数学八年级上资料.docx
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数学八年级上资料
第一讲平方根、立方根
一、基本概念
平方根的定义及表示方法:
如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根.也就是说,若,则就叫做的平方根.一个非负数的平方根可用符号表示为“”.
算术平方根:
一个正数有两个互为相反数的平方根,其中正的平方根叫做的算术平方根,可用符号表示为“”;有一个平方根,就是,的算术平方根也是,负数没有平方根,当然也没有算术平方根.(负数的平方根在实数域内不存在,具体内容高中将进学习研究)
一个非负数的平方根不一定是非负数,但它的算术平方根一定是非负数,即若,则.
平方根的计算:
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.
开平方与平方是互逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.
平方根与算术平方根的区别及联系:
区别:
(1)定义不同:
“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.
(2)个数不同:
一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示方法不同:
正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为.
(4)取值范围不同:
正数的算术平方根一定是正数;正数的平方根则一正一负,两数互为相反数.
联系:
(1)具有包含关系:
平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的一种。
(2)存在条件相同:
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
(3)0的平方根、算术平方根均为0.
通过验算我们可以知道:
⑴当被开方数扩大(或缩小)倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍().
⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:
①若,则;②不管为何值,总有
注意二者之间的区别及联系.
⑶若一个非负数介于另外两个非负数、之间,即时,它的算术平方根也介于、之间,即:
利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围.
立方根的定义及表示方法:
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根,也就是说,若则就叫做的立方根,一个数的立方根可用符号表“”,其中“”叫做根指数,不能省略.前面学习的“”其实省略了根指数“”,即:
也可以表示为.读作“三次根号”,读作“二次根号”,读作“根号”.任何一个数都有立方根,且只有一个立方根,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,的立方根为.
立方根的计算:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根.
通过归纳我们可以知道:
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍,它的立方根相应地扩大(或缩小)倍.
⑵,
⑶若一个数介于另外两个数、之间,即,它的立方根也介于和之间,即利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围.
二、知识归纳
1、由算术平方根的定义得到:
一个非负数a的算术平方根可记作,它是非负数,就是说,当有意义时,它一定表示一个非负数,故具有双重非负性:
①a≥0;②≥0.
2、是算术平方根的专有记号,它有两重意义:
①表示求根号内的非负数的算术平方根,是运算符号;②求a的算术平方根,其思维方式与乘方是逆向的,即要这样想,什么非负数的平方等于a.
3、求一个数的平方根,实质上是已知指数和幂,求底数.这种求底数的运算是乘方运算的一种逆运算.
练习题:
1、判断下列各题,并说明理由
⑴的平方根是.()
⑵一定是正数.()
⑶的算术平方根是.()
⑷若,则.()
⑸.()
⑹是的平方根.()
⑺的平方根是.()
⑻若,则.()
⑼若两个数平方后相等,则这两个数也一定相等.()
⑽如果两个非负数相等,那么这两个数各自的算术平方根也一定相等.()
⑾算术平方根一定是正数.()
⑿没有算术平方根.()
⒀的立方根是.()
⒁是的立方根.()
⒂.()
⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数.()
⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根,任何数都有唯一的奇数次方根.()
2、填空:
⑴若,则;若,则.
⑵若,则的平方根是;若,则.
⑶若,则;若,则.
⑷当,的算术平方根是.
⑸算术平方根是,则.
⑹若一个自然数的一个平方根是,那么比它大的自然数的平方根是.
⑺平方根等于本身的数是,算术平方根等于它本身的数是,立方根等于它本身的数是;平方根与立方根相等的数是.
3、求下列各式的值:
4、
(1)已知某正数的两个平方根是与,求这个正数.
(2)已知与是某正数的平方根,求这个正数.
5、
(1)已知的平方根是,的立方根是,求的平方根.
(2)已知,(),且(),,求的值.
6、是的算术平方根,是的立方根,求的立方根.
7、,求的平方根.
思考题:
若,,为两两不等的有理数,求证:
为有理数.
第二讲二次根式
【知识要点】
二次根式的概念:
形如()的式子叫做二次根式.
二次根式的基本性质:
⑴()双重非负性;⑵();⑶
二次根式比较大小的一般方法:
(1)作差法
(2)平方法(3)近似值法(4)做商法
【经典例题】
一二次根式的概念
1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).
2、当x是多少时,在实数范围内有意义?
3、取何值时,下列各式有意义:
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
二非负数性质的综合应用
4、已知,为实数,且与互为相反数,求的值.
5、在实数范围成立,那么的值是多少?
三、化简
6、计算:
(1)
(2) (3) (4)(5)(b≥0) (6)
7、实数,在数轴上的位置如图所示,化简.
8、已知,化简=______________.
四二次根式比较大小
1、试比较与
2、比较大小
(1)与
(2)与
(3)与(4)与
3、比较大小:
与
4、设,,,则的大小关系是()
A.B.C.D.
第三讲二次根式的运算
【知识要点】
最简二次根式:
二次根式()中的称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式:
⑴被开放数的因数是整数,因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
⑶分母中不含二次根式
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.
二次根式的乘法法则:
(,)
二次根式的除法法则:
(,)
利用这两个法则时注意、的取值范围,对于,、都非负,否则不成立,
如
【例题】
一、最简二次根式
1、下列二次根式中,最简二次根式的个数是( ).
,,,,,,,.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、下列各式正确的是()
A.B.C.D.
3、化简下列各式(字母均取正数):
⑴;⑵;⑶;⑷;⑸.
4、若,且,化简
5、化简:
二.同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.
合并同类二次根式:
.同类二次根式才可加减合并.
6、若最简二次根式与是可以合并的二次根式,则。
7、判断下列各组二次根式是不是同类二次根式:
⑴⑵
⑶⑷
8、下列二次根式中,哪些是同类二次根式?
(字母均为正数)
;;;;;.
三、实数运算
9、计算
(1);
(2);(3)(+1)2;(4).
10、计算
(1);
(2)2;(3);
(4);(5)
11、化简
(1)
(2)
12、计算:
13、
14、计算:
。
四、分母有理化:
把分母中的根号化去叫做分母有理化.
互为有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,说这两个代数式互为有理化因式.
与互为有理化因式;分式有理化时,一定要保证有理化因式不为0.
15、把下列各式分母有理化:
⑴
⑵
⑶
⑷
17、化简:
( )
A. B.
C. D.不同于的答案
第四讲一次函数图象与性质
函数:
一、函数与变量
常量与变量的概念:
我们在现实生活中所遇到的一些实际问题,存在一些数量关系,其中有的量永远不变,同时也出现了一些数值会发生变化的两个量,且这两个量之间相互依赖、密切相关.
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.
在某一变化过程中,有两个量,例如和,对于的每一个值,都有惟一的值与之对应,其中是自变量,是因变量,此时也称是的函数.
在一些变化过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量.例如:
圆的面积与圆的半径存在相应的关系:
,这里表示圆周率;它的数值不会变化,是常量,随着的变化而变化,是自变量,是因变量;
◆“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内,每取一个确定值,都唯一的值与之相对应,否则不是的函数.
◆判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式,还要满足上述确定的对应关系.取不同的值,的取值可以相同.例如:
函数中,时,;时,.
◆函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系,函数本质就是变量间的对应关系.
数学上表示函数关系的方法通常有三种:
⑴解析法:
用数学式子表示函数的方法叫做解析法.譬如:
,.
⑵列表法:
通过列表表示函数的方法.
⑶图象法:
用图象直观、形象地表示一个函数的方法.
关于函数的关系式(即解析式)的理解:
●函数关系式是等式.例如就是一个函数关系式.
●函数关系式中指明了那个是自变量,哪个是函数.
通常等式右边代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数.
例如:
是自变量,是的函数.
●函数关系式在书写时有顺序性.
例如:
是表示是的函数,若写成就表示是的函数.
●求与的函数关系时,必须是只用变量的代数式表示,得到的等式右边只含的代数式.
自变量的取值范围:
很多函数中,自变量由于受到很多条件的限制,有自己的取值范围,例如中,自变量受到开平方运算的限制,有即;
当汽车行进的速度为每小时公里时,它行进的路程与时间的关系式为;这里的实际意义影响的取值范围应该为非负数,即.
在初中阶段,自变量的取值范围考虑下面几个方面:
⑴根式:
当根指数为偶数时,被开方数为非负数.
⑵分母中含有自变量:
分母不为.
⑶实际问题:
符合实际意义.
函数图象:
函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列点组成的.
描点法画函数图象的步骤:
⑴列表;⑵描点;⑶连线.
函数解析式与函数图象的关系:
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上;
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式.
习题讲解:
一、函数及其自变量取值范围
1、判断下列式子中是否是的函数.
⑴⑵⑶⑷
2、⑴下列图形中的曲线不表示是的函数的是().
3、求下列函数自变量的取值范围
(1)
(2)
4、⑴函数中自变量的取值范围是()
A.B.C.D.
5、根据你的理解写出下列与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
⑴某人骑车以是速度匀速运动的路程与时间,解析式:
,定义域:
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