19831997 全国卷.docx
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19831997全国卷
(1983全国卷)一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°(如右图)。
一条长度为l的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看作质点,绳长小于圆锥体的母线)。
物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动(物体和绳在上图中都没画出)。
(1).当v=
时,求绳对物体的拉力。
(2).当v=
时,求绳对物体的拉力。
(要求说明每问解法的根据)
【解析】全卷100分,本题15分。
题目要求考生说明每问解法的根据.物体做水平匀速圆周运动有两种可能:
一种是物体与锥体表面接触(见图1);一种是物体与锥体表面不接触(见图2)。
当接触时,物体受力如图1所示,T是绳对物体的拉力,N是支持力,mg是重力。
物体与锥面间无摩擦。
将力沿水平方向和竖直方向分解,按牛顿定律得:
Tsinθ-Ncosθ=m
(a)
Tcosθ+Nsinθ=mg. (b)
由(a)、(b)两式消去T,可得N跟v的关系如下:
N=mgsin-m
.
在θ给定后,v越大,N越小,当v=
时,令vb表示这个速率,并将θ=30°代入,可得:
vb=
(c)
因为N是支持力,最小等于0,所以当v>vb时,物体不再与锥面接触。
(1).当v=
时,因为v T=m +mgcosθ = = 或: T=1.03mg. (2)当v= 时,因为v>v0,所以物体与锥面不接触。 这时物体只受重力和绳子拉力作用(如图2所示)。 用α表示绳与圆锥体轴线之间的夹角,将力沿水平方向和竖直方向分解,按牛顿定律得: Tsinα=m (d) Tcosα=mg. (e) 将v= 代入(d)式,由(d)、(e)两式消去α,可得: 2T2-3mgT-2m2g2=0 解此方程,取合理值,得: T=2mg. 评分说明: 全题12分。 本题要求考生说明每问解法的根据,即要求得出(c)式,并将 (1)、 (2)两问中的速率与(c)式相比较。 这部分内容占6分。 不论考生用什么方法解题。 得出(c)式的给4分,再将 (1)、 (2)两问中的速率与(c)式比较的,再各给1分。 在 (1)中,列(a)、(b)式及求解占3分。 (a)、(b)两式中有一个列错的,扣2分。 单纯运算错误,扣1分。 答案最后结果写作T=mg的,不扣分。 在 (2)中,列(d)、(e)式及求解占3分。 (d)、(e)两式中有一个列错的,扣2分。 单纯运算错误,扣1分。 若误认为α=30°,扣2分。 (1984全国卷)在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内,有一段水银柱将两种理想气体a和b隔开。 将管竖立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a和b的长度分别为la和lb;若温度为T/,长度分别为l 和l 。 然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为 l 和l 。 已知T、T/、la、lb、l 、l ,求 。 【解析】全卷100分,本题10分。 有10分附加题 对于a段气体,有: (a) (b) 对于b段气体,有: (c) (d) 压强关系有: pb-pa=ρglb-ρgla(e) =p (f) 由以上各式可得: = 或: = (f) 评分说明: 全题10分。 (a)、(b)、(c)、(d)四式全都列对的,给4分;部分列对但无列错的,给1分;有列错的,不给分。 (e)式列对给3分;(f)式列对给1分。 最后结果正确再给2分。 (1985全国卷)图1中A和B表示在真空中相距为d的两平行金属板,加上电压后,它们之间的电场可视为匀强电场。 图2表示一周期性的交变电压的波形,横坐标代表时间t,纵坐标代表电压U。 从t=0开始,电压为一给定值U0,经过半个周期,突然变为-U0;再过半个 周期,又突然变为U0;……如此周期性地交替变化。 在t=0时,将上述交变电压U加在A、B两板上,使开始时A板电势比B板高,这时在紧靠B板处有一初速为零的电子(质量为m,电量为e)在电场作用下开始运动。 要想使这电子到达A板时具有最大的动能,则所加交变电压的频率最大不能超过多少? 【解析】全卷100分,本题12分。 开始t=0时,因A板电势比B板高,而电子又紧靠B板处,所以电子将在电场力作用下向A板运动。 在交变电压的头半个周期内,电压不变,电子做匀加速直线运动,其动能不断增大。 如果频率很高,即周期很短,在电子尚未到达A板之前交变电压已过了半个周期开始反向,则电子将沿原方向开始做匀减速直线运动。 再过半个周期后,其动能减小到零。 接着又变为匀加速运动,半个周期后。 又做匀减速运动。 ……最后到达A板。 在匀减速运动过程中,电子动能要减少。 因此,要想电子到达A板时具有最大的动能,在电压的大小给定了的条件下,必须使电子从B到A的过程中始终做加速运动。 这就是说,要使交变电压的半周期不小于电子从B板处一直加速运动到A板处所需的时间.即频率不能大于某一值。 在电场力的作用下,电子的加速度a为: a= (a) 其中e和m分别为电子的电量大小和质量,令t表示电子从B一直加速运动到A所需要的时间,则d= 或 t= (b) 令T表示交变电压的周期,ν表示频率,根据以上的分析,它们应满足以下的要求: t≤ (c) 即 ν≤ (d) 由(a)、(b)、(d)三式可解得: ν= (e) 即频率不能超过 评分标准: 本题12分。 列出(a)式的,给2分。 列出(b)式的,给2分。 这一部分共占4分。 能按题意得出条件(c)式或(d)式的,给5分。 得出最后结果(e)式的,再给3分。 这一部分共占8分。 (1986全国卷)有两只伏特表A和B,量程已知,内阻不知等于多少。 另有一干电池,它的内阻不能忽略,但不知等于多少。 只用这两只伏特表、电键和一些连接用导线,能通过测量计算出这个电池的电动势(已知电动势不超出伏特表的量程,干电池不许拆开)。 (1)画出你测量时所用的电路图。 (2)以测得的量做为已知量,导出计算电动势的式子。 【解析】全卷100分,本题6分,有10分附加题 (1)要在A处施一最小的力,力的方向应与AP垂直,这样力臂最大.因为r=2h,由几何关系可推知∠PAO=30°,∠POB=60°,要使柱体刚能绕P轴上滚,即意味着此时地面对柱体的支持力 N=0 (a) 这时,拉力F和重力mg对P轴的力矩平衡,由此可得 mgrsin60°=F·2rcos30° (b) 所以 F=2.5×102牛顿 (2)设台阶对柱体的作用力为f,因为刚能开始运动时,f与重力mg及拉力F三力平衡,所以必为共点力。 由此可知力f的方向是沿PA方向。 即力f的方向与F的方向垂直,所以f的大小必等于重力在AP方向上的分力。 即 f=mgcos30° (c) f=4.3×102牛顿. 评分标准: 本题9分。 (1)占6分; (2)占3分. (1)中,知道F与AP垂直的,给3分;列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,,给1分;答数正确的,再给1分。 (2)中,列出(c)式的,给2分;答数正确的,再给1分。 (1987全国卷)上右图中ABCD是一个用折射率n=2.4的透明媒质做成的四棱柱镜(图为其横截面),∠A=∠C=90°,∠B=60°,AB>BC。 现有平行光线垂直入射到棱镜的AB面上(如图示),若每个面上的反射都不能忽略,求出射光线: 要求: (1).画出所有典型光线从入射到射出的光路图。 (为了图面简洁,表示光线进行方向的箭头只在棱镜外面的光线上标出即可) (2).简要说明所画光路的根据,并说明每条典型光线只可能从棱镜表面的哪部分射出。 【解析】全卷100分,本题8分。 有10分附加题 参考解答: (1).有三条典型光线①,②,③,光路如下页图所示。 (2).因为媒质的折射率n=2.4,所以媒质的临界角 θ=arcsin =arcsin <30° 一条典型光线是①,垂直入射到AB面上BE之间(CE⊥AB),部分垂直反射;部分垂直透射到BC面,因入射角60°大于θ,发生全反射.到DC面,入射角30°仍大于θ,又发生全反射到AB面,垂直入射,部分垂直射出媒质;部分垂直反射回去,根据光路可逆性,最后由原入射处射出媒质,其反射部分又重复原路。 总之,光线①只能由AB面上FB(BF=BC)间垂直射出。 一条典型光线是②,垂直入射到AB面上EF之间,部分垂直反射;部分垂直透射.到DC面,入射角30°大于θ,发生全反射到BC面,入射角60°大于θ,全反射到AB面,垂直入射,部分垂直射出媒质;部分垂直反射回去,按光路的可逆性,由原入射处射出媒质,其反射部分又重复原路。 总之,光线②只能由AB面上FB间垂直射出。 一条典型光线是③,垂直入射到AB面上FA之间,部分垂直反射;部分垂直透射到DC面,入射角30°大于θ,全反射到AB面,入射角60°大于θ,全反射.到BC面,垂直入射,部分垂直射出媒质;部分垂直反射回去,按光路的可逆性,由原入射处射出媒质,其反射部分又重复原路。 总之,光线③只能由BC面和AB面上FA间垂直射出。 评分标准: 本题8分。 (1)占3分, (2)占5分。 (1)中,画光路: ①占1分,②占1分,③占1分。 每条光线的画法只要有错误或没画,就不能给该条光线的分. (2)中,解释光路: 正确说明各次全反射,给1分;正确利用光路的可逆性,给1分。 三条光线的射出范围,答对一条给1分。 本题不要求画出并讨论经E和F点入射的光线的出射线。 (1988全国卷)N个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶,它们沿轴线排列成一串,如图所示(图中只画出了六个圆筒,作为示意)。 各筒和靶相间地连接到频率为ν、最大电压值为U的正弦交流电源的两端。 整个装置放在高真空容器中,圆筒的两底面中心开有小孔,现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒,并将在圆筒间及圆筒与靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速(设圆筒内部没有电场),缝隙的宽度很小,离子穿过缝隙的时间可以不计。 己知离子进入第一个圆筒左端的速度为v1,且此时第一、二两个圆筒}司的电势差V1-V2=-U,为使打到靶上的离子获得最大能量,各个圆筒的长度应满足什么条件? 并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量。 【解析】全卷100分,本题9分。 为使正离子获得最大能量,要求离子每次穿越缝隙时,前一个圆筒的电势比后一个圆筒的电势高U,这就要要求离子穿过每个圆筒的时间都恰好等于交流电的半周期。 由于圆筒内无电场,离子在圆筒内做匀速运动。 设vn为离子在第n个圆筒内的速度,则有 (1) 第n个圆筒的长度为Ln=vn 由 (1)式得 vn= (3) 将(3)代入 (2),得第n个圆筒的长度应满足的条件为: Ln= (4) n=1,2,3……N。 打到靶上的离子的能量为: Ek=NqU+ (5) 评分标准: 本题共9分。 列出 (1)式给2分;列出 (2)式给3分;得出(4)式再给2分;得出(5)式给2分。 (1989全国卷)一个质量为m、带有电荷-q的小物体,可在水平轨道Ox上运动,O端有一与轨道垂直的固定墙。 轨道处于匀强电场中,场强大小为E,方向沿Ox轴正向,如图所示。 小物体以初速v0从x0点沿Ox轨道运动,运动时受到大小不变的摩擦力f作用,且f 【解析】全卷100分,本题9分。 小物体受到的电场力F=-qE,大小不变,方向指向墙;摩擦力f的方向与小物体运动方向相反.不管开始时小物体是沿x轴正方向或负方向运动,小物体在多次与墙碰撞后,最后将停止在原点O处。 在这个过程中,电势能减少了 △ε=qEx0 (1) 小物体动能减小了 ,由于小物体与墙碰撞时不损失机械能,因而小物体克服摩擦力所做的功就等于减少的动能和电势能之和 fs= +qEx0 (2) 解得小物体在停止前所通过的总路程s等于 s= (3) 评分标准: 全题9分。 列出 (1)式得4分,列出 (2)式得4分,得出结果(3)式再得1分。 (1990全国卷)质量m=2.0千克的小铁块静止于水平导轨AB的A端.导轨及支架ABCD形状及尺寸如上右图,它只能绕通过支架D点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的O点,质量M=4.0千克.现用一细线沿导轨拉铁块,拉力F=12牛.铁块和导轨之间的摩擦系数μ=0.50.重力加速度g=10米/秒2.从铁块运动时起,导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少? 【解析】全卷100分,本题8分。 导轨刚要不能维持平衡时,C端受的力为零,此时导轨(及支架)受四个力: 滑块对导轨的压力N=mg,竖直向下;滑块对导轨的摩擦力f=μmg=10牛,方向向右;重力Mg,作用在O点,方向竖直向下;轴作用于D端的力. 设此时铁块走过路程s,根据有轴物体平衡条件及图中尺寸,有 Mg×0.1+mg(0.7-s)=f×0.8=μmg×0.8 40×0.1+20(0.7-s)=10×0.8 ……………… (1) 解得 s=0.50米 铁块受的摩擦力f=10牛,向左,由牛顿第二定律得 F-f=ma,12-10=2a ……………… (2) 评分标准: 全题8分.正确列出 (1)式得4分,解得s=0.50米再得1分,共计5分.凡因力的分析、力矩的大小和转向等而导致 (1)式错误的就不给这5分,但 (1)式正确而s算错的给4分.正确列出 (2)式得2分.求出正确结果t=1.0秒再得1分。 (1991全国卷)在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于l(l比2r大得多)时,两球之间无相互作用力: 当两球心间的距离等于或小于l时,两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动,如图所示.欲使两球不发生接触,v0必须满足什么条件? 【解析】全卷100分,本题8分。 解一: A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小.当A、B的速度相等时,两球间的距离最小.若此距离大于2r,则两球就不会接触.所以不接触的条件是 v1=v2①l+s2-s1>2r② 其中v1、v2为当两球间距离最小时A、B两球的速度;s1、s2为两球间距离从l变至最小的过程中,A、B两球通过的路程. 由牛顿定律得A球在减速运动而B球作加速运动的过程中,A、B两球的加速度大小为 ③ 设v0为A球的初速度,则由匀加速运动公式得 联立解得 ⑥ 解二: A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小.当A、B的速度相等时,两球间的距离最小.若此距离大于2r,则两球就不会接触.所以不接触的条件是 v1=v2① l+s2-s1>2r② 其中v1、v2为当两球间距离最小时A、B两球的速度;s1、s2为两球间距离从l变至最小的过程中,A、B两球通过的路程. 设v0为A球的初速度,则由动量守恒定律得 mv0=mv1+2mv2 ③ 由动能定理得 联立解得 ⑥ 评分标准: 全题共8分.得出①式给1分.得出②式给2分.若②式中">"写成"≥"的也给这2分.在写出①、②两式的条件下,能写出③、④、⑤式,每式各得1分.如只写出③、④、⑤式,不给这3分.得出结果⑥再给2分.若⑥式中"<"写成"≤"的也给这2分. (1992全国卷)如图所示,一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为m的小木块A,m (1)若已知A和B的初速度大小为v0,求它们最后的速度的大小和方向. (2)若初速度的大小未知,求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离. 【解析】全卷100分,本题8分。 (1)A刚好没有滑离B板,表示当A滑到B板的最左端时,A、B具有相同的速度.设此速度为V,A和B的初速度的大小为v0,则由动量守恒可得: Mv0-mvo=(M+m)V (2)A在B板的右端时初速度向左,而到达B板左端时的末速度向右,可见A在运动过程中必经历向左作减速运动直到速度为零,再向右作加速运动直到速度为V的两个阶段.设l1为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程,l2为A从速度为零增加到速度为V的过程中向右运动的路程,L为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程,如图所示.设A与B之间的滑动摩擦力为f,则由功能关系可知: 由几何关系 L+(l1-l2)=l ⑤ 评分标准: 本题8分 (1)2分.末速度的大小和方向各占1分. (2)6分.其中关于B的运动关系式(例如②式)占1分;关于A的运动关系式(例如③、④两式)占3分,只要有错,就不给这3分;几何关系(例如⑤式)占1分;求出正确结果⑥,占1分. 用其它方法求解,正确的,可参考上述评分标准进行评分.如考生若直接写出②、③、④、⑤的合并式 则此式可给2分,再写出③式再给3分;最后结果正确再给1分. (1993全国卷)一平板车,质量M=100千克,停在水平路面上,车身的平板离地面的高度h=1.25米,一质量m=50千克的小物块置于车的平板上,它到车尾端的距离b=1.00米,与车板间的滑动摩擦系数μ=0.20,如图所示。 今对平板车施一水平方向的恒力,使车向前行驶,结果物块从车板上滑落。 物块刚离开车板的时刻,车向前行驶的距离s0=2.0米。 求物块落地时,落地点到车尾的水平距离s。 不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦。 取g=10米/秒2。 【解析】全卷100分,本题8分。 解法一: 设作用于平板车的水平恒力为F,物块与车板间的摩擦力为f,自车启动至物块开始离开车板经历的时间为t,物块开始离开车板时的速度为v,车的速度为V,则有 (F-f)s0=(1/2)MV2 ① f(s0-b)=(1/2)mv2 ② (F-f)t=MV ft=mv ④ f=μmg ⑤ 由①、②得 ⑥ 由③、④式得 (F-f)/f=(MV)/(mv) ⑦ 由②、⑤式得 =2米/秒 由⑥、⑦式得 V=s0/(s0-b)v=[2/(2-1)]×2=4米/秒 由①式得 物块离开车板后作平抛运动,其水平速度v,设经历的时间为t1,所经过的水平距离为s1,则有 s1=vt1 ⑧ h=(1/2)gt12 ⑨ 由⑨式得 s1=2×0.5=1米 物块离开平板车后,若车的加速度为a则a=F/M=500/100=5米/秒2 车运动的距离 于是 s=s2-s1=2.6-1=1.6米 评分标准: 全题8分 正确求得物块开始离开车板时刻的物块速度v给1分,车的速度V给2分;求得作用于车的恒力F再给1分。 正确求得物块离开车板后平板车的加速度给1分。 正确分析物块离开车板后的运动,并求得有关结果,正确求出物块下落过程中车的运动距离s2并由此求s的正确数值,共给3分。 最后结果有错,不给这3分。 解法二: 设作用于平板车的水平恒力为F,物块与车板间的摩擦力为f,自车启动至物块离开车板经历的时间为t,在这过程中,车的加速度为a1,物块的加速度为a2。 则有 F-f=Ma1 ① f=ma2 ② f=μmg ③ 以及 s0=(1/2)a1t12 ④ s0-b=(1/2)a1t12 ⑤ 由②、③两式得 a2=μg=0.2×10=2米/秒2 由④、⑤两式得 由①、③两式得 F=μmg+Ma1=0.2×50×10+100×4=500牛顿 物块开始离开车板时刻,物块和车的速度分别为v和V,则 物块离车板后作平抛运动,其水平速度为v,所经历的时间为t1,走过的水平距离为s1,则有 s1=vt1 ⑥ h=(1/2)gt12 ⑦ 解之得: s1=vt1=2×0.5=1米 在这段时间内车的加速度 a=F/M=500/100=5米/秒2 车运动的距离 s=s2-s1=2.6-1=1.6米 评分标准: 全题8分 正确求得物块离开车板前,物块和车的加速度a1、a2,占2分,求得物块开始离开车板时刻的速度v和此时车的速度V占1分,求得作用于车的恒力F占1分。 正确求得物块离开车板后,车的加速度a占1分。 正确分析物块离开车板后物块的运动
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