

这就相当完整地解释了所有光电效应的实验结果。

3.康普顿效应

康普顿效应是光具有微粒性的进一步的实验证据。

以射线入射到轻元素或原子质量很轻的物质中，对于这种物质，电子在原子中的束缚能很小，可以略去。

另外，碰撞前电子的速度也很小，可近似视为静止.利用光子说，把x射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，再假定碰撞过程中能量和动量守恒，可解释康普顿效应的实验结果射线被轻物质中的电子散射后的波长将随散射角的增加而变大。

记碰撞前、后光子的能量分别为ћw及ћ

，电子的静质量为mo，被光子碰撞后的速度为v，由能量守恒定律，有

（1.2.14）

由垂直方向和水平方向的动量守恒又可得（图1.2.1）:

（1.2.15）

θ是散射角。

联立（1.2.13、14））及（1.2.15）式，消去v和

得

（1.2.16）

由ω=2πν=2πc/λ，可将（1.2.16）式改写为

（1.2.17）

（1.2.18）

λc称为电子的康普顿波长。

由（1.2.17）可见，当θ增大时，

增大,这就解释了实验结果。

由（1.2.17）式可见，电子的康普顿波长在数值上等于θ为π/2时入射波与散射波波长之差。

它的物理意义是当入射光子的能量与电子的静能相等时所对应的光子的波长，因为这时有

（1.2.19）

从（1.2.17）式还可得出，波长的变化

只与散射角θ有关，而与入射光原来的波长λ无关。

当θ=π时，

（1.2.20）

这就是康普顿散射所能引起的入射光波长的最大变化。

对于实际观测，有兴趣的是∆λ/λ。

显然只有对于λ≤0.1nm的x射线∆λ/λ的数值较大，易于被观测;对于λ~102nm的可见光，∆λ/λ很小，难于观测。

这就解释了康普顿效应为什么选x射光的原因。

（1.2.17）式还表明:

康普顿效应是一种量子效应，是普朗克常数h起重要作用的量子现象。

在经典极限下，

能谱由分立变为连续，由（1.2.17）式得

。

x射线被电子散射后波长不变。

康普顿效应不存在。

康普顿效应还证实:

在微观的单个碰撞事件中，能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。

就物理本质而言，康普顿效应是指高能光子与低能电子碰撞时，高能光子把一部分能量传给了电子，变为低能光子。

从而使光子的频率变小，波长变大。

当然，过程也可以逆过来进行。

若与低能光子碰撞的是高能电子，则电子也可以把它的部分能量给予光子，从而使光子能量变大，频率变高.波长变短。

这种现象称为反康普顿效应。

由此产生的辐射称为反康普顿辐射。

反康普顿散射不仅对高能粒子物理学，在同步辐射中有重要价值;而且在天体物理，在星系核的反射线中也有着重要应用。

§1.3玻尔的量子论

为解释原子的线状光谱，说明原子的稳定性，玻尔提出了量子论.玻尔的量子论在人们认识微观世界的历史过程中起过重要作用。

即使在今天，虽则量子论已被量子力学所代替，但它的一些主要物理图像，某些核心思想，至今仍然是很有启发的。

在电子绕核旋转的原子模型中，玻尔进一步提出:

电子在原子中只能沿着一组特定的轨道运动，这时电子处在定态。

处在定态中的电子既不吸收也不辐射能量。

定态的条件是式中4是广义坐标,p是相应的广义动量，n是正整数，称为量子数。

当电子从能量由En的定态跃迁到能量为

的定态时，所吸收或发射的辐射频率ν，满足

（I.3.2）

利用玻尔的量子论可求得氢原子的能级并解释线状光谱。

以

表示原子中电子绕核作圆周运动的某一可能轨道的半径.取角位移φ为广义坐标，相应的广义动量

，由（1.3.1）式，考虑到在辏力场中p，等于常数，得

（1.3.3）

另一方面，电子的向心力为库仑力，满足

（1.3.4）

联立（1.3.3、4）式，消去dφ/dt,得

（1.3.5）

当n=1时，对应的圆周轨道半径

（1.3.6）

称为第一玻尔半径，电子的能量是

（n=1,2,3）（1.3.7）

将（1.3.7）式代入（1.3.2）式得

（1.3.8）

这正是线状光谱的公式，注意到

及（1.1.7）式，还可以得出

（1.3.9）

与实验结果一致。

玻尔理论的成功之处在于:

它从理论上给出了巴耳末（Balmer）线系，帕邢（Paschen）线系，并且预言了莱曼（Lyman）线系。

利用玻尔-索末菲尔德量子化条件，不仅可以解释氢原子光谱，而且还可以解释一价碱金属的电子能谱，它表明光谱项的物理实质其实就是能级。

因为比较（1.3.7）及（1.3.8）可见，光谱项与能级成正比。

而且，玻尔理论提供了一个防止原子坍缩的方案，因为它引入了定态的概念。

引入能级量子化的概念后，原则上也可以解释经典比热理论的困难。

比方，原子中的束缚态电子之所以对比热没有贡献，是因为原子中束缚态电子的第一激发态对应的能级与基态能级之间的间距很大，常温下电子作无规则运动的平均能量不足以使电子跃迁到激发态。

电子只能处在基态.因此它的平均能量就等于基态能量，与温度无关，对比热的贡献为零。

电子运动的自由度被冻结。

双原子分子的振动比热，也可以用类似的方法解释。

玻尔理论也存在许多困难。

它不能解释氦原子及其他价电子数不小于两个的原子的光谱。

它只能给出光谱线的频率而不能给出谱线强度，也不能解释碱金属的双线性质及其他元素的复线。

它不能讨论散射态而只能解释束缚态。

它也不能解释量子化条件（1.3.1）从何而来，而只能把它作为一个基本假设加以接受。

实际上，（1.3.1）式只是把能量E的不连续性归结为角动量的不连续性。

至于角动量量子化的本质，玻尔量子论未给予任何阐述。

同样，防止原子坍缩的机制，定态的概念都是作为基本假设引入的。

严格说来，它是理论的输入而不是输出。

特别应该指出的是，它仍然保留着经典力学中的轨道概念，把经典力学规律强加于微观粒子。

这些困难，孕育着新的理论，这就是量子力学。

§1.4波粒二象性和德布罗意波

光的波粒二象性

光电效应、康普顿效应等实验结果显示，光在发射和吸收时它的行为像粒子。

辐射场可以看成是光子气。

但在光的传播过程中，干涉、衍射等现象又说明，光的行为像个波。

光是波还是粒子，这是自牛顿和莱布尼兹时代以来，数百年来一直争论不休的问题①。

为说明这个问题，我们来分析一个杨氏双缝衍射实验。

如图1.4.1所示，光源S发出的单色光通过两个缝F1和F2投射到屏上。

设只开启缝F1时，屏上光的强度分布为I,;只开启缝F2时，屏上光的强度分布为I，。

实!

万|F|验发现，若同时开启F1、F2两个缝，屏上光的强度分布I

出现干涉现象。

干涉是波特有的特征。

如果在解释杨氏双缝实验时，我们否认光的波动性，一定要把干涉归结为光子之间存在相互作用所致，表面上看来这似乎也无不可。

因为光子通过双缝实验时的相互作用本来就是未知的，总可以人为地从必须出现干涉项的要求反过来定相互作用。

这种解释虽然带有人为的迹象，但总可凑合出干涉的实验结果。

即使如此，仍然不能解释近代进一步的实验事实。

近代的实验证明，若减弱光源的强度，控制光子数目，使得可以近似认为光子一个一个地通过狭缝，一个一个地打到屏上。

从而使得先通过狭缝的光子与后通过狭缝的光子之间的相互作用近似为零。

实验的结果是，只要延长曝光时间，使屏_上接收到光子的数目足够多，则仍然出现干涉条纹。

这说明，干涉现象不能靠手摆弄光子之间的相互作用来解释。

干涉是在强度分别为I，和I:

两束光波之间进行的，

但也不能只有波动性而无粒子性。

粒子性不仅表现在光电效应、康普顿效应等实验上。

就以杨氏双缝实验而论，实验发现，当光的强度减小到足够弱，以致可近似认为光子是一个个发出和接收时，屏上开始时出现的是一个个无规则分布的感光点。

这说明光具有粒子性。

当感光时间较长，光子数目足够多时，屏上原来无规则分布的感光点经大量堆积后将出现有规则的干涉花样。

波动具有统计的特征。

这些结果说明，光具有波粒二象性。

光的波动性和粒子性二者是不可分割的。

光子在某一时刻的行为可以用一个波函数ψ（r,t）描述。

ψ（r,t）给出光子在t时刻在r处出现的几率振幅。

2物质的波粒二向性

光，这种过去长期认为是波的客体，具有粒子性。

人们自然会问，过去长期认为是粒子的客体，比方电子，是否也具有波动性?

1924年，德布罗意（deBroglie）推广了光的波粒二象性的概念到其他客体。

他提出，不仅电磁场、光波具有粒一子性，而且任何其他的实物粒子，比如电子、质子等等，也具有波动性。

电子的双缝衍射实验也应具有和光子的双缝衍射实验相同的结果。

对于自由粒子，其能量。

和动量P满足与光子相同的关系式，即

（1.4.1）

（1.4.2）

（1.4.1）式和（1.4.2）式称为德布罗意关系。

对于光子，由于静质量为零，（1.4.1）和（1.4.2）式并不独立，从（1.4.1）式可导出（1.4.2）式的数值.但对一般的其他粒子.（1.4.1）和（1.4.2）式是两个独立的关系式，不能从一个导出另一个。

在（1.4.1）和（1.4.2）式中，E和P是表征粒子特性的物理量，但频率υ，波矢k是表征波动特性的物理量。

德布罗意关系和描述光子的普朗克—爱因斯坦关系一样，它们都是把表征粒子和波的物理量联系了起来，是波粒二象性的表现。

由于普朗克常数h是个很小的量，因此，一般实物粒子的德布罗意波长很短。

设粒子的速度远小于光速，自由粒子的能量E=p2/2m.由（1.4.2）式得出德布罗意波长久满足

（1.4.3）

假定我们讨论的是电子，经V伏特电势差的加速后，电子能量为E=eV，相应的德布罗意波长为

（1.4.4）

当V=150V时,λ≈0.lnm;当V=104V时,λ≈0.0122nm，相应的λ都很短。

在光学中我们知道，当光波波长与客体尺度可相比拟时，波动性重要，几何光学必须被波动光学代替。

同样，只有在微观世界中，例如对于原子，其线度约为10-1nm，与相应的德布罗意波长可相比拟，波动性才显著。

处理这样的微观粒子，不能用经典力学，而只能用波动力学。

1927年，戴维孙（Davission）和革末（Germer）的实验，证实电子德布罗意波的存在。

他们将电子束投射到金属镍单晶上，观测电子束强度和散射角口之间的关系。

电子束的强度可通过加速电压V控制。

他们发现，散射电子束的强度随B而改变。

当θ取某些确定值时，散射电子束的强度极大。

散射束强度的极大值满足类似于x射线在单晶中衍射的公式

（n=1,2,3,…）（1.4.5）

式中,λ就是德布罗意波长,a是镍单晶平面的光栅常数。

这就证明了电子确实具有波动性，而且德布罗意关系正确。

20世纪30年代以后的许多实验，进一步证实，不仅电子，而且其他一切实物粒子，如中子、质子等也都有衍射现象，都有波动性，而且德布罗意关系对所有这些粒子都成立。

实际上，一切物体都有波动性。

不过宏观物体的质量很大，由（1.4.3）式可见，其德布罗意波长很小。

λ远远小于物体的线度，因而波动性隐而不显。

本章小结

1.经典物理学不能解释:

黑体辐射、光电效应、原子光谱、原子稳定性、固体

比热、束缚态电子比热、振动比热等问题。

2.引入量子化假设ε=hυ及玻尔模型后，可以解释经典物理学的困难。

3..实验表明，徽观粒子具有波粒二象性。

自由粒子满足德布罗意关系:

E=hυ=ћω，p=ћk

习题

1.1试利用普朗克公式证明维恩位移律。

1.2甲2设一电子为电势差v所加速，最后打在靶上。

若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为500nm（可见光）。

0.1nm（X射线）以及0.0001nm（γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少?

1.3求下列各粒子的德布罗意波的波长:

（i）能量为l00eV的自由电子;

（ii）能量为0.leV的自由中子;

（iii）能量为0.1eV，质量为1g的质点;

（Iv）温度为T=1K时，具有动能E=

kT（*为玻耳兹曼常数）的氦原子

1.4利用玻尔量子化条件求:

（i）一维谐振子的能量，

（ii）在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径。

1.5设箱的长宽高分别为a,b,c,用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量。

1.6宏观世界里，量子现象常常可以被忽略。

对下列的各种情况，在数值上加以证明:

（i）长1~lm,质量，一1kg的单摆的零点振荡的振幅;

（ii）质量m=5g以速度v=10cm/s向一高为5cm,宽为lcm的刚性障碍物运动的子弹的透射几率;

（iii）质量m=0.1kg,以速度v=0.5m/s运动的刚球，被大小为1×1.5的窗子所衍射。

1.7在时间k空间的表示

求：

（i）φ（x,t）和

，在时刻t这是否是个高斯波包？

（ii