一元二次方程的解练习2.docx
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一元二次方程的解练习2
【一元二次方程的解】练习2
一.选择题(共19小题)
1.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,常数项为0,则m值等于( )
A.1B.2C.1或2D.0
2.已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式m2﹣m的值等于( )
A.﹣1B.0C.1D.2
3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2,则代数式6a﹣3b+6的值为( )
A.9B.3C.0D.﹣3
4.已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解,则m的值为( )
A.2B.0C.0或2D.0或﹣2
5.已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,且(2m2﹣6m+a)(3n2﹣9n﹣5)=10,则a的值为( )
A.7B.﹣7C.3D.﹣3
6.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3=0的一个根为x=2,则代数式4b﹣8a+3的值为( )
A.﹣3B.3C.6D.9
7.若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个解,则am2+bm﹣7=( )
A.﹣2B.1C.﹣12D.12
8.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
9.已知x=2是一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0的一个根,则m的值为( )
A.2B.0或2C.0或4D.0
10.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0,则m的值( )
A.0B.1或2C.1D.2
11.已知关于x的方程x2﹣3mx+5m﹣2=0的一个根为x=2,且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.8B.10C.8或10D.6或10
12.关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0,则m的值是( )
A.m=3或m=﹣1B.m=﹣3或m=1C.m=﹣1D.m=3
13.已知一元二次方程ax2+bx+c=0,当a﹣b+c=0时,那么x的值一定是( )
A.﹣1B.
C.1D.均不对
14.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根为0,则实数a的值为( )
A.1B.﹣1C.0D.﹣1或1
15.已知a,b,c满足a+c=b,4a+c=2b,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况为( )
A.x1=1,x2=2
B.x1=﹣1,x2=﹣2
C.方程的解与a,b的取值有关
D.方程的解与a,b,c的取值有关
16.我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于﹣1.若我们规定一个新数:
“i“,使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i),并且进一步规定:
一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1.从而对任意正整数n,我们可得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i=i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么,i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为( )
A.0B.1C.﹣1D.i
17.已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一个实数根,则m的值是( )
A.0B.1C.2D.﹣2
18.若x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根,则a+b的值为( )
A.3B.﹣3C.9D.﹣9
19.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.1或﹣1D.
二.填空题(共16小题)
20.关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与
有一个解相同,则a= .
21.已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解,且a≠﹣b,则
的值为 .
22.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,b,m均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
23.已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根,则m= ,方程的另一根为 .
24.若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为 .
25.已知m是方程x2﹣x﹣3=0的一个实数根,则代数式(m2﹣m)(m﹣
+1)的值为 .
26.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
27.已知关于x的二次方程a(x+h)2+k=0的解为
,则方程
的解为 .
28.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+(a2﹣1)=0的一个根是0,则a的值是 .
29.已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1,则m= .
30.已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x﹣6=0的一个根是2,则k= .
31.已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根,则a= .
32.如图是某种计算机的程序示意图,初始端输入x后经“运算中心式子”ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a>0,bc≠0)处理后得到一个结果.若这个结果大于0,则输出此结果;否则就将第一次得到的结果作为输入的x再次运行程序…直到输出结果为止.若该程序满足条件:
“存在实数t,当输入x的值等于t时,该程序的运算无法停止(即会一直循环运行)”,请写出一个符合条件的运算中心式子以及相应的能使它一直循环运行的x的值 , .
33.若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2= .
34.已知x=﹣2是关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根,则c的值是 .
35.将关于x的一元二次方程x2+bx+c=0变形为x2=﹣bx﹣c,就可得x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,我们称这样的方法为“降次法”.已知x2﹣x﹣1=0,可用“降次法”求得x4﹣3x+2016的值是 .
三.解答题(共5小题)
36.观察下列一元二次方程,并回答问题:
第1个方程:
x2+x=0;
第2个方程:
x2﹣1=0;
第3个方程:
x2﹣x﹣2=0;
第4个方程:
x2﹣2x﹣3=0;
…
(1)第2015个方程是 ;
(2)直接写出第n个方程,并求出第n个方程的解;
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
37.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根,求代数式(m+1)2+(m+1)(m﹣1)的值.
38.已知:
x2+3x+1=0.
求
(1)x+
;
(2)x2+
.
39.已知
是关于x的方程x2﹣x+a=0的一个根,求a﹣2﹣
的值.
40.已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10=0的一个根为﹣5,求它的另一个根及k的值.
【一元二次方程的解】练习2
参考答案与试题解析
一.选择题(共19小题)
1.(2016•阳泉模拟)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,常数项为0,则m值等于( )
A.1B.2C.1或2D.0
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组,求出m的值即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,常数项为0,
∴
,
解得:
m=2.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程的定义.一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
2.(2015•诏安县校级模拟)已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式m2﹣m的值等于( )
A.﹣1B.0C.1D.2
【分析】将x=m代入方程即可求出所求式子的值.
【解答】解:
将x=m代入方程得:
m2﹣m﹣1=0,
m2﹣m=1.
故选:
C.
【点评】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
3.(2016•重庆校级三模)若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2,则代数式6a﹣3b+6的值为( )
A.9B.3C.0D.﹣3
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2,可以求得2a﹣b的值,从而可以求得6a﹣3b+6的值.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2,
∴a×(﹣2)2+b×(﹣2)+6=0,
化简,得
2a﹣b+3=0,
∴2a﹣b=﹣3,
∴6a﹣3b=﹣9,
∴6a﹣3b+6=﹣9+6=﹣3,
故答案为:
D.
【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,灵活变化,建立所求式子与已知方程之间的关系.
4.(2014•百色)已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解,则m的值为( )
A.2B.0C.0或2D.0或﹣2
【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程,再解此方程即可.
【解答】解:
∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解,
∴4﹣4m+4=0,
∴m=2.
故选:
A.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
5.(2011春•东台市期中)已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,且(2m2﹣6m+a)(3n2﹣9n﹣5)=10,则a的值为( )
A.7B.﹣7C.3D.﹣3
【分析】由于m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0,n2﹣3n﹣1=0,然后把2m2﹣6m+a和3n2﹣9n﹣5变形利用前面的等式整体代入即可解决问题.
【解答】解:
∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根,
∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0,n2﹣3n﹣1=0,
∴m2﹣3m=1,n2﹣3n=1,
∴2m2﹣6m=2,3n2﹣9n=3,
而(2m2﹣6m+a)(3n2﹣9n﹣5)=10,
∴(2+a)(3﹣5)=10,
∴a=﹣7.
故选B.
【点评】此题主要考查了一元二次方程解的定义,此类题型的特点是,利用方程解的定义找到相等关系,再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式,再把此相等关系整体代入所求代数式,即可求出代数式的值.
6.(2016•重庆校级模拟)关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3=0的一个根为x=2,则代数式4b﹣8a+3的值为( )
A.﹣3B.3C.6D.9
【分析】把x=2代入已知方程得到:
4a﹣2b=﹣3,然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
【解答】解:
把x=2代入,得
4a﹣2b+3=0,
所以4a﹣2b=﹣3,
所以4b﹣8a+3=﹣2(4a﹣2b)+3=﹣2×(﹣3)+3=9.
故选:
D.
【点评】本题考查一元二次方程的解的意义,即使等号成立的自变量的值.
7.(2015•沙坪坝区校级一模)若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个解,则am2+bm﹣7=( )
A.﹣2B.1C.﹣12D.12
【分析】把x=m代入已知方程,可得:
am2+bm+5=0,则am2+bm=﹣5,将其整体代入所求的代数式进行解答即可.
【解答】解:
把x=m代入ax2+bx+5=0,得
am2+bm+5=0,则am2+bm=﹣5,
所以am2+bm﹣7=﹣5﹣7=﹣12.
故选:
C.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义.把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解题方法.
8.(2013•安顺)已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
【解答】解:
因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程,即32﹣3k﹣6=0成立,解得k=1.
故选:
A.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
9.(2016•重庆校级模拟)已知x=2是一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0的一个根,则m的值为( )
A.2B.0或2C.0或4D.0
【分析】把x=2代入一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0中即可得到关于m的方程,解此方程即可求出m的值.
【解答】解:
∵x=2是一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0的一个根,
∴4(m﹣2)+8﹣m2=0,即m2﹣4m=0,
解得:
m=0或m=4.
故选:
C.
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义.掌握能使方程成立的未知数的值,就是方程的解是解题的关键.
10.(2016•如东县一模)若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0,则m的值( )
A.0B.1或2C.1D.2
【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0,由方程的解的定义,把x=0代入已知方程,列出关于m的新方程,通过解新方程来求m的值.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0,
∴m2﹣3m+2=0,且m﹣1≠0,
∴(m﹣1)(m﹣2)=0,且m﹣1≠0,
解得,m=2,
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义.注意二次项系数不等于零.
11.(2016•碑林区校级四模)已知关于x的方程x2﹣3mx+5m﹣2=0的一个根为x=2,且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.8B.10C.8或10D.6或10
【分析】把x=2代入已知方程求得m的值;然后通过解方程求得该方程的两根,即等腰△ABC的两条边长,由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可.
【解答】解:
把x=2代入方程得4﹣6m+5m﹣2=0,
解得m=2,
则原方程为x2﹣6x+8=0,
解得x1=2,x2=4,
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,
①当△ABC的腰为4,底边为2,则△ABC的周长为4+4+2=10;
②当△ABC的腰为2,底边为4时,不能构成三角形.
综上所述,该三角形的周长的10.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.也考查了三角形三边的关系.
12.(2002•内江)关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0,则m的值是( )
A.m=3或m=﹣1B.m=﹣3或m=1C.m=﹣1D.m=3
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.把x=0代入方程式即可解.
【解答】解:
关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0,
把x=0代入得到m2﹣2m﹣3=0,解得m=3或﹣1,因为m+1≠0,则m≠﹣1,因而m=3.
故本题选D.
【点评】本题主要考查了方程的根的定义,就是能使方程左右两边相等的未知数的值,本题特别要注意一元二次方程的二次项系数不等于0.
13.(2013秋•兴化市期中)已知一元二次方程ax2+bx+c=0,当a﹣b+c=0时,那么x的值一定是( )
A.﹣1B.
C.1D.均不对
【分析】把x=﹣1代入ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0,即可判断各个选项.
【解答】解:
A、把x=﹣1代入ax2+bx+c=0得:
a﹣b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x=﹣1,但不一定x的值一定是﹣1.故本选项错误;
B、把x=﹣
代入ax2+bx+c=0得:
﹣
+c=0,
∵a≠0,
∴c2﹣bc+ac=c(a﹣b+c)=0,则c=0或a﹣b+c=0,故本选项错误;
C、把x=1代入ax2+bx+c=0得:
a+b+c=0,故本选项错误;
D、故本选项正确;
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解,主要考查学生的辨析能力和计算能力.
14.(2015•宜州市二模)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根为0,则实数a的值为( )
A.1B.﹣1C.0D.﹣1或1
【分析】已知一元二次方程的一个实数根,可将其代入该方程中,即可求出b的值.
【解答】解:
∵(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根为0,
∴|a|﹣1=0,且a﹣1≠0,
解得a=﹣1.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
15.(2015春•富阳市校级期中)已知a,b,c满足a+c=b,4a+c=2b,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况为( )
A.x1=1,x2=2
B.x1=﹣1,x2=﹣2
C.方程的解与a,b的取值有关
D.方程的解与a,b,c的取值有关
【分析】由于a+c=b,4a+c=2b,由此可以得到b=3a,c=2a,代入方程中即可消去a、b、c,接着就可以得到方程的根的情况.
【解答】解:
∵a+c=b①,4a+c=2b②,
∴②﹣①得:
3a=b,
∴c=2a,
分别代入原方程中得
x2+3x+2=0,
∴x1=﹣1,x2=﹣2.
故选B
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义,解题时根据已知条件确定a、b、c之间的关系,然后代入方程即可确定方程根的情况.
16.(2016•岱岳区一模)我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于﹣1.若我们规定一个新数:
“i“,使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i),并且进一步规定:
一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1.从而对任意正整数n,我们可得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i=i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么,i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为( )
A.0B.1C.﹣1D.i
【分析】i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,i5=i4•i=i,i6=i5•i=﹣1,从而可得4次一循环,一个循环内的和为0,计算即可.
【解答】解:
由题意得,i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,i5=i4•i=i,i6=i5•i=﹣1,
故可发现4次一循环,一个循环内的和为0,
∵
=503…1,
∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义,实数的运算,解答本题的关键是计算出前面几个数的值,发现规律,求出一个循环内的和再计算,有一定难度.
17.(2015•武威校级一模)已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一个实数根,则m的值是( )
A.0B.1C.2D.﹣2
【分析】把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0得出1﹣m+1=0,求出方程的解即可.
【解答】解:
把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0得:
1﹣m+1=0,
解得:
m=2,
故选C.
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元二次方程的解的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,解此题的关键是得出关于m的方程.
18.(2016•南岸区一模)若x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根,则a+b的值为( )
A.3B.﹣3C.9D.﹣9
【分析】将x=3代入方程,得出32﹣3b﹣3a=0,然后利用等式的性质变形即可得到答案.
【解答】解:
∵x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根,
∴32﹣3b﹣3a=0,
∴3a+3b=9,
∴a+b=3,
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了等式的性质.
19.(2013秋•荔湾区校级期中)若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.1或﹣1D.
【分析】把x=0代入方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0得出a2﹣1=0,求出a=±1,再根据一元二次方程的定义判断即可.
【解答】解:
把x=0代入方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0得:
a2﹣1=0,
解得:
a=±1,
∵方程为一元二次方程,
∴a+1≠0,
∴a≠﹣1,
∴a=1,
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用,关键是能根据题意得出方程a2﹣1=0和a+1≠0.
二.填空题(共16小题)
20.(2007•呼和浩特)关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与
有一个解相同,则a= ﹣5 .
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;先解方程x2﹣x﹣2=0,将它的根分别代入方程
,去掉不符合题意的根,求出a的值.
【解答】解:
解方程x2﹣x﹣2=0得:
x=2或﹣1;
把x=2或﹣1分别代入方程
,
当x=2时x﹣2=0,方程不成立;
当x=﹣1时,得到
,
解得a=﹣5.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义;本题注意分式方程中分母不为0.
21.(2015•泰兴市二模)已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解,且a≠﹣b,则
的值为 5 .
【分析】方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值.同时注意根据分式的基本性质化简分式.
【解答】解:
∵x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解,
∴a﹣b﹣10=0,
∴a﹣b=10.
∵a≠﹣b,
∴a+b≠0,
∴
=
=
=
=5,
故答案是:
5.
【点评】本题考查了一元二次方程的定义,得到a﹣b的值,首先把所求的分式进行化简,并且本题利用了整体代入思想.
22.(2016•常州模拟)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,b,m均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 x3=0,x4=﹣3 .
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体,相当于前面一个方程中的x求解.
【解答】解:
∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,m,b均为常数,a≠0),
∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0,即此方程中x+2=2或x+2=﹣1,
解得x=0或x=﹣3.
故答案为:
x3=0,x4=﹣3.
【点评】此题主要考查了方程解的定义.注意由两个方程的特点进行简便计算.
23.(2013•惠水县校级模拟)已知x
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- 一元 二次方程 练习
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