∴A600.
总结升华:
画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好
举一反三:
变式1】在ABC中,已知b3,c4,A1350.求B和C.
答案】由余弦定理得:
a23242234cos135o25122,
∴a251226.48
由正弦定理得:
sinBbsinA3sin1350.327,
aa
因为A1350为钝角,则B为锐角,∴B1907/.
∴C1800(AB)25053/.
变式2】在ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2,b22,
c62,求角A和sinC
答案】根据余弦定理可得:
B.akm
222
AB2=AC2+BC2
A处望见电视
)
3km
2km
AB=6,∠ABS=180°-75°
∵0A180,∴A30;
∴由正弦定理得:
sinCcsinA62sin3062a
其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(
A.akm
C.akmD.2akm
解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ACB中,由余弦定理得-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×=3a2,
∴AB=a.
答案B
2.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是(A.2kmB.
C.3kmD.
解析如图,由条件知AB=24×=6,在△ABS中,∠BAS=30°,=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,所以BS=sin30°=3.
答案B
3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是()
A.35海里B.35海里
C.35海里D.70海里
解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,
EF=
==70.
答案D
4.(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是()
A.20mB.20m
C.20(1+)mD.30m
解析如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,CB=20m,所以BM=20m.又在Rt△AMD中,
DM=20m,∠ADM=30°,
∴AM=DMtan30°=(m).
∴AB=AM+MB=+20
=20(m).
答案A
5.(2013·天津卷)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()
A.B.
C.D.
解析由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=()2+32-2××3×=5,所以AC=,
再由正弦定理:
sin∠BAC=·BC==.
答案C
6.(2014·滁州调研)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由
A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始多少h后,两车的距离最小
()
A.B.1
C.D.2
解析如图所示,设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.
因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理,得
DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=时,DE最小.
答案C
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、
C两地的距离为km.
解析如右图所示,由余弦定理可得:
2
AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,
∴AC=10(km).
答案10
8.如下图,一艘船上午9:
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方
向匀速航行,上午10:
00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8nmile.
此船的航速是nmile/h.
解析设航速为vnmile/h
在△ABS中,AB=v,BS=8,∠BSA=45°,
由正弦定理得:
=,
∴v=32(nmile/h).
答案32
9.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测
得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB
的高是米.
解析在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,=,
BC==10(米).
在Rt△ABC中,tan60°=,AB=BCtan60°
=10(米).
答案10
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
10.(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度15°的看台的某一
列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后
一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?
解在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10,由正弦定理,得BC==20.
在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=20×=30(米),所以升旗速度v===0.6(米/秒).
11.
如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?
解由题意,知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,由正弦定理,得
=,
于是DB==
==10(海里).又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20(海里),在△DBC中,由余弦定理,得222
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
=300+1200-2×10×20×=900.
得CD=30(海里),
故需要的时间t==1(小时),
即救援船到达D点需要1小时.
12.
(2013·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直
线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙
从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为
130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解
(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=.
从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.
由正弦定理=,得AB=×sinC=
×=1040(m).
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处
130tm,所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2+70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,得BC=×sinA=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=
550(m),还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互
相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在[,](单位:
m/min)范围内.