函数与基本初等函数复习资料.docx
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函数与基本初等函数复习资料
第1讲 函数及其表示
【高考会这样考】
1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.
2.考查分段函数的简单应用.
3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.
【复习指导】
正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:
(1)求函数的定义域的方法;
(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用.
基础梳理
1.函数的基本概念
(1)函数的定义:
设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:
y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.
(3)函数的三要素:
定义域、值域和对应关系.
(4)相等函数:
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.
2.函数的三种表示方法
表示函数的常用方法有:
解析法、列表法、图象法.
3.映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射.
一个方法
求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:
①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b即可求出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域.
两个防范
(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
(2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.
三个要素
函数的三要素是:
定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f:
A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( ).
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
解析 ∵3x+1>1,
∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0.
答案 A
2.(2011·江西)若f(x)=,则f(x)的定义域为( ).
A.B.
C.D.(0,+∞)
解析 由log(2x+1)>0,即0<2x+1<1,
解得-<x<0.
答案 A
3.下列各对函数中,表示同一函数的是( ).
A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgx
B.f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)
C.f(u)=,g(v)=
D.f(x)=()2,g(x)=
答案 C
4.(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ).
A.y=B.y=
C.y=D.y=
解析 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,即余数分别为7、8、9时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为y=.故选B.
答案 B
5.函数y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只与x的一个值对应的y值的范围是________.
解析 任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)图象没有交点;当a在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点.
任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,则b在函数y=f(x)的值域内;当直线y=b与函数y=f(x)的图象没有交点,则b不在函数y=f(x)的值域内.
答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
考向一 求函数的定义域
【例1】►求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=.
[审题视点]理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.
解
(1)要使函数f(x)有意义,必须且只须
解不等式组得x≥3,因此函数f(x)的定义域为[3,+∞).
(2)要使函数有意义,必须且只须
即解得:
-1 因此f(x)的定义域为(-1,1). 求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零; (2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1. 【训练1】(2012·天津耀华中学月考) (1)已知f(x)的定义域为,求函数y=f的定义域; (2)已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],求f(x)的定义域. 解 (1)令x2-x-=t, 知f(t)的定义域为, ∴-≤x2-x-≤, 整理得⇒ ∴所求函数的定义域为∪. (2)用换元思想,令3-2x=t, f(t)的定义域即为f(x)的定义域, ∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5, 故f(x)的定义域为[-1,5]. 考向二 求函数的解析式 【例2】► (1)已知f=lgx,求f(x); (2)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式. [审题视点] (1)用代换法求解; (2)构造方程组求解. 解 (1)令t=+1,则x=, ∴f(t)=lg,即f(x)=lg. (2)x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x代x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去f(-x)得 f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),x∈(-1,1). 求函数解析式的方法主要有: (1)代入法; (2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等. 【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的表达式. (2)已知f(x)+2f()=2x+1,求f(x). 解 (1)由题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),则 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1 ∴解得a=,b=. 因此f(x)=x2+x. (2)由已知得消去f, 得f(x)=. 考向三 分段函数 【例3】►(2011·辽宁)设函数f(x)= 则满足f(x)≤2的x的取值范围是( ). A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞) [审题视点]对于分段函数应分段求解,最后再求其并集. 解析 f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1,故选D. 答案 D 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题,如本例中,需分x≤1和x>1时分别解得x的范围,再求其并集. 【训练3】(2011·江苏)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________. 解析 分类讨论: (1)当a>0时,1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 由f(1-a)=f(1+a),得2-a=-1-3a, 解得a=-, 不符合题意,舍去. (2)当a<0时,1-a>1,1+a<1, 这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 由f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a, 解得a=-. 综合 (1), (2)知a的值为-. 答案 - 阅卷报告1——忽视函数的定义域 【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,考生容易忽视定义域,导致错误. 【防范措施】研究函数的任何问题时,把求函数的定义域放在首位,即遵循“定义域优先”的原则. 【示例】►求函数y=log(x2-3x)的单调区间. 错因 忽视函数的定义域,把函数y=logt的定义域误认为R导致出错. 实录 设t=x2-3x. ∵函数t的对称轴为直线x=, 故t在上单调递减,在上单调递增. ∴函数y=log(x2-3x)的单调递增区间 是,单调递减区间是. 正解 设t=x2-3x,由t>0,得x<0或x>3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞). 函数t的对称轴为直线x=, 故t在(-∞,0)上单调递减,在上单调递增. 而函数y=logt为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数y=log(x2-3x)的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞). 【试一试】求函数f(x)=log2(x2-2x-3)的单调区间. [尝试解答] 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3, 即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). 令t=x2-2x-3,则其对称轴为x=1,故t在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数. 又y=log2t为单调增函数. 故函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞,-1). 第2讲 函数的单调性与最值 【高考会这样考】 1.考查求函数单调性和最值的基本方法. 2.利用函数的单调性求单调区间. 3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. 【复习指导】 本讲复习首先回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念,复习中重点掌握: (1)函数单调性的判断及其应用; (2)求函数最值的各种基本方法;对常见题型的解法要熟练掌握. 基础梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 . ①对于任意x∈I,都有f(x)≤M; ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x0∈I,使得f(x0)=M ②存在x0∈I,使得f(x0)=M. 结论 M为最大值 M为最小值 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数y=分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 两种形式 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 ①>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法: 取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法: 同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法: 利用导数研究函数的单调性. (4)图象法: 利用图象研究函数的单调性. 双基自测 1.设f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为 ( ). A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2) 答案 C 2.(2011·湖南)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( ). A.[2-,2+]B.(2-,2+) C.[1,3]D.(1,3) 解析 函数f(x)的值域是(-1,+∞),要使得f(a)=g(b),必须使得-x2+4x-3>-1.即x2-4x+2<0,解得2-<x<2+. 答案 B 3.(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数,则满足f (1)的实数x的取值范围是( ). A.(-1,1)B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由已知条件: >1,不等式等价于解得-1 答案 C 4.(2011·江苏)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 解析 要使y=log5(2x+1)有意义,则2x+1>0,即x>-,而y=log5u为(0,+∞)上的增函数,当x>-时,u=2x+1也为增函数,故原函数的单调增区间是. 答案 5.若x>0,则x+的最小值为________. 解析 ∵x>0,则x+≥2=2 当且仅当x=,即x=时,等号成立,因此x+的最小值为2. 答案 2 考向一 函数的单调性的判断 【例1】►试讨论函数f(x)=的单调性. [审题视点]可采用定义法或导数法判断. 解 法一 f(x)的定义域为R,在定义域内任取x1<x2, 都有f(x1)-f(x2)=-=, 其中x1-x2<0,x+1>0,x+1>0. ①当x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,∴|x1x2|<1, 则x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)为增函数. ②当x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时, 1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 法二 ∵f′(x)=′= ==, ∴由f′(x)>0解得-1<x<1.由f′(x)<0解得x<-1或x>1,∴f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 判断(或证明)函数单调性的主要方法有: (1)函数单调性的定义; (2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则;(4)利用函数的导数等. 【训练1】讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
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