最新高一数学知识点总结知识讲解精华版.docx
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最新高一数学知识点总结知识讲解精华版
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高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.
集合的含义
2.
集合的中元素的三个特性:
(1)
(2)
元素的确定性如:
世界上最高的山
元素的互异性如:
由
{H,A,P,Y}
HAPPY
的字母组成的集合
(3)
元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{
}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,
大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
我校的篮球队
非负整数集(即自然数集)
记作:
N
正整数集
集R1)
2)
N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数
列举法:
{a,b,c
}
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述
出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x
x-3>2},{x|x-3>2}
R|
3)
语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角
形}
4)
4、集合的分类:
Venn图:
(1)
(2)
(3)
有限集
无限集空集
含有有限个元素的集合
含有无限个元素的集合不含任何元素的集合
例:
{x|x2=-5}
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二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A
B有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A
与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
A
B或B
A
2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}
合相等”
B={-1,1}
“元素相同则两集
即:
①
任何一个集合是它本身的子集。
A
A
②真子集:
如果A
B,且AB那就说集合A是集合B的真子
集,记作A
B(或B
A)
③如果
AB,B
C,那么A
C
④如果A
B
同时B
A那么A=B
Φ
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为
规定:
空集是任何集合的子集,
子集。
空集是任何非空集合的真
2n
个子集,2n-1
有n个元素的集合,含有
个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a
、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a
、b属于Q)
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(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a
、b属于Q)
指数函数对称规律:
1、函数
y=a^x
与y=a^-x
关于y轴对称
2、函数
y=a^x
与y=-a^x
关于x轴对称
3、函数
y=a^x
与y=-a^-x
关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^x
如果a
0,且a
1,M
0,N
0,那么:
○1
loga(M
·N)
M+logaN;
log
a
M
N
○2
M-logaN;
log
log
a
a
n
○3
logaM
nlog
(nR).
M
a
注意:
换底公式
log
log
b
a
c
(a
0,且a
1;c0,且c
1;b
0).
log
b
a
c
幂函数
y=x^a(a
属于R)
(aR)的函数称为幂
1、幂函数定义:
一般地,形如
y
x
函数,其中
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点
(1,1);
(2)
0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,
)
上是增函数.特别地,当
1时,幂函数的图象下凸;当
0
(3)
1时,幂函数的图象上凸;
0时,幂函数的图象在区间
)上是减函数.在
(0,
第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在
y轴右方无限
x轴上方无限
地逼近y轴正半轴,当x趋于
地逼近x轴正半轴.
时,图象在
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数
D),把使
y
f(x)(x
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f(x)0成立的实数x叫做函数y
f(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义:
函数yf(x)的零点就是方程
f(x)0
实数根,亦即函数
f(x)的图象与
x轴交点的横坐标。
f(x)的图象与x轴有
y
即:
方程f(x)
0有实数根
函数y
交点
函数yf(x)有零点.
3、函数零点的求法:
○1(代数法)求方程
f(x)0的实数根;
○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函
数y
f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
yax2bx
0).
c0有两不等实根,二次函
二次函数
c(a
bx
ax2
(1)△>0,方程
数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2
c0有两相等实根,二次函
bx
数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二
阶零点.
(3)△<0,方程ax2
c0无实根,二次函数的图象与
x轴无交点,二次
bx
函数无零点.
三、平面向量
向量:
既有大小,又有方向的量.
数量:
只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:
起点、方向、长度.
零向量:
长度为0的向量.
单位向量:
长度等于1个单位的向量.
相等向量:
长度相等且
方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
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AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点
O出发的两个向量
OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边
形OACB,则以O为起点的对角线
OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则
叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量
a,有:
0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做
a的相反向量,-
(-a)=a,零向量的相
反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0
(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,
当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相
反,当λ=0时,λa=0。
设λ、μ是实数,那么:
(1)(λμ)a=λ(μa)
(2)(λμ)a=
λaμa(3)λ(a±b)
=
λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=
λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
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向量的数量积
已知两个非零向量
a、b,那么|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积或内积,记作a?
b,
θ是a与b的夹角,|a|cos
θ(|b|cos
θ)叫做向量a在b方向上(b
在a方向
上)的投影。
零向量与任意向量的数量积为
0。
a?
b的几何意义:
数量积a?
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cos
θ
的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y
cosx
y
tanx
数y
sinx
性
质
图
象
定
xx
k
k
R
R
2
义
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域
值
1,1
1,1
R
域
当
x
2k
k
当x
时,
2k
k
2
最
时
,
;
当
1;当
x
2k
既无最大值也无最小
ymax
1
ymax
x
2k
k
时,
1.
值
ymin
值
2
k
时,
1.
ymin
2
2
周
期
性
奇
奇函数
偶函数
奇函数
偶
性
在
2k
2k
在
2
2
2k
2k
k
单
在
k
k
k
上是增函数;在
上
是
增
函
数
;
在
2
2
调
2k
2k
3
2
2k
2k
k
上是增函数.
性
2
k
上是减函数.
k
上是减函数.
对
称
中
心
对
称
中
心
对
称
中
心
对
k
0
k
k
2
k
0
k
0
k
称
2
对
称
轴
性
对称轴
x
k
k
无对称轴
x
k
k
2
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必修四
角
的顶点与原点重合,角的始边与
x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,
则称
为第几象限角.
o
o
o
第一象限角的集合为
k360
k360
90,k
o
o
o
o
第二象限角的集合为
k360
90
k
360
180,k
o
k360
o
180
o
360
o
第三象限角的集合为
k
270,k
o
k360
o
270
o
360
o
第四象限角的集合为
k
360,k
o
终边在x轴上的角的集合为
k
180,k
o
o
终边在y轴上的角的集合为
k
18090,k
o
终边在坐标轴上的角的集合为
k90,k
o
k360
3、与角
终边相同的角的集合为
k
*
n
所在象限的方法:
先把各象限均分
n等
4、已知
是第几象限角,确定
n
份,再从
x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
原来
是第几象限对应的标号即为
终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1弧度.
口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
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tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,πα的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π
-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
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公式五:
利用公式一和公式三可以得到
2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
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tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
其他三角函数知识:
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα?
cotα=1
sinα?
cscα=1
cosα?
secα=1
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
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平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(
α)=sec^2(α)
1+cot^2(
α)=csc^2(α)
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
1-tanα?
tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
1+tanα?
tanβ
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倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(
α)=2cos^2(
α)-1=1-2sin^2(
α)
2tanα
tan2α=—————
1-tan^2(
α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
1-cosα
sin^2(α/2)=—————
2
1+cosα
cos^2(α/2)=—————
2
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1-cosα
tan^2(α/2)=—————
1+cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan^2(
α/2)
1-tan^2(
α/2)
cosα=——————
1+tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan^2(
α/2)
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和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α+βα-β
sinα+sinβ=2sin—----?
cos—---
22
α+βα-β
sinα-sinβ=2cos—----?
sin—----
22
α+βα-β
cosα+cosβ=2cos—-----
?
cos—-----
22
α+βα-β
cosα-cosβ=-2sin—-----
?
sin—-----
22
积化和差公式
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⒏三角函数的积化和差公式
sinα?
cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα?
sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα?
cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα?
sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
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