一阶线性偏微分方程.docx
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一阶线性偏微分方程
第七章一阶线性偏微分方程
7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
dx
dtdydt
空2z
dt
解之得
zC1e2t
即得一个首次积分为1(t,x,y)(x
1t
2
1
y2t
1
4)e
2tC1。
方程组的两式相减,得
d(xy)
dt
解之得另一个首次积分为
2(t,x,y)
1t12
2
C2。
易验证detx
det
0。
因此,1(t,x,y)
C1和
2(t,x,y)
C2是两个独立的首次积分,
所以,方程组的通积分为
112t
1(t,x,y)(xy-t-)eG,
24
从中可解得通解为
C2
12
1
1
t
-t
—
4
4
8
C2
12
1
1
-t
-t
4
4
8
dx
x
2y
dy
x
y
2ydy
ydx
xdy
0,
xCie2t
yCie2t
2)方程组的两式相比,得
变形得恰当方程xdx
即i(t,x,y)(xy)2y2C;。
给方程组第一式乘以y,第二式乘以x,再相减得
yxyyxyyy
22
(xy)y
yxyyxyyy1
1
(xy)y
两边积分,得另一个首次积分为
y
2(t,x,y)arctantC2,
xy
2
易验证i(t,x,y)Ci和2(t,x,y)C2是两个独立的首次积分,
222y
所以,方程组的通积分为(xy)yCi,arctantC2,
xy
通解为
x(C2CJcost(C2Ci)sint,其中ciCisinc2,C2C1cosC2。
yC1costC2sint
容易得满足t0时,x
y1的解为
xcostsint
ycost
3)
三个分式相加,得
d(xyz)
0
dy
xz
dz
yx
给三个分式的分子分母分别乘以X,y,z,再相加,得
22
d(xy
0
z2)ydyzdz
xzyx
又得另一个首次积分为
容易验证xyz
Ci
z2C2是两个独立的首次积分,所以方程组的通
积分为xyzC1,x
z2
C2。
评注:
求首次积分时,注意利用部分方程的相加、
相减、相比,利用比例的基本性质等。
还要注意验证首次积分的独立性。
7-2
求下列方程的通解及满足给定条件的解。
1)
(z22yzy2)丄
(xyxz)-^(xy
y
xz)-^0
z
2)
(y3x2x4^z
X
(2y4
3z3
xy)9z(x
y
3)
(yz
u
u)—
X
(z
u
X)——(uXy
u
y)xyzz
4)
nu,n为自然数。
5)
zyz-
X
c3
0,zy
i)这是
由此得
阶线性齐次偏微分方程,它的特征方程组为
c2
2yzy
dydz
xyxzxyxz
dy
dz
又由2
z
dx
dy
dz
得
2yzy
2
xyxz
xyxz
xdx
dy
dz
z
2r2
2yzy
yz
yz,
xdx
ydy
zdz
2z
c2
2yzyy
2
zy
2,
yzz
利用合比性质得
xdx
ydy
ydz
xdx
ydyzdz
2z
2yz
22
yyzy
yzz
2
0
则另一个首次积分为X2y2z2C2。
容易验证这两个首次积分相互独立,故得原方程的通解
/2222c2、
u(Xyz,y2yzz)
其中为任意二元连续可微函数。
2)原方程的特征方程组为
dxdydz
~34433,
yx2x2yxy9z(xy)
由此得
dxdydz
xy9z
333333’
(y2x)(2yx)xy
即
dxdydz
xy耳
3(y3x3)3(y3x3)
因此
i
Inxyz3C1
所以得特征方程组的一个首次积分
1
xyz3C1。
又巴
dx
2y4xy3
3
xy
2x
才为齐次万程,令yux,则
du
2u4
u
u
x
—
dx
3u
2
分离变数,得
3u
2
dx
-du
?
u(u
1)
x
即
3u2
2
dx
(-
3
-)du
u
1
u
x
积分可得
3u
1
In
2
C2
o
u
x
因而得另
首次积分
3
3
y
2
x
2
C2,
xy
容易验证这两个首次积分相互独立,故得原方程的隐式解
1
3
3
3yx
(xyz,r^)0,
xy
其中为任意二元连续可微函数。
3)原方程的特征方程组为
dx
dy
dz
du
yzu
zu
x
uxy
xyz
由合比性质得
dxdy
dzdu
dx
dy
3(xy
zu)
y
x
由此可得一个首次积分
(xyz
1
u)?
(y
x)
C1o
同理,由
dx
dy
dz
du
dy
dz
3(x
y
z
u)
z
y
可得另一
-个首次积分
(x
y
z
1
uf(z
y)
C2
再由
dx
dy
dz
du
dz
du
3(x
y
z
u)
u
z
得第三个首次积分
dxdydzdu
xyznu
其中是各变元的连续可微函数。
若能解出u,则得通解
uxnF(―,-)。
xx
其中F为各变元的连续可微函数。
5)这是一阶拟线性偏微分方程,它的特征方程组为
dx
yz
dy
1
dz
0
先求得一个首次积分为zC2。
代入得空dy,
C2y1
解得另一个首次积分为2xC2y2C2,即2xzy2C1。
容易验证这两个首次积分相互独立,故得原方程的隐式解
2
(2xzy,z)0
其中是任意的二元连续可微函数。
将x0,zy3代入zC2和2xzy2C1,得C;C;,故所求满足条件的解为
z(2xzy2)3,即z5(zy22x)3。
评注:
求解一阶线性齐次偏微分方程或拟线性偏微分方程,实际上转化为求解一个常微
分方程组的问题。
7-3求与下列曲面族正交的曲面(a为任意常数)。
1)zaxy
2)xyza
解1)设所求曲面方程为zz(x,y),则过曲面上任一点(x,y,z)的法线方向为
1,而曲面zaxy在(x,y,z)的法线方向为ay,ax,
由于所求曲面与zaxy正交,所以在曲面zz(x,y)上的点满足
ay—ax-z10,
xy
这是一个一阶拟线性偏微分方程。
矩阵的行列式不为零。
微函数。
b)设所求曲面方程为u(x,y,z)0,则过曲面上任一点(x,y,z)的法线方向为
yz,xz,xy。
上,而曲面xyza在(x,y,z)的法线方向为
z
由于所求曲面与xyza正交,所以在曲面u(x,y,z)0上的点满足
uyz-
x
这是一个一阶线性齐次偏微分方程。
uxz
y
uc
xy0,
z
它的特征方程组为
dx
dy
dz
yz
xz
xy°
.dx
由——
矽,解得它的一个首次积分为
i(x,y,z)xyCi。
yz
xz
dx
dz
22
由——
—,得另一个首次积分为
2(x,y,z)xzC2。
yz
xy
容易验证这两个首次积分相互独立,所求曲面方程u(x,y,z)0满足
次偏微分方程,最终均是解一个常微分方程组的问题。
7-4试证方程
有仅与x有关的积分因子的充要条件是
M7)N
仅是x的函数。
阶偏微分方程:
(2)。
N——M
x
必要性。
若方程
(1)有仅与x有关的积分因子,设为Mx),则Mx)必满足偏微分方程
(2),
即有
2(卫*,
xyx
整理得
dxdy
M
由第一分式和第三分式得
M
N
即
d卩
y
xdx
«x)dx
11
N
显然,有
个首次积分为
$(x)dx
1
Ci,故
$(x)dx
1e为方程
(2)的一个解,这个解是
只与x有关的函数。
这就证明了充分性。
评注:
本题是第二章定理2.2的结论1,在这里我们又用一阶拟线性偏微分方程解的理论进行证明。
7-5证明以坐标原点为顶点的锥面方程可写为
(',—)0或zx©(~y)
xxx
其中,©为其变元的可微函数。
证设以坐标原点为顶点的锥面方程为zz(x,y),则其上任一点(x,y,z)处的法线方
向为,1,切线方向为x0,y0,z0x,y,z,故锥面zz(x,y)上的点
xy
(x,y,z)满足
x—y—1z0,
xy
这是一个一阶线性非齐次偏微分方程,它的特征方程为
dxdydz
xyz
解之得,两个独立的首次积分为
yz
Ci,C2,
xx
(X,-)0,若将-解出,得z,其中
xxxx
定点的锥面方程。
12
2(t,x,y)xy-tC2。
2
2222
u(x,y,z)(xy,xz)0
其中是任意的二元连续可微函数。
评注:
求与一已知曲面族正交的曲面zz(x,y),问题转化为求解一个一阶拟线性偏
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