制图第二篇 3章.docx
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制图第二篇3章
第二篇画法几何
第三章基本体的投影
§2-3-1平面立体的投影
教学目的掌握常见的平面立体的投影。
重点难点平面立体的投影及平面立体上取点。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1、怎样求直线与平面相交的交点?
2、怎样求两平面(其中必有一个平面为特殊位置平面)的交线?
Ⅱ导入新课
基本形体按其表面性质不同,分为平面立体和曲面立体两类。
常见的平面立体有棱柱体、棱锥体、棱台体等。
曲面立体有圆锥体、圆柱体等。
Ⅲ讲解新课
表面由平面所围成的几何体称为平面立体。
所以平面立体的投影就是围成它的表面的所有平面图形的投影。
工程上常有的平面立体有棱柱体和棱锥体。
一、棱柱体
(一)投影
下图5-1是正五棱柱的立体图和投影图。
图5-1正五棱柱的投影
a)立体图b)投影图
五棱柱的顶面和底面都是水平面;它的五个边中有四条边是水平线,一条是侧垂线;五个棱面有四个是铅垂面,一个是正平面,五条棱线均为铅垂线。
五棱柱的H面投影是一正五边形,是上、下底面的投影,反映实形,也是垂直于底面的五个棱面的投影;V面投影为五个矩形,是五个棱面的投影,上、下底面的投影积聚成平行于OX轴的两条直线段;W面为四个矩形(两两重合)和一条平行于OZ轴的直线段,是五个棱面的投影,上、下底面的投影积聚成平行于OY轴的两条直线段。
(二)表面上取点
在平面立体表面上取点,就是在各表面的平面上取点,棱柱表面上取点方法为:
首先根据点的一个投影判断点在棱柱体表面的位置,再利用平面上找点的方法完成棱柱体表面上取点。
如图5-1b)所示,已知在五棱柱的表面上K和M的正投影k’和m’,求作它们的水平投影和侧面投影。
作图过程如下:
(1)根据k’和m’可判断出K和M分别位于五棱柱的BB0A0A和DD0E0E两棱面上。
(2)由于K、M所在的两个棱面水平投影均具有积聚性,因此由k’、m’分别向具有积聚性水平投影上作出k、m。
(3)由于M所在棱面是一正平面,所以m’’直接在有积聚性的侧面上作出。
(4)由k’和k可求出k’’。
平面体是由若干平面围成的,这些平面在各投影中可能是不可见的。
凡是位于可见面上的点都是可见的,位于不可见面上的点是不可见的。
二棱锥体
一个平面,如果有一个面上多边形,其余各面是有一个公顶点的三角形,就叫棱锥体,这个多边形叫做棱锥的底面,各个三角形就是棱锥的棱面。
底面为正多边形,棱锥体的高通过底面多边形的中心,称为正棱锥。
(一)投影
图示5-2是一个三棱锥的三面投影图。
由图可知,底面三角形ABC平行于H面,它的水平投影abc反映实形,正面投影和侧面投影积聚成为水平直线段。
棱面SAC是侧垂面,它的W面投影s’’a’’c’’积聚成一条直线,V面、H面投影都成为小于实形的Ls’a’c’和Lsac其余两个棱面均是一般位置平面,所以它们的三个投影均为小于实形的三角形,其中在W面投影中s’’a’’b’’与s’’b’’c’’重合。
图5-2三棱锥投影图
(二)表面上取点
如图5-3,已知三棱锥表面上点D和点E的V面投影,求其余两投影。
因为D点在三棱锥的SAB棱面上,E点在三棱锥的SAC棱面上,所以求作点D和点E的其余两投影,属于面上定点的问题。
所谓面上定点,首先面上定线,再在线上定点,此即点、线、面的从属关系。
因此,在SAB棱面上可过D点任作一条辅助直线来求它的其余两投影。
如连s’d’交底边a’b’得一条辅助线SⅢ,也可在SAB棱面上过D点作一直线III∥AB,通过辅助线SⅢ或III便可求出D点的其余两投影。
而E点所在的SAC棱面是侧垂面,所以E点的W面投影可根据SAC棱面在W面上的积聚投影直接求得,其H面投影可根据e’和e’’求得。
如图4-3所示。
图5-3三棱锥表面上取点
在棱锥表面上取点,应按照点、线、面的从属关系,一般是先在棱面上作辅助线(通过锥顶或作底边的平行线),再根据点线的从属关系完成棱锥表面上取点。
Ⅳ课堂小结
棱柱体的投影及表面上取点。
棱锥体的投影及表面上取点。
Ⅴ布置作业
1.什么是平面立体?
常见的平面立体有哪些?
2.什么是棱锥体?
棱锥表面上取点的一般方法是什么?
3.习题集。
§2-3-2曲面立体的投影
(一)
教学目的掌握常见曲面立体的投影知识。
重点难点曲面立体的投影及曲面立体上取点。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.基本体分哪几类?
Ⅱ导入新课
基本形体按其表面性质不同,分为平面立体和曲面立体两类。
下面介绍曲线立体的投影。
Ⅲ讲解新课
由曲面或曲面与平面所围成的形体,称为曲面立体。
常见的曲面立体是回转体。
曲面立体的曲面是由运动的母线,绕着固定的轴线,做旋转运动形成的。
一、圆柱体
(一)圆柱面的形成
圆柱面是由直母线AAl绕与母线平行的轴OOl旋转一周而形成。
如图6-1所示。
(二)圆柱的投影
图6-1圆柱体
a)立体图;b)投影图
当圆柱的轴线垂直于圆柱的底面时,称为正圆柱。
当圆柱的轴线垂直于水平投影面时,其H面投影为一圆形,反映圆柱顶面和底面的实形,圆周又是圆柱面的积聚性投影。
V面投影是最左素线、最右素线的投影和圆柱上下底面积聚投影围成,W面投影则为最前素线、最后素线的投影和圆柱上下底面积聚投影围成。
轴线的三面投影均用点划线画出。
(三)圆柱表面上取点。
在圆柱面上取点,可利用投影的积聚性求解,原则上与在平面上取点相同,可过点在圆柱面上作一辅助线来求。
为了作图方便,可利用素线作为辅助线。
图6-2圆柱体表面上取点
图6-2所示,已知圆柱面上A、B两点的V面投影a’b’,求A、B两点的H、W面投影。
1.由a’可见及b’不可见可知:
点A在前半圆柱面上,而B点在后半圆柱面上。
利用圆柱面在H面的积聚投影可作出a和b。
2.由A、B的V面和H面投影即可作出W面的投影a’’、b’’来,由于A、B两点都位于圆柱的左半部分,因此a’’、b’’都可见。
如图6-2所示。
二、圆锥体
(一)圆锥面的形成
图6-3圆锥体
a)立体图;b)投影图
直母线SA绕与它相交与S点的轴线SO旋转一周而形成的曲面,称圆锥面。
圆锥面上的素线都交汇于顶点S,圆锥面上任一点随母线运动一周的轨迹都是一个圆,此圆称为纬圆。
如图6-3a)所示。
(二)圆锥的投影
当圆锥的轴线垂直于圆锥的底面时,称为正圆锥。
其H面投影为一圆,V、W面投影均为等腰三角形。
表示圆锥的三面投影时,用点划线画出轴线的V面和W面投影,在水平投影中用相互垂直的两点划线画出对称中心线,圆心即是轴线的水平投影,也是锥顶S的水平投影。
如图6-3b)所示。
(三)圆锥体表面上取点
如图6-4所示,已知圆锥体表面上的A、B两点的V面投影a’、b’,求A、B的H面和W面的投影。
可以通过辅助素线法或辅助圆法求解。
现求A点用辅助素线法,求B点用辅助圆法。
图6-4圆锥体表面取点
a)辅助素线法;b)辅助圆法
1.连接SA交底边于Ⅰ点,得到一条辅助素线SⅠ。
作SⅠ的V、H、W的三面投影,利用点线的从属关系求出a、a’’分别在s1、s’’1’’上。
如图6-4a)所示。
2.过V面上的b’作一纬圆,纬圆在V、W面的投影分别积聚为直线;在H面上的投影则与底面圆是同心圆,圆心是锥顶S的H面投影s,直径是纬圆在V面或W面积聚线的长度。
求出b、b’’在纬圆上的同名投影。
如图6-4b)所示。
3.判明可见性。
由V面投影可知,点A在圆锥的前偏左部分,故a、a’’可见;点B在圆锥的前偏右部分,故b可见,b’’不可见。
Ⅳ课堂小结
圆柱体、圆锥体的形成、投影、表面上取点。
Ⅴ布置作业
1.习题集。
§2-3-2曲面立体的投影
(二)
教学目的掌握常见曲面立体的投影知识。
重点难点曲面立体的投影及曲面立体上取点。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.基本体分哪几类?
Ⅱ导入新课
基本形体按其表面性质不同,分为平面立体和曲面立体两类。
下面介绍球的投影和表面取点问题。
Ⅲ讲解新课
球体的曲面是由运动的圆,绕着固定的直径,做旋转运动形成的。
三、圆球
(一)圆球面的形成
圆周母线绕它的一直径旋转一周而形成的曲面,称为圆球面。
如图6-5所示。
图6-5球面图6-6球体的三面投影
(二)圆球体的投影
圆球体的三面投影均为与球面直径相等的三个圆周,如图6-6所示。
V面的圆周是最大正平圆的V面投影;H面的圆周是最大水平圆的H面投影;W面的圆周是最大侧平圆的W面投影。
圆球面的各个投影图需用点划线画出圆的对称中心线,其交点是球心的投影。
(三)球体表面上取点
球体表面上取点,一般采用辅助圆法。
常用水平圆、侧平圆或正平圆作为辅助圆。
如图6-7所示,已知球面上点A的正面投影a’,求作它的水平投影a和侧面投影a’’。
图6-7球面上取点
球面的三个投影都没有积聚性,而且球面上不存在直线,但可通过A点作平行投影面的圆为辅助圆。
现过A点作平行最大水平圆的圆为辅助圆,作图过程如下:
1.过点A作辅助水平圆的投影。
此圆在V面上积聚成一直线m’n’,以m’n’为直径在水平投影面上画出该圆的实形。
2.由a’可知A点在球体的前半部分,从而在辅助水平圆的H面投影上可求出a,且a可见。
3.由a’可知A点在球体的左半部分,从而在辅助水平圆的W面投影上可求出a’’,且a’’可见。
Ⅳ课堂小结
圆柱体、圆锥体、圆球体的形成、投影、表面上取点。
Ⅴ布置作业
1.习题集。
§2-3-3截交线
(一)
教学目的通过例题掌握平面与平面立体相交的做题思路
重点难点平面与平面立体相交的投影图画法
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.基本体怎样分类?
2.棱锥表面上取点的一般方法是什么?
Ⅱ导入新课
平面与立体相交,即立体被平面所截,下面介绍它们之间的位置关系和截交线的画法。
Ⅲ讲解新课
一、平面与棱柱相交
平面与立体相交,即立体被平面所截;与立体相交的平面称截平面;截平面与立体表面的交线称截交线;截交线所围成的图形称截断面;被平面切割后的立体称为切割体(又称截切体)。
如图4-4所示。
图5-4平面与三棱锥相交
由于立体的形状不同,截平面的位置不同,截交线的形式不同,但都有下列性质:
(1)截交线是截平面与立体表面的共有线。
(2)截交线是封闭的平面图形。
求截交线的实质,即求立体表面与截平面的交线问题。
一般情况下平面与平面立体相交的截交线是直线。
平面与平面立体相交,截交线的求作方法与步骤:
(1)找截交点:
即找截平面与立体表面的交点(平面立体的棱线与截平面的交点;截平面与截平面间交线的两个端点),求作方法与立体表面上取点一样。
(2)连截交线:
连线时,位于同一棱面上一两点才能连线,且根据投影方向不同,可见的为实线,不可见的为虚线。
图5-5平面与直四棱柱相交
a)立体图;b)投影图
例5-1如图5-5所示,四棱柱与正垂面P相交,求其截交线。
1.分析
(1)该立体为直四棱柱,因此截平面为一封闭的平面四边形KLMN,K、L、M、N四个点为P平面与四个棱线的交点。
(2)因为KLMN在正垂面P上,其V面投影有积聚性,与P重合,它的H面投影与四棱柱的H面投影重合,W面投影可根据立体表面上求点的方法求得。
2.作图如图4-5b)所示。
Ⅳ课堂小结
平面与棱柱相交。
Ⅴ布置作业
1.平面与平面立体相交截交线的求作步骤?
2.习题集。
§2-3-3截交线
(二)
教学目的通过例题掌握平面与平面立体相交的做题思路
重点难点平面与平面立体相交的投影图画法
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.平面与平面立体相交截交线的求作步骤?
Ⅱ导入新课
平面与立体相交,即立体被平面所截,下面介绍它们之间的位置关系和截交线的画法。
Ⅲ讲解新课
二、平面与棱锥相交
四、平面与棱锥相交
图5-6平面与三棱锥相交
例5-2如图5-6所示,三棱锥与正垂面P相交,求作其截交线。
分析:
三棱锥被正垂面P所截,其截断面为三角形,三角形上的三个点是截平面与棱锥的三个棱线的交点。
因为截断面A1B1C1在P平面上,其V面投影与P面的V面投影重合。
A1B1C1的H、W面投影可根据棱锥表面上取点的方法分别求出,然后连接各点即可求出。
最后判别可见性,因为棱面SBC的W面投影为不可见,故b1’’c1’’不可见,应用虚线表示。
作图如5-6)所示。
例5-3如图5-7所示,一个具有缺口的正三棱锥,求其H、W面投影。
1.分析
(1)切割体可以看作是由一个完整的几何体被几个截年面截切后留下来的形体。
该体可以看成一个完整的正三棱锥,被水平面P、侧平面Q、正垂面R所截,其截交线分别为三个封闭的几何图形。
(2)找截交点时,除了截平面与三棱锥的棱线产生的交点外,还要找出截平面与截平面间交线的端点。
如图5-7中I、Ⅱ、Ⅴ三个点是三棱锥的棱线与三个截平面的交点,而III、VII、IV、VI四个点则是三个截平面间交线的端点。
(3)P截面是水平面,其截断面在H面上反映实形;Q截面是侧平面,其截断面在W面上反映实形;R截面是正垂面,其截断面在H、W面上反映类似的几何图形。
2.作图
(1)找点:
先在反映切口的V面投影中找出截交点(l’、2’、3’、4’、5’、6’、7’),然后利用三棱锥表面上取点的方法求出截交点的H、W面投影。
(2)连线:
依次连接同一棱面上的点,然后连接截平面间的交线。
连线时应注意可见的连成实线,不可见的连成虚线。
(3)整理:
平面立体切去的部分擦掉(或画成双点划线)。
图5-7具有切口的正三棱锥的作图步骤
a)已知条件;b)、c)作图过程;d)立体图
Ⅳ课堂小结
平面与棱锥相交,交点在棱线上和面上。
Ⅴ布置作业
1.习题集。
§2-3-3截交线(三)
教学目的熟悉平面与曲面立体相交的投影作图法
重点难点平面与曲面立体相交的投影画法。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.什么是正圆锥的投影特点?
2.球是怎样形成的?
其投影特点是什么?
Ⅱ导入新课
平面与曲面立体相交,即立体被平面所截,下面介绍它们之间的位置关系和截交线的画法。
Ⅲ讲解新课
平面与曲面立体相交,其截交线一般是封闭的平面曲线、或由平面曲线和直线段组成的封闭平面图形。
特殊情况下也可能是平面多边形。
求其截交线的方法与步骤:
(1)判断:
判断出平面与曲面立体相交是截交线的形状。
(2)找点:
确定截交线上的特殊点,再根据需要在特殊点之间求一些中间辅加点。
(3)连线:
最后根据所求点用圆滑的曲线依次连接,可见得连成实线,不可见的连成虚线,特殊情况为直线段。
一、平面与圆柱相交
平面与曲面立体相交,即立体被平面所截,截交线是封闭的平面曲线,或曲线和直线组成的平面图形,或直线段多边形。
求截交线时,应首先求出特殊的点,如截交线上的最高、最低、最前、最后、最左、最右以及可见性的分界点等,以便控制曲线的形状。
求截交线的方法与步骤:
1.判断:
判断出平面与曲面立体相交时截交线的形状。
2.找点:
确定截交线上的特殊点,再根据需要在特殊点之间求中间辅加点。
3.连线:
根据所求点用圆滑的曲线依次连接(特殊情况为直线段),可见的为实线,不可见的为虚线。
由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同,表6-1为平面与圆柱体相交的三种情况。
圆柱面上的截交线和圆柱的断面表6-1
如图6-9所示,平面P与圆柱相交,求截交线。
因为平面和圆柱轴线斜交,其截交线为一椭圆。
因圆柱面的H面投影有积聚性,所以截交线的H面投影就在圆周上。
截平面P是正垂面,截交线的V面投影与P平面的V面投影重合,为一直线段。
再用已知两投影求截交线的W面投影。
其作图方法如下:
1.求特殊点:
根据圆柱体表面取点的方法,求出截交线上的最高点Ⅰ(1、l’、1’’)、最低点Ⅱ(2、2’、2’’)、最前点Ⅲ(3、3’、3’’)、最后点Ⅳ(4、4’、4’’)。
2.求一般位置点:
V、VI、VII、VIII各点为一般位置点。
先在V面投影中定出这些点的V面投影(5’、6’、7’、8’),再求它们的H、W面投影(5、6、7、8;5’’、6’’、7’’、8’’)。
3.用圆滑曲线连接并判别可见性:
Ⅲ、Ⅳ两点把圆柱分为左、右两半部分,因为3’’7’’2’’8’’4’’在左半部分,连成实线,而3’’5’’1’’6’’4’’在右半部分,连成虚线。
图6-9平面与圆柱相交
在工程上的一些构件中,常遇到平面与回转体表面相交,图6-8所示涵洞洞口端墙与拱圈的交线,就是平面与圆柱的交线。
图6-8涵洞洞口交线
如图6-10所示,已知一个开槽圆柱V面投影和圆柱(未切割)的另两面投影,补全这个开槽圆柱的H面和W面投影。
图6-10求开槽圆柱的截交线
a)已知条件;b)作图过程
开槽圆柱是由一个侧平面和一个正垂面截割而成。
V面投影中两个截平面都有积聚性,所以截交线的V面投影积聚为两条直线段;开槽圆柱在W面上有积聚,所以截交线的W面投影与开槽圆柱的积聚投影一部分重合,另外两个截平面间的交线是一段虚线。
H面投影中,为侧平面的截平面有积聚性,产生的截交线是空间一段圆弧线,积聚为一直线段;另一个截平面与圆柱的轴线倾斜,截交线为一段椭圆线。
作图过程如下:
1.求特殊点:
先在已知的V面投影图中判定出截交线上的最高点a’和h’、最低点b’和c’,b’和c’也是截交线上的最前点和最后点,又是两截平面交线上的两个端点。
然后利用圆柱体表面上取点的方法求出a、h、b、c和a’’、h’’、b’’、c’’。
2.求一般位置点:
如图6-10a)中的E、F点。
3.平滑曲线连点为截交线:
如图6-10b)所示。
Ⅳ课堂小结
平面与圆柱相交的投影画法。
Ⅴ布置作业
1.平面与圆柱相交有几种情况?
。
2.习题集。
§2-3-3截交线(四)
教学目的熟悉平面与曲面立体相交的投影作图法
重点难点平面与曲面立体相交的投影画法。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.平面与圆柱相交有几种情况?
。
Ⅱ导入新课
平面与曲面立体相交,其截交线一般是封闭的平面曲线、或由平面曲线和直线段组成的封闭平面图形。
特殊情况下也可能是平面多边形。
Ⅲ讲解新课
二、平面与圆锥相交
由于截平面与圆锥体轴线的相对位置不同,截交线的形状也不同,如表6-2所示。
圆锥面上的截交线和圆锥的断面表6-2
如图6-11所示,正垂面P与直立的圆锥相交,求其截交线。
截平面P与圆锥相交的截交线在空间应为椭圆。
由于截平面P是正垂面,所以截交线在V面的投影与截平面的积聚投影重合,为一段直线;而截交线在H面和W面上的投影为椭圆。
作图过程如下:
1.求特殊点:
根据圆锥体表面上取点的方法(纬圆法),求截交线上的最高点Ⅰ(1、l’、1’’)、最低点Ⅱ(2、2’、2’’)、最前点Ⅴ((5、5’、5’’)、最后点VI(6、6’、6’’),W面上可见不可见的分界点Ⅲ(3、3’、3’’)和Ⅳ(4、4’、4’’)。
2.求一般位置点:
:
VII((7、7’、7’’)和VIII((8、8’、8’’)。
3.平滑曲线连点成截交线:
H面上椭圆截交线均为可见,连成实线;在W面上4’’、1’’、3’’不可见,连为虚线,其余连成实线。
图6-11正垂面与圆椎相交
如图6-12所示,圆锥被三个平面所截,形成带缺口的圆锥体,求其截交线。
三个截平面(由下至上)与圆锥所截得到的截交线应由双曲线、部分圆曲线、三角形组成。
截平面在V面投影中都有积聚性,所以截交线的V面投影与三个截平面的积聚投影重合,带缺口圆锥的截交线只求作H面和W面投影。
作图过程如下:
图6-12圆椎被多面所截
1.求特殊点:
求最下截平面截得的双曲线上的最高点Ⅰ(1、l’、1’’)、最低两点Ⅱ(2、2’、2’’)和Ⅲ(3、3’、3’’);最上截平面截得的三角形上的最高点S(s、s’、s’’),最低两点Ⅳ(4、4’、4’’)和Ⅴ((5、5’、5’’),IV(4、4’、4’’)和Ⅴ((5、5’、5’’)两点也是两截平面间的交线;中间截平面截得的部分圆曲线。
2.求一般位置点:
如图4-19所示。
3.连点成截交线:
由于最下截平面是侧平面,所以由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ点所组成的双曲线在H面上的投影积聚为一段直线,W面上的投影反映实形;中间截平面是水平面,由I、Ⅳ和I、Ⅴ组成的两段圆曲线在W面投影中积聚成一段直线,在H面投影中反映实形;最上截平面是正垂面,所以由S、IV、V组成的三角形在H面和W面投影中均为类似三角形。
4.可见性的判别:
除在H面投影中4、5两点的连线为虚线外,其余截交线均为实线。
5.去掉被截割部分:
如图4-19所示。
Ⅳ课堂小结
平面与圆锥相交的投影画法。
Ⅴ布置作业
1.习题集。
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