(完整版)数值分析复习题及答案.doc
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数值分析复习题
一、选择题
1.3.142和3.141分别作为的近似数具有()和()位有效数字.
A.4和3 B.3和2 C.3和4 D.4和4
2.已知求积公式,则=()
A. B. C. D.
3.通过点的拉格朗日插值基函数满足( )
A.=0, B.=0,
C.=1, D.=1,
4.设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。
A.超线性 B.平方 C.线性 D.三次
5.用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程( ).
A. B. C. D.
二、填空
1.设,取5位有效数字,则所得的近似值x= .
2.设一阶差商,
则二阶差商
3.设,则 , 。
4.求方程 的近似根,用迭代公式,取初始值,那么
5.解初始值问题近似解的梯形公式是
6、,则A的谱半径= 。
7、设 ,则 和 。
8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。
9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为 。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。
11.设,则 , .
12.一阶均差
13.已知时,科茨系数,那么
14.因为方程在区间上满足 ,所以在区间内有根。
15.取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式 .
16.设是真值的近似值,则有 位有效数字。
17.对,差商( )。
18.设,则 。
19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和 。
20.若a=2.42315是2.42247的近似值,则a有( )位有效数字.
21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数,则( ).
22. 设f(x)可微,则求方程的牛顿迭代格式是( ).
23. 迭代公式收敛的充要条件是 。
24.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异,b不为0)的迭代格式中的B称为( ).给定方程组,解此方程组的雅可比迭代格式为( )。
25、数值计算中主要研究的误差有 和 。
26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则 ; 。
27、设是区间上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数 ;且 。
28、辛普生求积公式具有 次代数精度,其余项表达式为 。
29、则。
30.设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值,则x*有 位有效数字。
31. , 。
32.求方程根的牛顿迭代格式是 。
33.已知,则 , 。
34.方程求根的二分法的局限性是 。
三、计算题
1.设
(1)试求在上的三次Hermite插值多项式使满足,以升幂形式给出。
(2)写出余项的表达式
2.已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数,使0,1…收敛?
3.推导常微分方程的初值问题的数值解公式:
(提示:
利用Simpson求积公式。
)
4. 利用矩阵的LU分解法解方程组
5.已知函数的一组数据:
求分段线性插值函数,并计算的近似值.
6.已知线性方程组
(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;
(2)于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字).
7.用牛顿法求方程在之间的近似根
(1)请指出为什么初值应取2?
(2)请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001.
8.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分.
9.用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894)。
10.用二分法求方程区间内的一个根,误差限。
11.用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
12.求系数
13.对方程组试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由
14.确定求积公式 的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.
15.设初值问题 .
(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;
(2)写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式,并求解,保留两位小数。
16.取节点,求函数在区间上的二次插值多项式,并估计误差。
17、已知函数的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式,并计算的近似值。
18、利用尤拉公式求解初值问题,其中步长,。
19.确定求积公式。
中待定参数的值,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度
20、已知一组试验数据如下:
求它的拟合曲线(直线)。
21、用列主元消去法解线性方程组
22.已知
(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式;
(2)求,使。
23确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度
24、用Gauss消去法求解下列方程组
25.试求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。
26.取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题
27.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.
28.用牛顿(切线)法求的近似值。
取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。
29、已知数据如下:
求形如拟合函数。
30、用二次拉格朗日插值多项式计算。
插值节点和相应的函数值如下表。
31、利用改进的尤拉方法求解初值问题,其中步长
。
32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性,如果收敛,比较哪种方法收敛快。
其中.
简述题:
叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么?
..
数值分析复习题答案
一、选择题1.A 2.D 3.D 4.C 5.B
二、填空1、2.31502、3、6和4、1.5
5、6、7、;8、收敛9、10、11. 9和;12. 13. 14.15. ;16、3 ;17、1 ;18、7 ;19、1;20.3;21.;22.;23.;24、.迭代矩阵, ;25.相对误差 绝对误差26. 1;27.至少是n ,b-a;28.3 ;29.10;30、4;31、1,0;32、;33、7,6;34、收敛速度慢,不能求偶重根。
三、计算题
1.解:
(1)
(2)
2.解:
由,可得,
3..解:
数值积分方法构造该数值解公式:
对方程在区间上积分,
得,记步长为h,对积分用Simpson求积公式得
所以得数值解公式:
4.解
5.解,
,
所以分段线性插值函数为
6.解:
原方程组同解变形为
雅可比迭代公式为
高斯-塞德尔迭代法公式
用雅可比迭代公式得
用高斯-塞德尔迭代公式得
7.解:
,,
,,,故取作初始值
迭代公式为
,
,,
,
方程的根
8.解 梯形公式
应用梯形公式得
辛卜生公式为
应用辛卜生公式得
9.解
10.用二分法求方程区间内的一个根,误差限。
解
11.解迭代公式
12.解:
13.解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得:
14.4.解
15.解
16.解:
=
1+2(
,
17、解:
差商表
由牛顿插值公式:
18、解:
19.解:
分别将,代入求积公式,可得。
令时求积公式成立,而时公式不成立,从而精度为3。
20、解:
设则可得
于是,即。
21、解:
即
22.解:
23解令代入公式精确成立,得
;
解得,得求积公式
对;故求积公式具有2次代数精确度。
24、解:
本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
故
25.解:
由等式对精确成立得:
解此方程组得
又当时 左边右边
此公式的代数精度为2
26.解:
梯形法为即
迭代得
27.解:
先选列主元,2行与1行交换得消元;
3行与2行交换;消元;
回代得解;行列式得
28.解:
是的正根,,牛顿迭代公式为, 即
取x0=1.7,列表如下:
29、已知数据如下:
求形如拟合函数。
解:
30、解:
过点的二次拉格朗日插值多项式为
代值并计算得 。
31、解:
32、解:
简述题:
解:
数值运算中常用的误差分析的方法有:
概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有:
1)要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2)要避免两近数相减;3)要防止大数吃掉小数:
4)注意简化计算步骤,减少运算次数。
一、选择题(共30分,每小题3分)
1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是()。
(A)方法收敛性;(B)方法的稳定性;
(C)方法的计算量;(D)方法的误差估计。
2、已
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