算法设计作业.docx
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算法设计作业
LCS算法
LCS是LongestCommonSubsequence的缩写,即最长公共子序列。
一个序列,如果是两个或多个已知序列的子序列,且是所有子序列中最长的,则为最长公共子序列。
复杂度:
对于一般的LCS问题,都属于NP问题。
当数列的量为一定的时,都可以采用动态规划去解决。
解法:
动态规划的一个计算最长公共子序列的方法如下,以两个序列X、Y为例子:
设有二维数组f[i][j]表示X的i位和Y的j位之前的最长公共子序列的长度,则有:
f[1][1]=same(1,1)
f[i][j]=max{f[i-1][j-1]+same(i,j),f[i-1][j],f[i][j-1]}
其中,same(a,b)当X的第a位与Y的第b位完全相同时为“1”,否则为“0”。
此时,f[i][j]中最大的数便是X和Y的最长公共子序列的长度,依据该数组回溯,便可找出最长公共子序列。
该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2),经过优化后,空间复杂度可为O(n),时间复杂度为O(nlogn)。
代码的实现:
#include
usingnamespacestd;
#defineN100
intc[N][N]={0};
intC[N][N]={0};
intK=0;
intJ=0,I=0;
intlcs(char*x,char*y,intm,intn)
{
if(m<0||n<0)
{
return0;
}
if(x[m]==y[n])
{
if(I==0)
{
if(J>=n)
{
return0;
}
}
if(J==0)
{
if(I>=n){return0;}
}
returnK+1;
}
else
{
return0;
}
}
intmain(intargc,char**args)
{inti,j,max;
char*x="abcdefg";
char*y="badcfehgj";
//正序
cout<<"";
for(j=0;j { cout<<""< } cout< for(i=0;i { for(j=0;j { c[i][j]=lcs(x,y,i,j); if(K {J=j; K=c[i][j]; j=strlen(y); } } } for(i=0;i { cout< for(j=0;j { cout< } cout< } max=K; //反序 K=0; J=0; cout<<""; for(i=0;i { cout<<""< } cout< for(j=0;j { for(i=0;i { C[j][i]=lcs(y,x,j,i); if(K {I=i; K=C[j][i]; i=strlen(x); } } } for(j=0;j { cout< for(i=0;i { cout< } cout< } if(max>K) { cout<<"最大子串的长度: "< cout<<"最大子串为: "; for(i=0;i for(j=0;j { if(c[i][j]! =0) { cout< "< } } cout< } if(max { cout<<"最大子串的长度: "< cout<<"最大子串为: "; for(i=0;i for(j=0;j { if(C[i][j]! =0) { cout< "< } } cout< } if(max==K) { cout<<"最大子串的长度: "< cout<<"最大子串1为: "; for(i=0;i for(j=0;j { if(c[i][j]! =0) { cout< "< } } cout< cout<<"最大子串2为: "; for(i=0;i for(j=0;j { if(C[i][j]! =0) { cout< "< } } cout< } } 结果: N-皇后问题 1.问题描述 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。 际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。 n皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后。 任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 2.算法设计 设计一个解n皇后问题的对队列式分支限界法,计算在n×n个方格上放置彼此不收攻击的n个皇后的一个放置方案。 3.方法思想 回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。 它在问题的解空间树中,按深度优先策略,从根节点出发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任何一结点时,先判断该结点是否包含问题的解。 如果肯定不包含,则跳过对以该结点为根的子树的搜索,逐层向其祖先结点回溯;否则进入该子树,继续按深度优先策略搜索。 代码实现: #include #include boolPlace(intk,int*x){ inti; for(i=0;i if((abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))||x[i]==x[k])returnfalse; returntrue;} voidBacktrack(intn,int*x,int&sum){ intk=0,i;x[0]=0; while(k>=0){ x[k]+=1; while((x[k]<=n)&&! (Place(k,x))) x[k]+=1; if(x[k]<=n){ if(k==n-1){ sum++; printf("第̨²%d种? 情¨¦况? : : ",sum); for(i=0;i printf("%d",x[i]); printf("\n\n");} else{k++;x[k]=0;}} else k--; } } intmain(void){ int*x;intn,i,sum=0; printf("请? 输º? 入¨? 皇¨º后¨®的Ì? 个? 数ºy? \n"); scanf("%d",&n); x=(int*)malloc(n*sizeof(int)); if(x==NULL){ printf("\n"); exit(-1);} for(i=0;i Backtrack(n,x,sum); printf("总Á¨¹共2有®D%d种? 情¨¦况? \n\n",sum); free(x); system("pause"); return0; } 结果: 快速排序 快速排序(Quicksort)是对冒泡排序的一种改进。 由C.A.R.Hoare在1962年提出。 它的基本思想是: 通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。 假设要排序的数组是A[1]……A[N],首先任意选取一个数据(通常选用第一个数据)作为关键数据,然后将所有比它的数都放到它前面,所有比它大的数都放到它后面,这个过程称为一躺快速排序。 一躺快速排序的算法是: 1)、设置两个变量I、J,排序开始的时候I: =1,J: =N; 2)以第一个数组元素作为关键数据,赋值给X,即X: =A[1]; 3)、从J开始向前搜索,即由后开始向前搜索(J: =J-1),找到第一个小于X的值,两者交换; 4)、从I开始向后搜索,即由前开始向后搜索(I: =I+1),找到第一个大于X的值,两者交换; 5)、重复第3、4步,直到I=J; 例如: 待排序的数组A的值分别是: (初始关键数据X: =49) A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]: 49 38 65 97 76 13 27 进行第一次交换后: 27 38 65 97 76 13 49 (按照算法的第三步从后面开始找 进行第二次交换后: 27 38 49 97 76 13 65 (按照算法的第四步从前面开始找>X的值,65>49,两者交换,此时I: =3) 进行第三次交换后: 27 38 13 97 76 49 65 (按照算法的第五步将又一次执行算法的第三步从后开始找 进行第四次交换后: 27 38 13 49 76 97 65 (按照算法的第四步从前面开始找大于X的值,97>49,两者交换,此时J: =4) 此时再执行第三不的时候就发现I=J,从而结束一躺快速排序,那么经过一躺快速排序之后的结果是: 27 38 13 49 76 97 65,即所以大于49的数全部在49的后面,所以小于49的数全部在49的前面。 快速排序就是递归调用此过程——在以49为中点分割这个数据序列,分别对前面一部分和后面一部分进行类似的快速排序,从而完成全部数据序列的快速排序,最后把此数据序列变成一个有序的序列,根据这种思想对于上述数组A的快速排序的全过程如图6所示: 初始状态 {49 38 65 97 76 13 27} 进行一次快速排序之后划分为 {27 38 13} 49 {76 97 65} 分别对前后两部分进行快速排序 27 结束 结束 {49 65} 76 49 结束 结束 图6 快速排序全过程 1)、设有N(假设N=10)个数,存放在S数组中; 2)、在S[1。 。 N]中任取一个元素作为比较基准,例如取T=S[1],起目的就是在定出T应在排序结果中的位置K,这个K的位置在: S[1。 。 K-1]<=S[K]<=S[K+1..N],即在S[K]以前的数都小于S[K],在S[K]以后的数都大于S[K]; 3)、利用分治思想(即大化小的策略)可进一步对S[1。 。 K-1]和S[K+1。 。 N]两组数据再进行快速排序直到分组对象只有一个数据为止。 如具体数据如下,那么第一躺快速排序的过程是: 数组下标: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 36 18 53 72 30 48 93 15 36 I J (1) 36 36 18 53 72 30 48 93 15 45 (2) 36 36 18 45 72 30 48 93 15 53 (3) 36 36 18 15 72 30 48 93 45 53 (4) 36 36 18 15 45 30 48 93 72 53 (5) 36 36 18 15 30 45 48 93 72 53 通过一躺排序将45放到应该放的位置K,这里K=6,那么再对S[1。 。 5]和S[6。 。 10]分别进行快速排序。 实现代码: #include #defineLENGTH100/*数组最大存放量*/ voidqsort(longintshuju[],shortintshangbiao,shortintxiabiao); voidmain() { shortinti,n; longintshuju[LENGTH]; printf("Howmanynumbers? \n");/*要输入多少个数*/ scanf("%d",&n); getchar();/*干掉个多事的回车符*/ printf("inputthenumbers: \n"); for(i=0;i qsort(shuju,0,n-1);/*调用递归排序*/ printf("result: \n"); for(i=0;i putchar('\n'); getchar(); getchar();/*暂停看结果*/ } voidqsort(longintshuju[],shortintshangbiao,shortintxiabiao) { shortinti=shangbiao,j=xiabiao;/*i和j用来确定还需要判断排序的范围上下标*/ shortintshu=i;/*记录基准点*/ longintzhongjie; if(shangbiao { while(i { for(;j>shu;j--)/*对基准数右边扫描*/ { if(shuju[j] { zhongjie=shuju[j]; shuju[j]=shuju[shu];/*进行交换*/ shuju[shu]=zhongjie; shu=j;/*确定交换后的基准数*/ break;/*跳出循环*/ } } i++;/*往右推*/ for(;i { if(shuju[i]>shuju[shu])/*如果左边有比基准数大的*/ { zhongjie=shuju[i]; shuju[i]=shuju[shu];/*交换*/ shuju[shu]=zhongjie; shu=i;/*交换后的基准点*/ break; } } j--;/*往左推*/ }/*执行完后,比基准点小的都在左边,比基准点大的都在右边了*/ qsort(shuju,shangbiao,shu-1);/*对左边比基准点小的再次进行排序(递归调用)*/ qsort(shuju,shu+1,xiabiao);/*对右边比基准点大的再次执行上面的排序方法(递归调用)*/ }/*直到只剩下要排序一个数为止,此时整个数组已经排序好了*/ } 结果为: 堆排序 堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征,使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。 (1)用大根堆排序的基本思想 ①先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆,此堆为初始的无序区 ②再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换,由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n],且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key ③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质,故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。 然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换,由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n],且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys,同样要将R[1..n-2]调整为堆。 …… 直到无序区只有一个元素为止。 (2)大根堆排序算法的基本操作: ①初始化操作: 将R[1..n]构造为初始堆; ②每一趟排序的基本操作: 将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换,然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。 注意: ①只需做n-1趟排序,选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。 ②用小根堆排序与利用大根堆类似,只不过其排序结果是递减有序的。 堆排序和直接选择排序相反: 在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前,且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止 特点 堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。 堆排序的特点是: 在排序过程中,将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构,利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系(参见二叉树的顺序存储结构),在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。 算法分析 堆排序的时间,主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成,它们均是通过调用Heapify实现的。 堆排序的最坏时间复杂度为O(nlogn)。 堆序的平均性能较接近于最坏性能。 由于建初始堆所需的比较次数较多,所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。 堆排序是就地排序,辅助空间为O (1), 它是不稳定的排序方法。 实现代码: #include usingnamespacestd; voidheapadjust(int*&hh,ints,intm);//建立大顶堆函数 voidheapsort(int*h,intq);//堆排序函数 inth[100];//定义待排序数据的存储结构 voidmain() { inti=1;// intj=0;//辅助变量 intq=0;//记录当前数据个数 cout<<"输入待排序数据(-1退出): "< cout<<"第"< ";// cin>>j;// while(j! =-1)//输入数据 { h[i]=j; q++; i++; cout<<"第"< "; cin>>j; } heapsort(h,q);//调用堆排序函数 cout<<"由小到大分别为: ";//对排序后的数据循环输出 for(i=1;i<=q;i++) { cout< } cout< } voidheapadjust(int*&hh,ints,intm)//建立大顶堆 { intrc=0;//记录当前调整位置的数据大小 intj=0;//控制变量 for(j=2*s;j<=m;s=j,j*=2)//j初始化为调整位置的左孩子 { rc=hh[s]; if(j { ++j;//改变j值 } if(rc>=hh[j])//无需调整的情况 { break; } hh[s]=hh[j];// hh[j]=rc;//换位调整数据和它的某个孩子 } } voidheapsort(int*h,intq) { inti=0;// inta=0;//辅助变量 for(i=q/2;i>0;--i)//从q/2处开始调整 { heapadjust(h,i,q);//调用建大堆函数 } for
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