中考数学几何压轴题.docx
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中考数学几何压轴题
2015中考真题汇编—几何综合问题
例1:
28.(2015.北京)在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上(与点C、D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于H,连接AH,PH。
(1)若点P在线段CD上,如图1。
①依题意补全图1;
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;
若点P在线段CD的延长线上,∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路。
(可以不写出计算结果.........)
例2:
25(2015.上海)已知:
如图,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,动点P、Q分别在线段OC、CD上,且DQ=OP,AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合),AB=20,cos∠AOC=4/5.设OP=x,△CPF的面积为y.
(1)求证:
AP=OQ;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当△OPE是直角三角形时,求线段OP的长.
例3:
24(2015.天津)将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中,点A(
,0),点B(0,1),点O(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN⊥AB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A的对应点A′.设OM=m,折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.
(Ⅰ)如图①,当点A′与顶点B重合时,求点M的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点A′落在第二象限时,A′M与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;
(Ⅲ)当S=
时,求点M的坐标(直接写出结果即可).
例4:
25(2015.重庆)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的线段,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF。
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2
,求AB,BD的长。
(2)如图1,求证:
HF=EF。
(3)如图2,连接CF,CE,猜想:
△CEF是否是等边三角形?
若是,请证明;若不是,请说明理由。
例5:
26(2015,南京)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.
(1)求证:
∠A=∠AEB.
(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD.求证:
△ABE是等边三角形.
例6:
25(2015.南京)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:
只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
例7:
24.(2015.广州)如图10,四边形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.
(1)试探究筝形对角线之间的位置关系,并证明你的结论;
(2)在筝形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC>AB,BD,AC为对角线,BD=8.
①是否存在一个圆使得A,B,C,D四个点都在这个圆上?
若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由;
②过点B作BF⊥CD,垂足为F,BF交AC于点E,连接DE.当四边形ABED为菱形时,求点F到AB的距离.
例8:
22(2015年浙江杭州12分)如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E
(1)若AD/DB=1/3=,AE=2,求EC的长
(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P,问:
线段CP可能是△CFG的高线还是中线?
或两者都有可能?
请说明理由
例9:
22(2015.长沙)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l,直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F。
(1)求证:
△AOE≌△COF;
当α=30°时,求线段EF的长度。
例10:
27(2015.成都)已知,ACEC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°。
(1)如图①,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF。
1)求证:
△CAED△CBF;
2)若BE=1,AE=2,求CE的长。
(2)如图②,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且AB/BC=EF/FC时,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值;
(3)如图③,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且∠DAB=∠GEF=45°时,设,,BE=m,AE=n,CE=p,试探究,,m、n、p三者之间满足的等量关系。
(直接写出结果,不必写出解答过程)
例11:
24(2015.长沙).如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(
0)与点B(0,-
,点D在劣弧
OA上,连接BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO。
(1)求⊙M的半径;
(2)求证:
BD平分∠ABO;
(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标。
例12:
25(2015.福州)如图.在锐角中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM//EF交AC于点M
(1)求证:
DM=DA
(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C.如图②,求证:
△DEG∽△ECF
(3)在图②中.取CE上一点H,使∠CFH=∠B.若BG=1求EH的长.
例13:
23(2015.沈阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B的坐标为(60,0),OA=AB,∠OAB=90°,OC=50.点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O、B重合),过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R,设点P横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=40时,直线l恰好经过点C.
(1)求点A和点C的坐标;
(2)当0<t<30时,求m关于t的函数关系式;
(3)当m=35时,请直接写出t的值;
(4)直线l上有一点M,当∠PMB+∠POC=90°,且△PMB的周长为60时,请直接写出满足条件的点M的坐标.
例14:
24(2015.沈阳)如图,在?
ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E是边AB上的一点,点F是边CD上一点,将?
ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为点H,点D的对应点为点G.
(1)当点H与点C重合时.
①填空:
点E到CD的距离是;②求证:
△BCE≌△GCF;③求△CEF的面积;
(1)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请直接写出△MEF的面积.
例15:
26.(2015.哈尔滨)AB,CD是⊙O的两条弦,直线AB,CD互相垂直,垂足为点E,连接AD,过点B作BF⊥AD,垂足为点F,直线BF交直线CD于点G.
(1)如图1,档点E在⊙O外时,连接BC,求证BE平分∠GBC;
(2)如图2,当点E在⊙O内时,连接AC,AG,求证:
AC=AG;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接BO并延长交AD于点H,若BH平分∠ABF,AG=4,tan∠D=
,求线段AH的长.
例16:
24.(2015.南昌)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索
(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2
时,a=,b=;
如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=,b=;
归纳证明
(2)请你观察
(1)中的计算结果,猜想a2b2c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证
明你发现的关系式;
拓展应用
(3)如图4,在□ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2
AB=3.
求AF的长.
例19:
23.(2015.陕西)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点B作⊙O的切线DE,与AC的延长线交于点D,作AE⊥AC交DE于点E.
(1)求证:
∠BAD=∠E;
(2)若⊙O的半径为5,AC=8,求BE的长.
例17:
24.(2015年广东9分)⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D,连接AG,CP,PB.
(1)如题图1;若D是线段OP的中点,求∠BAC的度数;
(2)如题图2,在DG上取一点k,使DK=DP,连接CK,求证:
四边形AGKC是平行四边形;
(3)如题图3,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证:
PH⊥AB.
例18:
26(2015.河北)平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15-1摆放,分别延长DA和QP交于点O,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1,让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α(0≤α≤60).
发现:
(1)当α=0°,即初始位置时,点P直线AB上.(填“在”或“不在”),求当α是多少时,OQ经过点B?
(2)在OQ旋转过程中,简要说明α是多少时,点P,A间的距离最小?
并指出这个最小值;
(3)如图15-2,当点P恰好落在BC边上时,求α及S阴影.
拓展:
如图15-3,当线段OQ与CB边交于点M,与BA边交于点N时,设BM=x(x>0),用含x的代数式表示BN的长,并求x的取值范围.
探究:
当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sinα的值.
例20:
25.(2015.陕西)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.
(1)如图1,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为;
(2)如图2,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;
(3)如图3,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?
若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.
例21:
23.(2015.安徽)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过
点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:
AD=BC;
(2)求证:
△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求AD/EF的值.
例22:
22(2015.河南)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°时,AE/BD=_____________;
②当α=180°时,AE/BD=__________
(2)拓展探究
试判断:
当0°≤α<360°时,AE/BD的大小有无变化?
请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
例23:
23.(2015?
山西)综合与实践:
制作无盖盒子
任务一:
如图1,有一块矩形纸板,长是宽的2倍,要将其四角各剪去一个正方形,折成高为4cm,容积为616cm3
的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计).
(1)请在图1的矩形纸板中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.
(2)请求出这块矩形纸板的长和宽.
任务二:
图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱),图3是其底面,在五边形ABCDE中,BC=12cm,AB=DC=6cm,∠ABC=∠BCD=120°,∠EAB=∠EDC=90°.
(1)试判断图3中AE与DE的数量关系,并加以证明.
(2)图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图,将矩形纸板剪切折合而成,那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm?
请直接写出结果(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计).
例24:
21(2015.黄冈)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点M,交BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证:
∠BCP=∠BAN;
(2)求证:
AM/MN=CB/BP
例25:
25.(2015?
吉林)两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).
(1)当点C落在边EF上时,x=cm;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.
例26:
27.(2015?
南通)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).把△PCQ绕点P旋转,得到△PDE,点D落在线段PQ上.
(1)求证:
PQ∥AB;
(2)若点D在∠BAC的平分线上,求CP的长;
(3)若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T,且12≤T≤16,求x的取值范围.
例27:
23.(2015?
潍坊)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:
DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
例28:
24(2015?
温州)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ:
AB=3:
4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=
CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.
(1)用关于x的代数式表示BQ,DF.
(2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.
(3)在点P的整个运动过程中,
①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形?
②作直线BG交⊙O于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案)
例29:
24(2015?
呼和浩特)如图,⊙O是△ABC的外接圆,P是⊙O外的一点,AM是⊙O的直径,∠PAC=∠ABC
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)
(2)连接PB与AC交于点D,与⊙O交于点E,F为BD上的一点,若M为弧BC的中点,且∠DCF=∠P,求证:
BD/D=FD/ED=CD/AD.
例30:
23(2015.海南)如图9-1,菱形ABCD中,点P是CD的中点,∠BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点.
(1)求证:
△ADP≌△ECP;
(2)若BP=n·PK,试求出n的值;
(3)作BM⊥AE于点M,作KN⊥AE于点N,连结MO、NO,如图9-2所示.请证明
△MON是等腰三角形,并直接写出∠MON的度数.
例31:
25(2015.南宁)如图14,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且AC=CG,过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.
(1)求证:
CD是⊙O的切线.
(2)若OF/FD=2/3,求∠E的度数.
(3)连接AD,在
(2)的条件下,若CD=3,求AD的长
例32:
25(2015.贵阳)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3.
(1)求MP的值;(4分)
(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合.当AF等于多少时,△MEF的周长最小?
(4分)
(3)若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2.当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)(4分)
例33:
22(2015?
乌鲁木齐)如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证:
DC=DE;
(2)若tan∠CAB=1/2,AB=3,求BD的长.
例34:
27(2015.兰州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D。
以AB上一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D。
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°,
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD,BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和
)。
例35:
22(2015.昆明)如图,AH是⊙O的直径,AE平分∠FAH,交⊙O于点E,过点E的直线FG⊥AF,垂足为F,B为半径OH上一点,点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上。
(1)求证:
直线FG是⊙O的切线;
(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径.
例36:
25(2015?
包头)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动时间为t秒(t>0).
(1)求线段CD的长;
(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1:
2两部分?
(3)伴随P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l.
①t为何值时,l经过点C?
②求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长.
例37:
26(2015.青海)如图,在△ABC中,∠B=60°,⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于点M,CM交⊙O于点D.
(1)求证:
AM=AC;
(2)若AC=3,求MC的长.
例38:
25(2015.宁夏)如图,是一副学生用的三角板,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,∠B=30°;在△A1B1C1中,∠C1=90°,∠A1=45°,∠B1=45°,且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角为α,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a.
(1)计算A1C1的长;
(2)当α=30°时,证明:
B1C1∥AB;
(3)若a=
+
,当α=45°时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;
(4)当α=60°时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.
(参考数据:
sin15°=(
-
)/4-,cos15°=(
+
)/4+,tan15°=2-
sin75°=(
+
)/4
cos75°=(
-
)/4-,tan75°=2+
)
例39:
25.(2015.山东临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:
AF与BE的数量关系是,位置关系是;
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC,第
(1)问中的结论是否仍然成立请作出判断并给予证明;
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第
(1)问中的结论都能成立吗?
请直接写出你的判断.
例40:
28.(2015.湖南衡阳)如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.
(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).
(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?
并说明理由.
(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.
例41:
25.(2015.湖北襄阳)如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PB∶PC=1∶2.
(1)求证:
AC平分∠BAD;
(2)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AD=3,求△ABC的面积.
例42:
22.(2015.武汉)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K
①求EF/AK的值
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值
(2)若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长
23.(2015.武汉)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q.记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3
(1)求证:
EF+PQ=BC
(2)若S1+S3=S2,求PE/AE的值
(3)若S3-S1=S2,直接写出PE/AE的值
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