江苏中考试题研究题库数学 阅读理解.docx
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江苏中考试题研究题库数学阅读理解
题库:
阅读理解与新定义综合题
★1.如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标;
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
由题意可得出:
y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴此函数图象的顶点坐标为:
(1,0);
①由题意可得出:
y=x2+4x-1=(x+2)2-5,
∴将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到:
y=(x+2-1)2-5+1=(x+1)2-4=x2+2x-3,
∴图象对应的函数的特征数为:
[2,-3];
②∵一个函数的特征数为[2,3],
∴函数解析式为:
y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∵一个函数的特征数为[3,4],
∴函数解析式为:
y=x2+3x+4=(x+)2+,
∴原函数的图象向左平移个单位,再向下平移个单位可得到新函数的图象.
★2.自主学习
请阅读下列解题过程.
解一元二次不等式:
x2-5x>0.
解:
设x2-5x=0,解得:
x1=0,x2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).
画出二次函数y=x2-5x的大致图象(如图所示).
由图象可知:
当x<0或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-5x>0,
所以,一元二次不等式x2-5x>0的解集为:
x<0或x>5.
通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:
(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的________和________;(只填序号)
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
(2)一元二次不等式x2-5x<0的解集为________;
(3)用类似的方法解一元二次不等式:
x2-2x-3>0.
第2题图
①,③;
0<x<5;
由题中的解题过程及题图可知:
当0<x<5时,二次函数y=x2-5x的图象位于x轴下方,此时y<0,即x2-5x<0,∴一元二次不等式x2-5x<0的解集为:
0<x<5.
第2题解图
设x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.
则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0).
画出二次函数y=x2-2x-3的大致图象如解图.
由图象可知:
当x<-1或x>3时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-2x-3>0.
∴一元二次不等式x2-2x-3>0的解集为x<-1或x>3.
★3.阅读材料:
在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:
d=.
例如:
求点P0(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离.
解:
由直线4x+3y-3=0知,A=4,B=3,C=-3,
∴点P0(0,0)到直线4x+3y-3=0距离为d==.
根据以上材料,解决下列问题:
问题1:
点P1(3,4)到直线y=-x+的距离为________;
问题2:
已知:
⊙C是以点C(2,1)为圆心,1为半径的圆,⊙C与直线y=-x+b相切,求实数b的值;
问题3:
如图,设点P为问题2中⊙C上的任意一点,点A、B为直线3x+4y+5=0上的两点,且AB=2,请求出S△ABP的最大值和最小值.
第3题图
问题1:
4;
∵直线解析式为y=-x+,化为一般式为3x+4y-5=0,则点P1(3,4)到直线的距离为=4;
问题2:
将直线的解析式化为一般式得3x+4y-4b=0,
∵直线与⊙O相切,且⊙O的半径为1,
∴点C(2,1)到直线3x+4y-4b=0的距离为1,
即=1,解得b=或b=;
问题3:
圆心C(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离为=3,
∵圆的半径为1,
∴AB边上的高最大为3+1=4,最小值为3-1=2,
∵AB=2,
∴△ABP面积的最大值为×2×4=4,△ABP面积的最小值为×2×2=2.
★4.定义:
有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图①,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长;
②若AC⊥BD,求证:
AD=CD.
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.
第4题图
①∵AB=CD=1,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AB=BC,
∴▱ABCD是菱形.
又∵∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形,
∴BD=;
②如解图①,连接AC,BD,
∵AB=BC,AC⊥BD,
∴∠ABD=∠CBD,
又∵BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴AD=CD;
第4题解图①
若EF与BC垂直,则AE≠EF,BF≠EF,
∴四边形ABFE不是等腰直角四边形,即不符合条件;
若EF与BC不垂直,
①当AE=AB时,如解图②,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,
∴AE=AB=5.
第4题解图②
②当BF=AB时,如解图③,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,
第4题解图③
∴BF=AB=5.
∵DE∥BF,
∴△PED∽△PFB,
∴DE∶BF=PD∶PB=1∶2,
∴DE=2.5,
∴AE=9-2.5=6.5.
综上所述,AE的长为5或6.5.
★5.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图①,△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,点D,E分别在AB,BC上,且∠CDE=90°.当BE=2AD时,图①中是否存在与CD相等的线段?
若存在,请找出并加以证明,若不存在,说明理由.
小明通过探究发现,过点E作AB的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形(如图②),从而将解决问题.
第5题图
请回答:
(1)小明发现的与CD相等的线段是________;
(2)证明小明发现的结论;
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC上,BD=2DC,点E在AD上,且∠BEC=135°,求的值.
DE;
证明:
过点E作EF⊥AB,垂足为F,
则∠BFE=∠DFE=90°=∠A=∠CDE,
∵∠ADC+∠FDE=90°,
∠FED+∠FDE=90°,
∴∠ADC=∠FED,
∵∠BFE=90°,∠B=30°,
∴BE=2FE,
∵BE=2AD,
∴FE=AD,
在△FED和△ADC中,
,
∴△FED≌△ADC(ASA).
∴DE=CD;
如解图,
第5题解图
过点E作BC的平行线,与AB、AC分别相交与点F、G.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵FG∥BC,
∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°,∠BFE=∠EGC=135°.
∴AF=AG,BF=GC.
∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE,
∠CEB=∠EFB=135°,
∴∠FBE=∠GEC,
∴△BFE∽△EGC,
∴==,
∵FG∥BC,
∴△AFE∽△ABD,△AEG∽△ADC,
∴=,=,
∴=,
∵BD=2DC,
∴FE=2EG,
∴==,
∴=,
∴==.
★6.在现实生活中,我们经常会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、A4的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为∶1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”.在“标准矩形”ABCD中,P为DC边上一定点,且CP=BC,如下图所示.
(1)如图①,求证:
BA=BP;
(2)如图②,点Q在DC上,且DQ=CP,若G为BC边上一动点,当△AGQ的周长最小时,求的值;
(3)如图③,已知AD=1,在
(2)的条件下,连接AG并延长交DC的延长线于点F,连接BF,T为BF的中点,M、N分别为线段PF与AB上的动点,且始终保持PM=BN,请证明:
△MNT的面积S为定值,并求出这个定值.
第6题图
如解图①所示,
第6题解图①
∵PC=BC,∠BCP=90°,
∴BP=BC,
又∵矩形ABCD为“标准矩形”,
∴AB=BC,
∴AB=BP;
如解图②,作点Q关于直线BC对称的点F,连接AF交BC于点E,连接QE、GF,
第6题解图②
∵DQ=CP,∴CQ=DP=CF且AQ为定值,
∴EQ=EF,GQ=GF,
∵AQ为定值,要使△AGQ的周长最小,
∴只需AG+GQ=AG+GF最小,
显然AG+GF≥AF=AE+EF=AE+EQ,
即当点G与点E重合时,△AGQ的周长最小,
此时===,
∵===1-=1-,
∴当△AGQ的周长最小时=1-;
:
如解图③,连接TN、TM、MN,MN交AF于点K,连接KT,
第6题解图③
由
(2)可知,CF=DP,
∴PF=AB且PF∥AB,
∴四边形ABFP为平行四边形,
又由PM=BN,
∴MF=AN,
∴△MFK≌△NAK(AAS),
∴点K为AF与MN的中点,
又∵点T为BF的中点,
∴KT为△FAB的中位线,
∴S△FKT=S△TMK=S△TKN,
∴S△MNT=2S△FKT=S△FAB=S平行四边形ABFP=×=,
∴△MNT的面积S为定值,这个定值为.
★7.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个三角形,如果分得的两个三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:
CD为△ABC的完美分割线;
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;
(3)如图②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
第7题图
证明:
∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=80°,
∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A=40°,
∴△ACD是等腰三角形.
∵∠BCD=∠A=40°,∠CBD=∠ABC=60°,
∴△BCD∽△BAC,
∴CD是△ABC的完美分割线;
分三种情况讨论:
①当AD=CD时,如解图①,∠ACD=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°;
②当AD=AC时,如解图②,∠ACD=∠ADC==66°.
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=66°+48°=114°;
③当AC=CD时,如解图③,∠ADC=∠A=48°.
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°.
∵∠A=∠ADC>∠BCD,故此情况不存在,舍去.
综上,∠ACB=96°或114°;
第7题解图
由已知得AC=AD=2,
∵△BCD∽△BAC,
∴==,即BC2=BA·BD,
设BD=x,则BA=AD+BD=2+x,
∴()2=x(2+x)
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