北京市春季普通高中会考数学试题.docx

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北京市春季普通高中会考数学试题

2018年北京市春季普通高中会考数学试卷

一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.

1•已知集合A={1,2,3},B={1,2}，那么AHB等于（）

A.{3}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3}

2.（3分）已知直线I经过两点P（1,2）,Q（4,3）,那么直线I的斜率为（）

A.-3B.二C.丄D.3

3.（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）

A.x2>0B.：

・"IC.一I"+I-ID.Igx>0

4.（3分）已知向量a=（s,3）,b=6）,且a#b,那么x的值是（）

A.2B.3C.4D.6

5.（3分）给出下列四个函数①产丄；②y=|x|；③y=lgx;④y=x3+1，其中奇

函数的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

6.（3分）要得到）函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）

A.向左平移个单位B.向右平移'个单位

1212

C.向上平移一个单位D.向下平移丄个单位

1212

7.（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）

A.3B.6C.10D.15

8.（3分）设数列｛an｝的前项和为S，如果ai=1,an+i=-2an（n€N）,那么S,

S2,S,S4中最小的是（）

A.SiB.S2C.S3D.S

9.（3分）1□吕疔+1□耳尹等于（）

A.1B.2C.5D.6

10.（3分）如果a为锐角，录门a二壬，那么sin2a的值等于（）

A:

Br：

C'D-

A.-BCD.

11.（3分）已知a>0,b>0,且a+2b=8,那么ab的最大值等于（）

A.4B.8C.16D.3212.（3分）cos12°cos18°-sin12°sin18°的值等于（

13.（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：

年龄12-20岁20-30岁30-40岁40岁及以上

比例14%45.5%34.5%6%

为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200

的样本进行调查，那么应抽取20-30岁的人数为（）

A.12B.28C.69D.91

14.（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）

A.4nB.5nC.6nD.2n+4

15-（3分）已知向量'b满足冷|二1，|二2,ib二i，那么向量'b的

夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°16.（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选

择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（

A.0B.1C.2D.3

18.（3分）已知圆Mx2+y2=2与圆N:

（x-1）2+（y-2）2=3,那么两圆的位置关系是（）

A.内切B•相交C•外切D.外离

19.（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）

\+y-2^0

A.

x-y-2^0

B.

b2x-y+2^0

C.

D.

b2x-y+2^0

0

20.

（3分）在厶ABC中，1■：

.1..

A「B.■'

21.（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：

“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：

“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去•已知长安和齐的距离是3000里•良马第一天行193里，之后每天比前

天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前

4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（

jl

A.1235B.1800C.2600D.3000

22.（3分）在正方体ABCBABCD中，给出下列四个推断:

1AC丄AD

2AC丄BD

3平面ACB//平面ACD

4

其中正确的推断有（

平面ACB丄平面BBDD

A.1个B.2个C.3个D.4个

23.（3分）如图，在△ABC中，/BAC=90,AB=3,D在斜边BC上，且CD=2DB

那-I的值为（）

D.9

24.（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”.如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.

1LU求我>.'匸产恭iJUi-

I-1

7JL\工出亠"

~4.

二、解答题（共5小题，满分25分）

26.（5分）已知函数f（x）=1—2sin2x

（1）f時尸;

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值.

匕6

27.（5分）如图，在三棱锥P—ABC中,PB丄BC,ACLBC,点E,F,G分别为AB,

BC,PC,的中点

（1）求证：

PB//平面EFG

28.（5分）已知数列｛an｝是等比数列，且，公比q=2.

g

（1）数列｛an｝的通项公式为an=；

（2）数列｛bn｝满足bn=log2an（n€N*）,求数列｛bn｝的前n项和S的最小值.

22

29.（5分）已知圆M2x+2y-6x+1=0.

（1）圆M的圆心坐标为;

（2）设直线I过点A（0,2）且与x轴交于点D.与圆M在第一象限的部分交于

两点B,C•若O为坐标原点，且△OCD勺面积相等，求直线I的斜率.

30.（5分）同学们，你们是否注意到：

在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道

的电缆.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称

为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=aex+be—x（其

中a,b是非零常数，无理数e=2.71828…）.

（1）当a=1,f（x）为偶函数时，b=;

（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a,b值;

（3）如果f（x）的最小值为2,求a+b的最小值.

2018年北京市春季普通高中会考数学试卷

参考答案与试题解析

一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.

1.（3分）已知集合A={1,2,3},B={1,2}，那么AHB等于（）

A.{3}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3}

【解答】解：

•••集合A={1,2,3},B={1,2},

•••AHB={1,2}.

故选：

B.

2.（3分）已知直线I经过两点P（1,2）,Q（4,3）,那么直线I的斜率为（）

A.—3B.一C.丄D.3

【解答】解：

直线I的斜率亠,

4-13

故选：

C.

3.（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）

A.x2>0B.：

•-HC—厂+1-ID.Igx>0

【解答】解：

A.x2>0,因此不正确；

B.一>0,因此不正确；

C.t（*严>0,二（寺］赛+1>1>0,恒成立，正确;

D.0vx<1时，Igx<0,因此不正确.

故选：

C.

4.（3分）已知向量邑二氐3）,沪也6），且//b，那么x的值是（）

A.2B.3C.4D.6

【解答】解：

向量a=fK（3），庐⑷6），且aPb，

贝U6x-3X4=0,解得x=2.

故选：

A.

5.（3分）给出下列四个函数①产:

丄；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1,其中奇y

函数的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

【解答】解：

①尸丄满足f（-x）=-f（x）,为奇函数；②y=|x|满足f（-x）

=f（x）,为偶函数；

③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（-x）=-f（x）,

不为奇函数.

故选A.

6.（3分）要得到产就口）函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）

A.向左平移个单位B.向右平移'个单位

1212

C.向上平移个单位D.向下平移'个单位

1212

【解答】解：

将函数y=sinx的图象向右平移器个单位，可得到Usin（7-^-）函数的图象，

故选：

B.

7.（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）

A.3B.6C.10D.15

【解答】解：

模拟程序的运行，可得

i=1，S=0

满足条件iv4,执行循环体，S=1,i=2

满足条件iv4,执行循环体，S=3,i=3

满足条件iv4，执行循环体，S=6,i=4

不满足条件iv4,退出循环，输出S的值为6.故选：

B.

8.（3分）设数列｛an｝的前项和为S，如果ai=1,知=—2an（n€N）,那么S,

S2,S,S4中最小的是（）

A.SiB.S2C.S3D.S4

【解答】解：

｛an｝的前n项和为S,如果ai=1,an+i=-2an（n€N）,则数列｛an｝为首项为1,公比为-2的等比数列，

则Si=ai=1;

S=1—2=-1；

S3=1-2+4=3;

S=1-2+4-8=-5.

则其中最小值为S.

故选：

D.

9.（3分）1口吕2言+1□吕2$等于（）

A.1B.2C.5D.6

【解答】解：

原式=1□呂？

%6）=1龍三护二2.

故选：

B.

10.（3分）如果a为锐角，氐门a二半，那么sin2a的值等于（）

A.里B.里C.单D.旦

25252525

【解答】解：

Ta为锐角，.十厂寸二丄，

二COS"%-“岸d壬，

4394

sin2a=2sinacosa=2X.

5525

故选：

A.

11.（3分）已知a>0,b>0,且a+2b=8,那么ab的最大值等于（）

A.4B.8C.16D.32

【解答】解：

a>0,b>0,且a+2b=8,

则ab丄a?

2b<丄（也A）2丄X16=8,

2222

当且仅当a=2b=4,取得等号.

则ab的最大值为8.

故选：

B.

12.（3分）cos12°cos18°-sin12°sin18°的值等于（）

A•誓£C.寺D乎

【解答】解：

cos12°cos18°-sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=—2

故选：

D.

13.（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单

车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：

年龄12-20岁20-30岁30-40岁40岁及以上

比例14%45.5%34.5%6%

为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200

的样本进行调查，那么应抽取20-30岁的人数为（）

A.12B.28C.69D.91

【解答】解：

由分层抽样的定义得应抽取20-30岁的人数为200X45.5%=91人，

故选：

D

14.（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）

A.4nB.5nC.6nD.2n+4

【解答】解：

由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，

•••这个几何体的表面积：

2

S=2Xnr+2nrX2

=2n+4n=6n.

故选：

C.

15.（3分）已知向量’b满足|a|二1，|b|二2，ib二i，那么向量'b的

夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解答】解：

根据题意，设向量咼，b的夹角为°,

又由|3|=1，|b|=2，担甲b=1，

则cos°二d丄，

111lbI2

又由0°<9<180°，则°=60°;

故选：

B.

16.（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选

择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）

吩B肖C3D•寺

【解答】解：

某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，

要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，

基本事件有4个，分别为：

（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：

（星期一，星期二），（星期二，星期三），

•••某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p专#.

故选：

D.

17.（3分）函数■「：

•：

:

.:

的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：

根据题意，对于函数-'■<':

■■-:

■---，

其对应的方程为X-<-r-2=0,

令t=汀二有t>0，则有t2-t-2=0，

解可得t=2或t=-1（舍）

若t='.=2,则x=4,

即方程x-五-2=0有一个根4,

则函数一―•宀有1个零点；

故选：

B.

18.（3分）已知圆Mx2+y2=2与圆N:

（x-1）2+（y-2）2=3,那么两圆的位置关系是（）

A.内切B•相交C•外切D.外离

【解答】解：

圆Mx2+y2=2的圆心为M（0,0）,半径为r“;

圆N:

（x-1）2+（y-2）2=3的圆心为N（1,2）,半径为「2=怎;

|MN|=•:

.宀！

・，

且「-：

<■<■:

•••两圆的位置关系是相交.

故选：

B.

19.（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）

A.

yL-y-2^0B.

2x-y+2^0

C.

D.

b2x-y+2^0

十2^0

【解答】解：

经过（2,0）,（0,2）点的直线方程为昱空=1，即x+y-2=0,

22

经过（2,0）,（0,-2）点的直线方程为昱-工=1,即x-y-2=0,

22

经过（-1,0）,（0,2）点的直线方程为-x』=1，即2x-y+2=0,

2

则阴影部分在x+y-2=0的下方，即对应不等式为x+y-2<0

阴影部分在2x-y+2=0,的下方，即对应不等式为2x-y+2>0

阴影部分在x-y-2=0的上方，即对应不等式为x-y-2<0,

l+y亠2虬0

即对应不等式组为，工,

2x-y+2>0

故选：

A

20.（3分）在厶ABC中，r\1■:

-—，那么sinA等于

A.亟B.亘C.-D.2

6333

【解答】解：

在△ABC中,

故选：

B.

21.（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：

“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：

“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去•已知长安和齐的距离是3000里•良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）

A.1235B.1800C.2600D.3000

【解答】解：

•••长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.

驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，

.••前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：

S=（4X193+°：

爼x13）+[4Xg孑+"；''汽〈占）]=1235.故选：

A.

22.（3分）在正方体ABCD-ABCD中，给出下列四个推断:

1AC丄AD

2AC丄BD

3平面ACB//平面ACD

4平面ACB丄平面BBDD

其中正确的推断有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：

在正方体ABC-ABCD中,

在①中，AC与AD成60°角，故①错误；

在②中AC//AQACLBD,二AQ丄BD,故②正确;

在③中，•••AQ//AC,AD//BG,

AQGBG=G,AGAAD=A,

AQ、BG?

平面AGB,AGAD?

平面ACD,

•••平面AGB//平面ACD,故③正确；

在④中，•••AGLBiDl,A1GLBB,BDABB=B,

•••平面AGB丄平面BBDD,故④正确.

故选：

C.

23.（3分）如图，在△ABC中，/BAC=90,AB=3,D在斜边BC上，且CD=2DB

那「•-的值为（）

【解答】解：

•••衣尿-AB,ZBAC=90,AB=3CD=2DB

故选：

C

24.（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”.如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.

厝4|・\■?

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7J”一二

I_Jt111I—*"—由］N.

101$徉I30】剧TI20］'1"

说明：

在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例

如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.

根据上述信息，下列结论中错误的是（）

A.2016年第三季度和第四季度环比都有提高

B.2017年第一季度和第二季度环比都有提高

C.2016年第三季度和第四季度同比都有提高

D.2017年第一季度和第二季度同比都有提高

【解答】解：

由折线图知：

在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；

在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；

在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；

在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确.

故选：

C.

25.（3分）已知函数f（x）=|x2-2x-a|+a在区间［-1，3］上的最大值是3,那么实数a的取值范围是（）

A.（-X,0]B.（-X,—1]C.[0,+x）D.[寺+co）

【解答】解：

f（x）=|x2-2x-a|+a=|（x-1）2-1-a|,

•-x€[-1,3],

•••x2-2x€[-1,3],当a>3时，x2-2x-av0,

2222

•••f（x）=|x-2x-a|+a=-x+2x+a+a=-x+2x+2a=-（x-1）+1-2a,

当x=1时，取的最大值，即1-2a=3,解得a=-1,与题意不符；

2

当a<-1时，x-2x-a>0,

2222

•f（x）=|x-2x-a|+a=x-2x-a+a=x-2x=（x-1）-1,

当x=-1或3时，取的最大值，（3-1）2-仁3,

综上所述a的取值范围为（-X,-1]

故选：

B.

二、解答题（共5小题，满分25分）

26.（5分）已知函数f（x）=1-2sin2x

（1）f（）=

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值.

46

【解答】解：

函数f（x）=1-2sin2x=cos2x,

兀

故答案为:

•••当x=-

（X）取得最小值0,

x=0时，f（x）取得最大值1,

•函数f（X）在区间-一一上的最大值为1,最小值为0.

27.（5分）如图，在三棱锥P-ABC中,PB丄BQAC1BQ点E,F,G分别为AB,

BC,PQ的中点

（1）求证：

PB//平面EFG

【解答】证明：

（1）v点F,G分别为BC,PC,的中点,

•••GF//PB,

•••PB?

平面EFGFG?

平面EFG

•••PB//平面EFG

（2）v在三棱锥P-ABC中,PB丄BCACLBC,

点E,F,G分别为ABBC,PC,的中点，

•••EF//AC,GF//PB

•••EFLBC,GFLBC,

•••EFGFG=F二BCL平面EFG

•••EC?

平面EFG二BCLEG

28.（5分）已知数列｛an｝是等比数列,且,公比q=2.

S

（1）数列｛an｝的通项公式为an=2n-4；

（2）数列｛bn｝满足bn=log2an（n€N*）,求数列｛bn｝的前n项和S的最小值.

【解答】解：

（1）数列｛an｝是等比数列,且引电,公比q=2,可得an=?

2n-1=2n-4;

8

故答案为：

2n-4;

n—4

（2）bn=log2an=log22=n—4,

冷［（n冷）

可得n=3或4时，S取得最小值，且为-6.

29.（5分）已知圆M2x2+2y2—6x+1=0.

（1）圆M的圆心坐标为（―，0）;

2

（2）设直线I过点A（0,2）且与x轴交于点D.与圆M在第一象限的部分交于

两点B,C•若O为坐标原点，且△OCD勺面积相等，求直线I的斜率.

【解答】解：

（1）圆M2x2+2y2-6x+1=0.转化为：

念一）？

+/二上.

则圆m的圆心坐标为：

（号，a）.

（2）直线I过