版七年级数学下册第四章三角形试题新版北师大版.docx
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版七年级数学下册第四章三角形试题新版北师大版
第四章 三 角 形
1.应用三角形的三边关系的方法技巧
(1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.
【例】若三角形的两边长分别为6cm,9cm,则其第三边的长可能为 ( )
A.2cmB.3cm
C.7cmD.16cm
【标准解答】选C.设第三边长为xcm.
由三角形三边关系定理得9-6 解得3 (2)已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和,与最长边去比较. 【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 ( ) A.3,8,4B.4,9,6 C.15,20,8D.9,15,8 【标准解答】选A.分析各选项: A.∵3+4<8∴不能构成三角形; B.∵4+6>9∴能构成三角形; C.∵8+15>20∴能构成三角形; D.∵8+9>15∴能构成三角形. (3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据. 【例】如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC 【标准解答】延长BP交AC于点D, 在△ABD中,PB+PD 在△PCD中, PC ①+②得 PB+PD+PC 即PB+PC 1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A.1,1,2B.3,4,5 C.1,4,6D.2,3,7 2.如果一个三角形的两边长分别为2和5,则第三边长可能是 ( ) A.2B.3C.5D.8 3.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是 ( ) A.1,3,5B.1,2,3 C.2,3,4D.3,4,5 4.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个. 5.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是. 2.求一个角的度数的方法 (1)当所求角是一个三角形的内角时,可先求出这个三角形另外两个内角的度数,再根据三角形内角和定理计算. 【例】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.则∠C等 于 ( ) A.40°B.65°C.75°D.115° 【标准解答】选B.∵∠A=40°,∠AOB=75°. ∴∠B=180°-∠A-∠AOB =180°-40°-75°=65°, ∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°. (2)当所求角是一个三角形的外角时,可利用三角形外角的性质结合三角形的内角和定理计算. 【例】将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为 ( ) A.75°B.95° C.105°D.120° 【标准解答】选C. ∵∠ACO=45°-30°=15°, ∴∠AOB=∠A+∠ACO =90°+15°=105°. (3)当条件中含有平行线时,可利用平行线的性质将其转化为其他易求的角. 【例】如图,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为 ( ) A.40°B.60°C.80°D.100° 【标准解答】选D.如图, 方法一: ∵l1∥l2, ∴∠1=∠ABC=60°, ∴∠2=∠A+∠ABC=60°+40°=100°; 方法二: ∵l1∥l2,∴∠2=∠3. ∵∠1=∠4=60°,∠A=40°. ∴∠2=∠3=∠A+∠4=60°+40°=100°. 1.一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为 ( ) A.75°B.60°C.65°D.55° 2.如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为 ( ) A.17°B.34°C.56°D.124° 3.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= ( ) A.118°B.119°C.120°D.121° 4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.则∠EFD= ( ) A.80°B.75°C.70°D.65° 5.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°, 则∠B=°. 6.如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由. 3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法 (1)在全等三角形中找对应边和对应角,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点字母的顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角. (2)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角.两条对应边所夹的角是对应角. (3)全等三角形中的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角. (4)最大边是对应边,最小边是对应边,最大角是对应角,最小角是对应角. 【例】如图,△ABC≌△DEF,点A与点D是对应顶点,则BC的对应边是,∠BAC的对应角是. 【标准解答】因为点A与点D是对应顶点,对应顶点所对的边是对应边,所以BC的对应边是EF;又因为以对应点为顶点的角是对应角,所以∠BAC的对应角是 ∠EDF. 答案: EF ∠EDF 如图所示,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△AED全等应表示为 ( ) A.△ABC≌△AED B.△ABC≌△EAD C.△ABC≌△ADE D.△ABC≌△DEA 4.全等三角形 (1)判定基本思路: 在证明两个三角形全等时,往往题目中已知某些边或角的条件,常根据以下思路来寻找三角形全等的条件. (2)常见的全等三角形的基本模型: ①平移变换型 ②轴对称变换型 ③旋转变化型 【例1】已知: 如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B. 求证: AE=CF. 【标准解答】∵AD∥CB,∴∠A=∠C, ∵AD=CB,∠D=∠B,∴△ADF≌△CBE, ∴AF=CE,∴AE=CF. 【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D. 求证: △BEC≌△CDA. 【标准解答】∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D, ∴∠BEC=∠CDA=90°, 在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°, 在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠CBE=∠ACD, 在△BEC和△CDA中, ∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD, ∵BC=AC, ∴△BEC≌△CDA. 1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的 是( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 2.如图,B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF=. 3.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证: PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段. 4.已知: 如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE. 求证: (1)∠AEC=∠BED. (2)AC=BD. 5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB. 求证: (1)∠ABC=∠EDC. (2)△ABC≌△EDC. 6.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证: AD=CE. 5.尺规作图 用尺规作图作出图形的三个步骤: (1)分析图形,明确作图顺序. (2)选择合适的基本作图. (3)验证所作图形是否符合要求. 【例1】如图所示,已知线段AB,∠α,∠β,分别过A,B作∠CAB=∠α,∠CBA= ∠β.(不写作法,保留作图痕迹) 【标准解答】如图所示: . 【例2】作图题(要求: 用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明) 已知: (如图)线段a和∠α, 求作: △ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α. 【标准解答】如图所示: 1.画△ABC,使其两边为已知线段a,b,夹角为β. (要求: 用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法) 2.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图2的四边形ABDC′. (1)四边形ABDC′具有什么特点? (2)请同学们在图3中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点(要求: 写出作法,但不要求证明). 跟踪训练答案解析 第四章 三 角 形 1.应用三角形的三边关系的方法技巧 【跟踪训练】 1.【解析】选B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形.因为1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5. 2.【解析】选C.设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得5-2 3.【解析】选C.设他所找的这根木棍长为x,由题意得: 3-2 ∵x为整数,∴x=2,3,4. 4.【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为8, ∴三边长可以为: 1,8,8; 2,7,8;2,8,8; 3,6,8;3,7,8;3,8,8; 4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8; 5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8; 6,6,8;6,7,8;6,8,8; 7,7,8;7,8,8; 8,8,8; 故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个. 答案: 20 5.【解析】由中线性质,可得AG=2GD,则 S△BGF=S△CGE= S△ABG= × S△ABD = × × S△ABC= ×12=2, ∴阴影部分的面积为4. 答案: 4 2.求一个角的度数的方法 【跟踪训练】 1.【解析】选A.如图, ∵∠1=60°,∠2=45°, ∴∠α=180°-45°-60°=75°. 2.【解析】选C.∵AB∥CD, ∴∠DCE=∠A=34°, ∵∠DEC=90°, ∴∠D=90°-∠DCE=90°-34°=56°. 3.【解析】选C.∵∠A=60°,∠ABC=42°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°. ∵∠B,∠C的平分线为BE,CD, ∴∠FBC= ∠ABC=21°, ∠FCB= ∠ACB=39°, ∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°. 4.【解析】选B.∵EF∥AC, ∴∠EFB=∠C=60°, ∵DF∥AB, ∴∠DFC=∠B=45°, ∴∠EFD=180°-60°-45°=75°. 5.【解析】∵∠ACD=∠A+∠B,∠A=80°,∠ACD=150°, ∴∠B=70°. 答案: 70 6.【解析】∵直线l1∥l2, ∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等, ∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高, ∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等. 即S1=S2=S3. 3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法 【跟踪训练】 【解析】选C.由于∠1=∠2,∠B=∠D,所以点C与点E,点B与点D是对应点,故应表示为△ABC≌△ADE,所以选C. 4.全等三角形 【跟踪训练】 1.【解析】选C.A、添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意; B、添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意; C、添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意; D、添加∠B=∠D=90°,根据HL,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意;故选C. 2.【解析】∵AB∥DE, ∴∠ABC=∠DEF, ∵BE=CF,∴BC=EF, ∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF, ∴DF=AC=6. 答案: 6 3.【解析】在△ABF和△ACE中, ∴△ABF≌△ACE(SAS), ∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等), ∴BF=CE(全等三角形的对应边相等), ∵AB=AC,AE=AF, ∴BE=CF, 在△BEP和△CFP中, ∴△BEP≌△CFP(AAS),∴PB=PC, ∵BF=CE,∴PE=PF, ∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF. 4.【证明】 (1)∵AB∥CD, ∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC, ∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC, ∴∠AEC=∠BED. (2)∵E是AB的中点,∴AE=BE, 在△AEC和△BED中, ∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD. 5.【证明】 (1)在四边形ABCD中, ∵∠A=∠BCD=90°, ∴∠B+∠ADC=180°. 又∵∠ADC+∠EDC=180°, ∴∠ABC=∠EDC. (2)连接AC. ∵在△ABC和△EDC中 ∴△ABC≌△EDC. 6.【证明】∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠EAC, 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE. 5.尺规作图 【跟踪训练】 1.【解析】已知: 线段a,b和∠β. 求作: △ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β(也可以使任意两边分别等于a和b,夹角为β). 2.【解析】 (1)四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等). (2)作法: ①延长NP; ②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G; ③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q; ④连接MQ,PQ; ⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形.
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