普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海理含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海理含答案
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷(理工农医类)
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条
形码.
2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间20分钟.
一•真空题(本大题满分56分)本大题有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接
写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
开始
1.若复数z满足z(1+i)=1-i(I是虚数单位),则其共轭复数2.已知集合A—x|xE1?
B=「x|x_a?
,且A_BR
则实数a的取值范围是
则x满足的条件是
4.某算法的程序框如右图所示,则输出量y与输入量x
满足的关系式是.
5.如图,若正四棱柱ABCD-ABCiU的底面连长为2,高为
4,则异面直线BDi与AD所成角的大小是(结果用反三角函数表示)
2
6.函数y=2cosx+sin2x的最小值是7•某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量•表示
选出的志愿者中女生的人数,则数学期望(结果用最简分数表示)•
8.已知三个球的半径R-i,R2,R3满足R|'2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,§3,满
足的等量关系是…
22
Xy
9.已知F1、F2是椭圆C:
—22=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且
ab
PFi丄PF2.若APF1F2的面积为9,则b=.
10.在极坐标系中,由三条直线V-0,'二,Tcosv•「sinv-1围成图形的面积是
3
11.当0兰x兰1时,不等式sin巴启kx成立,则实数k的取值范围是.
2
12.已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列{an}满足an乏‘一—,i,且公差
<22丿
d式0.若f(aj+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=是,f(ak)=0.
13.某地街道呈现东一西、南一北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
若
以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),
(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)为发行站,使6个零
售点沿街道到发行站之间路程的和最短.-
14.将函数丫仝4•6x-x2-2(x•0,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角
d(0一d_:
•),得到曲线C.若对于每一个旋转角二,曲线C都是一个函数的图像,则:
-的
最大值为._
二•选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答
题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得零分。
15.“-2乞a乞2”是“实系数一元二次方程x2ax^0有虚根”的
(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件
(C)充要条件(D既不充分也不必要条件
’,1
16.若事件E与F相互独立,且PE二PF,则PEIF的值等于
4
111
(A)0(B)(C)(D)-
1642
17.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染
的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲、乙、丙、丁四地
新增疑似病例数据,一定符合该标志的是
(A)甲地:
总体均值为3,中位数为4(B)乙地:
总体均值为1,总体方差大于0
(C)丙地:
中位数为2,众数为3(D)丁地:
总体均值为2,总体方差为3
22
18•过圆C:
(x-1)(y-1)=1的圆心,作直线分别交X、y正半轴于点A、B,
AOB被圆分成四部分(如图),若这四部分图形面积满足s"s「Sil,
则直线AB有()
(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条
三•解答题(本大题满分
78分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定
区域内写出必要的步骤
19(本题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC-AEG中,AA,二BC二AB=2,
AB_BC,求二面角Bj-AC-G的大小。
20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
有时可用函数
0.115ln—,(^6)a-x
(x):
x_4.4/,(x6)
.x—4
描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x^N*),f(x)表示
对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关。
(1)证明:
当x_7时,掌握程度的增加量f(xT)-f(x)总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。
当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。
21.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分。
已知双曲线c:
—-y2=1,设过点A(-3・、.2,0)的直线I的方向向量e=(1,k)-…
2
(1)当直线I与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线I的方程及I与m的距离;
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知函数y=f(x)的反函数。
定义:
若对给定的实数a(a二0),函数y=f(xa)与
fJ(xa)互为反函数,则称y二f(x)满足“a和性质”;若函数y二f(ax)与y=f°(ax)互为反函数,则称y二f(x)满足“a积性质”。
(1)判断函数g(x)=x21(x-0)是否满足“1和性质”,并说明理由;…
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数y=f(x)(x-0)对任何a•0,满足“a积性质”。
求y=f(x)的表达式。
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题
满分8分。
已知订」是公差为d的等差数列,是公比为q的等比数列。
(1)若an=3n-1,是否存在m、kN,有am■amak?
说明理由;
(3)若a
数列〈bn?
中的一项,请证明。
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。
解答
、(第一题至第14题)
J2,X-1
x-2,x1
题号
15
16
17
18
代号
A
B
D
B
(第15题至第18题)
三.(第19题至第23题)
19.解如图,建立空间直角坐标系。
贝yA2,0,0,C0,2,0,A12,0,2,
B10,0,2,C10,2,2,……2分
设AC的中点为M,.BM_AC,BM_CC,
BM_平面AGC,即卩BM=1,1,0是平面
AGC的一个法向量。
设平面A1B1C的一个法向量是n=x,y,z,
nA|B1=-2x=0,nAC=-2x2y-2z=0,
n=0,1,1,
20.证明
(1)当x_7时,f(x+1)-f(x)=
3分
6分
9分
13分
14分
面角B1-AG-G的大小为-
0.4
(x-3)(x-4)
而当一7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)0.
故f(x+1)-f(x)单调递减.
■当—7,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.
解
(2)由题意可知0.1*15In」0.85,
a-6
整理得旦二e0.05,
a-6
0.05
解得a=-^620.506=123.0,123.0121,127】.
e-1
由此可知,该学科是乙学科。
21.
(1)双曲线C的渐近线m:
\_y
V2
=0,即x二、2y=0
直线l的方程x_2y3^2=0
二直线l与m的距离d=—+=J6
(2)||证法一设过原点且平行于丨的直线b:
kx「y=0,
则直线l与b的距离d=,
山+k2
12分
又双曲线C的渐近线为x一2y=0,
-双曲线C的右支在直线b的右下方,
双曲线c的右支上的任意点到直线i的距离大于6。
故在双曲线C的右支上不存在点Q(x0,y0)到到直线I的距离为616分
证法二假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到到直线丨的距离为、6,
|kx0-y^^/2k
-1k2
2r2几
x°—2y°=2
二,6
(1)
(2)
由
(1)得y0二kx03、.2k一一1k2,
11分
设t_•6、1k2,
当k牛时,心以一—厂k20:
22•解
2k2-1
t=3©k—Qj1+k2=76汇二八^=>0
的F+J1十k2
222
将y°二kx°t代入
(2)得(1-2k)xo-4tkx°-2(t1)=0,
「k三,t0
2
-1-2k2:
:
0,-4kt:
:
0,-2(t21):
:
0.
故在双曲线C的右支上不存在点Q(x0,y0)到到直线丨的距离为,6
(1)函数g(x)=x2・1(x0)的反函数是g'(x)“d(x1),
g」(x1)x(x0,)
而g(x1^(x1)21(^-1),其反函数为y-1
故函数g(x^x21(x-0)不满足“1和性质”
(2)设函数f(x)二kx•b(x•R)满足“2和性质”,k=0。
x2—b
1x—b1
f(X)二「(xR/f(x2)=kk
x—b—2k而f(x2^k(x2)b(^R),得反函数y二k
13分
16分
-1(x1)
k+2-bx-b-2k
由“2和性质”定义可知=-一■对(x•R)恒成立。
k=-1,b・R.即所求一次函数f(x)二-x,b(b・R).
10分
(3)设a0,x00,且点(xd,y0)在y=f(ax)图像上,则(丫0,灯在函数
y=f4(ax)图像上,
故(ff)y0可得ayo=f(Xo)=af(axo),
fT(ay。
)=x°
12分
令axo=x,贝卩a=~,f(xo^—f(x),即f(x)二x°f(x°)人xx
14分
综上所述,
kk
f(x)-(k=0),此时f(ax),其反函数是y
xax
ax,
1k1
而f—(ax)=,故y=f(ax)与y=f-(ax)互为反函数。
……16分
ax
23解
(1)由am-am^ak,得6m3k1,……2分
4*
整理后,可得k-2m=-,丁m、k^N二k—2m为整数,
3,
*
■不存在m、kN,使等式成立。
5分
(2)解法一若也也,即色nd恥心,(*)
ana^i+(n-1)d
(i)若d=0,则1=Eq"'=bn,
当〈aj为非零常数列,fbj为恒等于1的常数列,满足要求。
……7分
—■.nd
(ii)若d=0,(*)式等号左边取极限得lim11,(*)式等号
n-就a1+(n—1)d
右只边只有当q=1时,才可能等于1,此时等号左边是常数,
满足要求。
综上所述,只有当〔aj为非零常数列,E为恒等于1的常数列,
10分
为等比数
解法二设an“dc,若旦」=bn,对n都成立,且
an
列,则旦厘/加二q,对n:
<”都成立,即anan2二qa爲,an1an
二qd2
(dnC(dn2djoqdnd,)对cn-!
都成立,d2
(i)若d=0,贝囤二c=0,•bn=1,n・、「”。
n*
(3)an=4n1,bn=3,nN,
=0=3k,pk
才*s
4m2p3,一pk=N,p=3,s=N13分
P
取k=3s2,4m=32s2-23^3(4-1)2s+2-2:
4i:
s-3_0,……15分
由二项展开式可得整数M2,使得(4-1)2s+2=4M!
+1,
2(4-1)s-8M2(_1)s2
4m=4(M1-2M2)-((-1)S1)2,存在整数m满足要求。
s
故当且仅当p=3,s・N,命题成立。
……18分
说明:
第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分)
若p为偶数,则am1•am.2•川•am.p为偶数,但3k为奇数。
故此等式不成立,•p一定为奇数。
……1分
当p=1时,则am彳=bk,即4m•5=3k,
而3k=(4-1)k
=c0”4k+c;4心(—1)引j+cf4(—1)kr<”(-1)k=4M+(-1)k,Mez.
当k为偶数时,存在m,使4m•5=3k成立,1分
当p=3时,则am1-am.2am厂bk,即3am2=b,
也即3(4m9)=3k,4m9=3「4(m1)5=3k,,
由已证可知,当k-1为偶数即k为奇数时,存在m,4m3k成立,……2分
当p=5时,则am1•am2*川*am-^bk,即5am3f,
也即5(4m•13)=3k,而3k不是5的倍数,•当p=5时,所要求的m不存在,
故不是所有奇数都成立。
……2分
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