平行四边形1.docx
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平行四边形1
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第12章平行四边形1
12.1平行四边形1
1.平行四边形的特征1
2.平行四边形的识别4
12.2几种特殊的平行四边形8
1.矩形8
2.菱形9
3.正方形11
阅读材料黄金矩形13
12.3梯形14
梯形14
阅读材料四边形的变身术16
小结17
复习题17
A组17
B组18
C组19
第12章平行四边形
12.1平行四边形
1.平行四边形的特征
平行四边形是随处可见的熟悉图形,本章导图上的桌面、书面……甚至连在
阳光照耀下它们的影子都是平行四边形。
回忆
你能从图
在以前的学习中,我们已经初步认识了平行四边形,知道平行四边形的两组对边分别平行,这是它的一个主要特征。
除此之外,平行四边形还有什么特征呢?
探索
如图12.1.2,按照下面的步骤,在方格纸上画一个平行四边形。
步骤1:
画两条平行线
步骤2:
在两条线上分别取点A和点B,连结AB。
步骤3:
沿着水平方向平移AB到DC,就得到▱ABCD。
如图12.1.3,用剪刀把▱ABCD从方格纸上剪下,再在一张纸上沿▱ABCD的边沿,画出一个西边形,记为EFGH。
则四边形EFGH和ABCD完全一样,也为平行四边形。
它们的对应边、对应角都相等。
在▱ABCD中连结AC、BD,它们的交点记为O。
用一枚图钉在O点穿过,将▱ABCD绕点O旋转180
。
观察旋转后的180
和纸上所画的▱EFGH是否重合。
你能从中得出▱ABCD的一些边角关系吗?
我们发现,旋转180
之后两个平行四边形完全重合,从而可以得到
AD=BC,AB=DC
∠A=∠C,∠B=∠D
即平行四边形的对边相等,对角相等。
例1如图12.1.4,在▱ABCD中,已知∠A=40
,求其他各个内角的度数。
解:
由于平行四边形的对角相等,所以∠A=∠C=40
因为AD∥BC,
∠B=180
-∠A
=180
-40
=140
所以∠D=∠B=140
例2如图12.1.5,在▱ABCD中,已知AB=8,周长等于24,求其余三条边的
长。
解:
由于平行四边形对边相等,所以
AB=DC=AD=BC
由已知
AB=8
AB+BC+CD+DA=24
解得CD=8
AD=BC=4
练习
已知在▱ABCD中,∠A=120
,求其余各内角的度数。
已知在▱ABCD中,AB=5,BC=3,求它的周长。
观察
在如图,你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗?
可以发现,▱ABCD绕O点旋转180
后,和原来的平行四边形互相重合,这说明▱ABCD是一个中心对称图形,所以
OA=OC,OB=OD
即平行四边形对角线互相平分
例3如图12.1.6,在▱ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB
的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是多少?
解:
已知AO+BO+AB=15
又AB=6
所以AO+BO=15-6=9
因为平行四边形对角线互相平分,所以
AC+BD=2AO+2BO
=2(AO+BO)
=2×9
=18
试一试
如图12.1.7,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线,用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度。
经过度量,我们发现这些垂线段的长度都相等(从图
平行线之间的距离处处相等。
练习
在▱ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,指出图形中相等的线段。
如图,如果直线l1∥l2,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的。
你能说出理由吗?
你还能在两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?
2.平行四边形的识别
我们已经知道,如果一个四边形是平行四边形,那么它就是一个中心对称图形,具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等特征与性质。
那么我们怎样来识别平行四边形呢?
现在让我们一起来探索这个问题。
探索
如图,按照下面的步骤,在方格纸上画一个有一组对边平行且相等的四边形。
步骤1:
画一线段AD
步骤2:
平移线段AD到BC
步骤3:
连结AB、DC,得到四边形ABCD,其中,
AD∥BC,AD=BC
如图,沿四边形的边剪下四边形,再在一张纸上沿四边形的边画出一个四边形。
把两个四边形重合放在以期,重合的点分别记为A、B、C、D。
通过连结对角线确定对角线的交点O,用一枚图钉穿过点O,把其中一个四边形绕点O旋转,观察旋转180
后的四边形与原来的四边形是否重合,重复旋转几次,看看是否得到同样的结果。
我们可以看到,旋转后的四边形与原来的四边形重合,即C点与A点重合,B点与D点重合。
这样,我们就可以得到
∠BAC=∠ACD
从而AB∥DC
又AD∥BC
根据平行四边形的定义,我们知道四边形ABCD是平行四边形。
可以得到
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例4如图12.1.9,在▱ABCD中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且AE=CF,连结CE和AF,试说明四边形AFCE是平行四边形。
解:
由于平行四边形对边平行,
AD∥BC
即AE∥CF
又AE=CF
所以四边形AFCE是平行四边形。
练习
在下面的格点图中,以格点为顶点,你能画出多少个平行四边形?
如图,在▱ABCD中,已知M和N分别是AB、DC上的中点,试说明四边形BMDN也是平行四边形。
探索
如图,在方格纸上画两条相交于一点O并且在O点处互相平分的线段AC和BD,顺次连结AB、BC、CD、DA,组成一个四边形ABCD,利用同样的方法,画一个和四边形ABCD完全一样的四边形,参照图,观察其中一个四边形绕点O旋转180
后,是否和原来的四边形重合。
重复旋转几次,看看是否得到同样的结果。
我们可以发现,旋转后的四边形与原来的四边形完全重合,由此可以确定这一四边形为平行四边形。
即有下列结论:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
例5如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交
于O点,已知点E、F分别是AO、OC的中点,试说
明四边形BFDE是平行四边形。
解:
由于平行四边形对角线互相平分,所以
OA=OC,OB=OD
又E、F分别是AO、OC的中点,所以
OE=OF
即四边形BFDE的对角线互相平分,所以BFDE是平行四边形。
如图,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C,∠B=∠D。
试说明四
边形ABCD是平行四边形。
解:
在四边形ABCD中,
∠A+∠B+∠C+∠D=360
已知∠A=∠C,∠B=∠D
所以∠A+∠B=180
从而AD∥BC
同理可以说明AB∥CD
所以ABCD是平行四边形
我们有下面的结论:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
练习
如图,在▱ABCD中,已知两条对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点,以图中的点为顶点,尽可能多地画出平行四边形。
如图,在▱ABCD中,已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线,你认为四边形AFCE是平行四边形吗?
如果是,试说明理由。
习题12.1
如图,在▱ABCD中,AE垂直于CD,E是垂足。
如果∠B=55
,那么∠D与∠DAE分别等于多少度?
如图,在▱ABCD中,已知AC、BD相交于点O,两条对角线的和为36厘米,CD的长为5厘米,求△OCD的周长。
如图,A、B、E在一直线上,AB=DC,∠C=∠CBE。
你能说明四边形ABCD是平行四边形吗?
尽可能多地用各种不同的方法画出平行四边形。
12.2几种特殊的平行四边形
1.矩形
试一试
如图12.2.1,用四段木条做一个平行四边形的活动木框,将其直立在地面上轻轻地推动点D,你会发现什么?
可以发现,角的大小改变了,但不管如何,它仍然保持平行四边形的形状。
我们若改变平行四边形的内角,使其一个内角恰好为直角,就得到一种特殊的平行四边形,也就是我们早已熟悉的长方形,即矩形(rectangle),如图
平行四边形所具有的特征,矩形都具有,此外,矩形还具有另一些特有的性质,你能说出几条吗?
作为特殊的平行四边形,矩形也是中心对称图形。
我们很容易发现矩形还是轴对称图形,对称轴为通过对边中点的直线。
这样,我们可以列出矩形所具有的一些特征:
矩形的四个内角都是直角。
矩形的对角线相等且互相平分。
实际上,这些也是我们识别一个四边形是不是矩形的方法。
即
___________________________________________是矩形。
想一想:
如果四边形ABCD已经是一个平行四边形,那么再加上什么条件就可以变为矩形了呢?
例1如图12.2.3,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm,那么矩形的周长是多少?
解:
△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm,又
AC=BD=13cm,
所以AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)
=86-4×13=34(cm),
即矩形ABCD的周长等于34cm。
练习
如图,在矩形ABCD中,找出相等的线段与相等的角。
如图,矩形ABCD的两条对角线交于点O。
且∠AOD=360
,你能说明AC=2AB吗?
2.菱形
做一做
将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么样的图形呢?
这就是另一类特殊的平行四边形,即菱形(rhombus)。
如图12.2.4,菱形是四条边都相等的平行四边形,它的两条对角线互相垂直平分。
如图12.2.5,菱形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴为它的对角线所在的直线。
这样,菱形具有一下的特征:
菱形的对角线互相垂直平分。
实际上,这也就是我们识别一个四边形是不是菱形的方法。
即
______________________________________________________是菱形。
想一想:
如果四边形ABCD已经是一个平行四边形,那么再加上什么调教就可以变为菱形了呢?
例2如图12.2.6,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,试说明△ABC是等边三角
形。
解:
由于菱形是一类特殊的平行四边形,所以
AB=BC
∠B+∠BAD=180
。
又已知∠BAD=2∠B
可得∠B=60
所以△ABC是一个角为60
的等腰三角形,即为等边三角形。
菱形的应用很为广泛。
现在流行一种新式的衣帽架,可以根据需
要将它伸缩,形成各种形状的菱形,固定在墙上,既美观又实用。
练习
用你认为是最简洁的方法画一个菱形。
如图,在菱形ABCD中,AB=5,OA=4,OB=3,求这一菱形的周长与两条对角线的长度。
3.正方形
正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形,如图12.2.7,在正方形ABCD中,四条边都相等,四个角都是直角。
所以正方形可以看作为:
有一个角是直角的菱形;
有一组邻边相等的矩形;
正方形是中心对称图形,也是轴对称图形。
例3如图12.2.8,在正方形ABCD中,求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
解:
由于正方形是一个角为直角的菱形,对角线平分一组对角,对角线互相垂直平分,所以
∠ABD=∠DAC=90
×
=45
,
∠DOC=90
正方形还有许多有趣的性质。
例如,如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域,那么应当把这区域的形状选成正方形。
讨论
老师给孩子们一个任务:
从一张彩色纸中剪出一个正方形。
小明剪出了一个正方形后,这样检验它:
他比较了边的长度,发现4条边是相等的,小明就判定他完成了这个任务。
这种检验可信赖吗?
小兵用另一种方法检验:
他量的不是边,而是对角线,发现对角线是相等的。
小兵就认为他正确地剪出了正方形。
这对吗?
小英剪了正方形后,比较了由对角线互相分成的四条线段,发现它们都是相等的。
按照小英的意见,这说明了剪出的四边形是正方形。
你们的意见怎样?
你们认为应该如何检验,才能又快又准确呢?
练习
1.用纸剪出一个正方形,与你的同伴比一比,看谁又快又正确?
2.在下列图中,有多少个正方形?
有多少个矩形?
习题12.2
1.木工师傅用两条相等的长木条及两条相等的短木条制作了一个门框,你能用什么方法判断这个门框的形状恰好是一个矩形?
2.在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O。
(1)如果∠ABO+∠ADO=90
,那么▱ABCD是__________形;
(2)如果∠AOB+∠AOD,那么▱ABCD是__________形;
(3)如果AB=BC,AC=BD,那么▱ABCD是__________形;
3.利用矩形的对角线相等且互相平分这一特征,说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.用什么方法可以较快地画出一个矩形、菱形、或正方形(不要求尺寸)?
阅读材料黄金矩形
看一看雅典帕德嫩神庙的造型,甚至现在这还是世界最美丽的建筑之一,这神庙建筑于古希腊数字繁荣的年代,并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。
如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形,那么发现,它的长大约是宽的1.6倍,这种矩形称为黄金矩形。
你看到过具有黄金矩形形状的物体吗?
按照下图给出的指示,用圆规与三角板画一个黄金矩形。
12.3梯形
梯形
我们知道,只有一组对边平行的四边形叫做梯形(trapezoid)。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
(如图
如图12.3.2,梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合,这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法。
做一做
如图,在半透明的方格纸上,画一个等腰梯形ABCD,过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线,将等腰梯形ABCD沿直线EF对折。
你发现了什么?
我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形,因而有以下特征(如图
等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
例1如图12.3.4,延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD,相交于点E。
试说明△
EBC和△EAD都是等腰三角形。
解:
由于等腰梯形同一底边上的两个内角相
等,即
∠B=∠C
所以EB=EC
因此△EBC是等腰三角形。
又因为AB=DC
所以EA=ED
因此△EAD也是等腰三角形。
例2如图12.3.5,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,CE∥DA。
已知AB=8,DC=5,DA=6,求△CEB的周长。
解:
因为AB∥DC,CE∥DA,四边形AECD是平行四边
形,
所以CE=DA=CB=6
AE=DC=5
EB=AB-AE=8-5=3
于是△CEB的周长为
CE+E+BC=6+3+6=15
练习
梯形ABCD中,如果DC∥AB,AD∥BC,∠A=60
DB┴AD,那么∠DBC=______,∠C=________。
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,E是DC延长线上的一点,BE=BC,试说明∠A和∠E的关系。
习题12.3
如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DE∥CB,△AED的周长为18,EB=4,求梯形的周长。
如图,在梯形ABCD中,BC∥AD,DE∥AB,DE=DC,∠A=100
,试求其他三个内角的度数。
请问此时ABCD为等腰梯形吗?
阅读材料四边形的变身术
我们指导,一个平行四边形总可以剪开儿拼成一个矩形。
一个梯形可以剪开拼成一个矩形,一个矩形可以剪开拼成一个三角形。
那么任意一个四边形呢?
它也可以剪开而拼成各种各样的图形,下面给出了一些剪拼的示意图,观察一下,你也试试看。
想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么运动变换?
小结
一、知识结构
二、概括
本章通过操作探索几类特殊四边形的特征,学会简单的识别方法。
平行四边形是中心对称图形,这是它的本质特征。
矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形,不仅具有平行四边形的特
征,而且它们都是轴对称图形,分别具有一些独特的性质。
梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形而加以探索。
复习题
复习题
A组
1.观察下列挂件的图形,将它们分割成一个个你所熟悉的图形,分别指出它们的名称。
2.如图,在▱ABCD中,过点P画线段EF、GH分别平行AB、BC,试找出图中所有的平行四边形。
3.如图,在▱ABCD中,∠BAC=68
,∠ACB=36
,求∠D和∠BCD的度数。
4.如图,矩形ABCD的周长为24,M为BC的中点,∠AMD=90
,求矩形相邻两边的长。
B组
5.试说明夹在两条平行线之间的平行线段相等。
6.平行四边形的一个内角比它的邻角大42
,求四个内角的度数。
7.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD。
∠A=120
,求其他内角的度数。
8.如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点,看一看,数一数,在整个图形中,有多少个三角形?
多少个平行四边形?
多少个菱形?
多少个等腰梯形?
(本题只要求观察,说出你数得的个数)
C组
9.在空格中填上适当的条件:
(1)__________________________________的平行四边形是矩形;
(2)__________________________________的平行四边形是菱形;
(3)__________________________________的平行四边形是正方形。
10.梯形ABCD中,AD∥BC,且∠A=2,∠B=4∠C,求∠D的度数。
11.如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H,你能说明四边形EHFG是平行四边形吗?
想一想,什么时候EHFG会成为一个菱形?
12.请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分。
(1)观察一下所分成的两部分图形之间的位置关系;
(2)如果你用的是直线,那么这样的直线有多少条?
它们之间又有什么联系呢?
若将矩形分成面积相等的四部分,你又能发现什么?
△A′B′C′∠C∥AB△ABC→试一试″注意△ABC例做一做60
90
12045
180
360
△A″B″C″30
▱ABCD┴
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
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