第20章平稳时间序列.docx

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第20章平稳时间序列

©陈强,《高级计量经济学及Stata应用》课件，第二版，2014年，高等教育出版社。

第20章平稳时间序列

根据时间序列的随机过程特性，可分为“平稳序列”（stationary）与“非平稳序列”（non-stationary）两大类，需使用不同的计量方法。

20.1时间序列的数字特征

记随机变量y的观测值为{y1,

y2,,

yT}，并假设为（严格）平稳过程。

故该序列的期望、方差等数字特征不随时间而变。

∑

T

期望μ≡E（y）反映序列的平均水平，用y≡1

T

t=1yt

来估计。

方差Var（y）反映序列的波动幅度，用1∑T

（y-

y）2来估计。

T-1

t=1t

定义时间序列{yt}的k阶自协方差（autocovarianceoforderk）

γk≡Cov（yt,

yt+k）=E[（yt

-μ）（yt+k

-μ）]

它反映同一变量（y）相隔k期之间的自相关程度。

对γk的估计值为“样本自协方差”：

γˆ≡

1∑T-k（y

-

y）（y

-

y）

kT-k

t=1

tt+k

定义时间序列{yt}的k阶自相关系数（autocorrelationoforderk）

ρ≡Corr（y,y

）≡Cov（yt,

yt+k）

ktt+k

Var（yt）

对于平稳过程，ρk不依赖于时间，仅是滞后阶数k的函数，故称为“自相关函数”（AutocorrelationFunction，简记ACF）。

将（k,

ρk）画成图，即为“自相关图”（correlogram）。

由于ρk

=ρ-k，

故一般只画自相关图的正半边。

对ρk的估计值为“样本自相关系数”：

ρˆk

≡γˆk

γˆ0

yt与yt+k之间的相关性可能由二者之间的变量{yt+1,,

yt+k-1}引起。

定义时间序列{yt}的k阶偏自相关系数（partialautocorrelationoforderk）为

ρ*≡Corr（y,y|y,,y）

ktt+kt+1t+k-1

即给定{yt+1,,

yt+k-1}条件下，yt与yt+k的条件相关系数。

k

ρ*只是k的函数，称为“偏自相关函数”（PartialAutocorrelationFunction，简记PACF）。

对以下k阶自回归方程进行OLS估计：

yt=β0

+β1yt-1++βkyt-k

+

εt

k

k

则βˆ就是“k阶样本偏自相关系数”ρˆ*。

20.2自回归模型对于样本数据{y1,

y2,,

yT}，最简单的预测方法为AR

（1）：

yt=β0

+β1yt-1+εt

（t=2,,T）

tε

εt为白噪声，E（εt）=0，Var（ε

）=σ2

，且无自相关。

假设β1

<1，则{yt}为渐近独立的平稳过程。

由于yt-1依赖于{εt-1,,ε1}，而εt

与{εt-1,,ε1}不相关，故

yt-1与εt

不相关，OLS一致。

ε

但使用OLS将损失一个样本容量。

为提高估计效率，考虑MLE。

假设{εt}为iid，服从N（0,σ2）。

对方程两边取期望

E（y）=β0+β1E（y）

故{yt

}的无条件期望为

β0

1-β1

。

对方程两边取方差可得

Var（y）=β2Var（y）+σ2

1ε

ο2

故{yt}的无条件方差为ε。

故

1

1-β2

⎛βσ2⎫

y1~

Nç0,ε⎪

y1的其（无条件）密度函数为

⎝1-β11-β⎭

2

1

1⎪⎧-⎡y-（β（1-β））⎤2⎪⎫

f（y）=

exp⎨⎣101⎦⎬

ε

1

y11

⎩⎪2σ2（1-β2）⎪⎭

在给定y1的条件下，y2的条件分布为

yy~N（β+βy,σ2）

21011ε

其条件密度为

1⎧-（y-β-βy）2⎫

fyy

（y2

y1）=

exp⎨2011⎬

ε

21⎩

2σ2⎭

y1与y2的联合分布密度为

fy,y

（y1,

y2）=

fy（y1）fy|y

（y2|

y1）

12121

依次类推，yy

~N（β

+

βy

σ2）,

t=2,,T。

tt-101t-1ε

整个样本数据{y1,

y2,,

yT}的联合概率密度为

fy1,,yT（y1,,

yT）=

fy1（y1）∏

T

t=2

fyt|yt-1（yt

|yt-1）

对数似然函数为

lnL（β

β,σ2;y,,y

）=lnf（y）+∑T

lnf

（y|y）

01ε1

Ty11

t=2

yt|yt-1

tt-1

代入fy1（y1）与

fyt|yt-1（yt

|yt-1）的表达式可得

11⎡y

-（β

（1-β

））⎤2

lnL=-ln2π-ln⎡⎣σ2（1-β2）⎤⎦-

⎣101⎦

-∑

22ε1

2σ2（1-β2）

ε

1

T-1

T-12

T（y-β-βy）2

-ln2π-

2

2lnσε

t01t-1

ε

t=22σ2

此估计量称为“精确最大似然估计量”（ExactMLE）。

如果T较大，第一个观测值对似然函数的贡献较小，可忽略。

考

虑在y1给定的情况下，{y2,,yT}的条件分布，则对数似然函数简化为

T-1

T-12

T（y-β

-βy）2

lnL=-

ln2π-

22

lnσε

t=2

t01t-1

ε

2σ2

-∑

2

此估计量称为“条件最大似然估计量”（conditionalMLE）。

为使上式最大化，须让右边第三项的分子最小化，

min

{β0,β1}

其结果与OLS一样。

T

∑

t=2

（yt

-β0-β1

yt-1）

更一般地，考虑AR（p）：

yt=β0

+β1yt-1++βpyt-p

+

εt

对AR（p）的估计与AR

（1）类似。

在使用“条件MLE”时，考虑在给定{y1,,

yp}的情况下，

{yp+1,,

yT}的条件分布。

由于条件MLE等价于OLS，而后者并不依赖于正态性假定，故条件MLE的一致性也不依赖于正态性假定。

如何估计pˆ？

方法一：

由大到小的序贯t规则（general-to-specificsequentialt

rule）。

设最大滞后期pmax，令pˆ=pmax进行估计，并对最后一个滞

后期系数的显著性进行t检验。

如果接受该系数为0，则令

pˆ=

pmax

-1，重新进行估计，再对最后一个滞后期的系数进行t检

验，如果显著，则停止；否则，令pˆ=

pmax

-

2；以此类推。

方法二：

使用信息准则，选择pˆ使得AIC，BIC或HQIC最小化，分别记为pˆAIC，pˆBIC与pˆHQIC。

比如，

minAIC≡ln（e'eT）+

p

其中，e'e为残差平方和。

2（p+1）

T

20.3移动平均模型

另一类时间序列模型为“移动平均过程”（MovingAverageProcess，简记MA）。

一阶移动平均过程为MA

（1）：

yt=

μ+εt

+θεt-1

{εt}为白噪声，εt的系数被标准化为1。

使用条件MLE估计。

ε

假设{εt}为iid，且服从N（0,σ2）。

如果已知εt-1，则

ytε

t-1~

N（μ

+θε

t-1

σ2）

ε

假设ε0

=0，则可知ε1=

y1-μ。

给定ε1，则可知ε2

=y2

-μ-θε1。

以此类推，使用公式“εt

=yt

-μ-θεt-1”计算出全部{ε1,ε2,,εT}。

给定ε0

=0的条件，可写下样本数据{y1,

y2,,

yT}的似然函数。

q阶移动平均过程，记为MA（q）：

yt=

μ+εt

+θ1εt-1+θ2εt-2

++θqεt-q

也可以进行条件MLE估计，即在给定“ε0

=ε-1

==ε-q+1

=0”的

条件下，最大化样本数据的似然函数。

20.4ARMA

将AR（p）与MA（q）结合起来，得到ARMA（p,q）：

yt=β0

+β1yt-1++βpyt-p

+

εt

+θ1εt-1++θqεt-q

{εt}为白噪声。

给定{y1,,

yp}与“ε0

=ε-1

==ε-q+1

=0”，可进行条件MLE估计。

如何用数据来估计（pˆ,qˆ）？

先考察数据的自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF），以判断是否存在p=0或q=0的情形。

如果p=0，则为MA（q）：

yt=

μ+εt

+θ1εt-1+θ2εt-2

++θqεt-q

如果j

>q，则Cov（yt,

yt-j）=0，因为产生yt的扰动项{εt,εt-1,,εt-q}

与产生yt-j的扰动项{εt-j,εt-j-1,,εt-j-q}无交集。

对于MA（q）模型，ACF函数在j>q时都等于零，出现“截尾”。

另一方面，AR

（1）的ACF函数呈指数衰减，称为“拖尾”（tailsofftozero），不存在截尾。

如果q=0，则ARMA（p,q）简化为AR（p）模型：

yt=β0

+β1yt-1++βpyt-p

+

εt

假设真实模型为AR（p），却用OLS来估计AR（p+1），即

yt=β0

+β1yt-1++

βpyt-p

+βp+1yt-p-1+εt，则plimβˆp+1

T→∞

=0，因为

βp+1

=0。

而βˆp+1正是对（p+1）阶偏自相关函数的估计。

对于AR（p）模型，PACF函数在j>

p时都等于零，即出现截尾。

另一方面，MA（q）模型的PACF函数逐渐衰减，拖尾，不存在截尾。

总之，对于AR（p）模型，其ACF函数拖尾，而PACF函数截尾。

如出现这种情形，可判断为AR（p）。

对于MA（q）模型，其ACF函数截尾，而PACF函数拖尾。

如出现这种情形，可判断为MA（q）。

如果以上两种情形均不符合，则考虑一般的ARMA（p,q）模型，其中p,q均不为零。

Box,JenkinsandReinsel（1994）认为，对大多数情况，p≤

2与q≤2

就足够了。

可让pmax与qmax更大些，使用信息准则或序贯t规则。

在估计模型之后，需进行诊断性分析，以确定ARMA（p,q）模型的假定是否成立。

最重要的假定是，扰动项{εt}为白噪声。

如果模型过小，即pˆ<

p或qˆ

动项出现自相关，不再是白噪声。

可使用Q检验来检验模型的残差是否存在自相关。

如果残差存在自相关，应考虑使模型更大些，重新对模型进行估计，再检验新模型的残差是否为白噪声，如此反复。

20.5自回归分布滞后模型

在自回归模型中，可引入其他变量构成“自回归分布滞后模型”

（AutoregressiveDistributedLagModel，简记ADL（p,q））：

yt=β0

+β1yt-1++βpyt-p

+γ1xt-1++γqxt-q

+

εt

例记通货膨胀率为πt，失业率为unt，预测模型为

∆πt

=β0

+β1∆πt-1+β2∆πt-2

+β3∆πt-3

+β4∆πt-4

+γ1unt-1+εt

此ADL（4,1）为经验菲利普斯曲线（empiricalPhillipCurve）。

如果γ1

<0，则失业率越低，物价越有上涨的压力；而通胀的调整

也受到过去通胀变化的滞后作用。

可引入更多解释变量。

比如，共有K个解释变量{x1t,,

xKt}，其

中第j个解释变量xjt共有qj个滞后值被包括在模型中，j

=1,,K：

yt=β0

+β1yt-1++βpyt-p

+γ11x1,t-1++γ1q

x1,t-q+

+γK1xK,t-1++γKqxK,t-q

11

+

KK

εt

如果自回归分布滞后模型满足以下假定，则可用OLS来估计。

（i）

E（εt

|yt-1,

yt-2,,

x1,t-1,

x1,t-2,,

xK,t-1,

xK,t-2,）=0。

此假定类似

于严格外生性假设，意味着扰动项εt与所有解释变量的整个历史全部无关。

这保证了对滞后期（p,q1,,qK）的设定是正确的。

如果滞后期设定不正确，比如，真实模型还应该包括yt-（p+1），但βp+1yt-（p+1）却被纳入εt中，则εt便与解释变量相关，导致OLS不一致。

（ii）{yt,

x1t,,

xKt}为渐近独立的平稳序列。

（iii）{yt,

x1t,,

xKt}有非零的有限四阶矩。

（iv）解释变量无完全多重共线性。

对滞后期数的选择可使用信息准则，或使用t,F检验来检验最后一期系数的显著性。

更一般地，可以在ARMA模型中引入其他变量，称为“ARMAX”模型。

20.6ARMA模型的Stata命令及实例

20.7误差修正模型

从经济理论而言，变量之间可能存在长期均衡关系，而变量的短期变动为向这个长期均衡关系的部分调整。

“误差修正模型”（ErrorCorrectionModel，简记ECM）正是这一思想在计量的体现。

考虑AR

（1）：

yt=β0

+β1yt-1+εt

β1<1，故{yt}为平稳过程。

对方程两边求期望，令长期均衡值y*

=E（y

）=E（y

），可得

y*=

β0

1-β1

tt-1

将β0=（1-β1）y代入原方程，并在方程两边减去yt-1可得

*

∆y=（1-β）y*-（1-β）y+ε

t11

t-1t

∆y=（1-β

）（y*-y）+ε

t1

t-1t

errorcorrection

AR

（1）的误差修正模型，将∆yt表达为对长期均衡的偏离（y*-

的部分调整（即误差修正），加上扰动项。

yt-1）

考虑ADL模型：

yt=β0

+β1yt-1+γ0xt

+γ1xt-1+εt

β1<1。

假设经济理论认为（y,

x）之间存在长期均衡关系y

=φ+θx。

方程两边求期望，令y*

=E（y）=E（y），x*=E（x）=E（x

），可得

tt-1tt-1

y*=β

+βy*+γx*+γx*

0101

（1-β）y*=β+（γ+γ）x*

1001

y*=β0

+（γ0

+γ1）x*

故φ=

β0，θ

=γ0

+γ1

。

（1-β1）（1-β1）

1-β11-β1

θ称为“长期乘数”（long-runmultiplier），衡量当x永久性地变化一单位时，导致y的永久性变化幅度。

β0=（1-β1）φ，γ0

+γ1

=（1-β1）θ。

在方程两边减去yt-1，并在方程右边加上、减去γ0xt-1：

∆yt

=β0

-（1-β1）yt-1+γ0（xt

-xt-1）+（γ0

+γ1）xt-1+εt

代入β0

=（1-β1）φ，可得

∆yt

=（1-β1）φ

-（1-β1）yt-1+γ0∆xt

+（γ0

+γ1）xt-1+εt

代入γ0

+γ1

=（1-β1）θ，则有

∆yt

=γ0∆xt

+（β1-1）（yt-1-φ-θxt-1）+εt

errorcorrection

（β1-1）（yt-1-φ

-θxt-1）称为“误差修正项”（errorcorrectionterm）。

{φ,θ}为长期参数，{γ0,β1-1}为短期参数。

ECM的形式看似非线性，但仍是线性回归，可把它还原为ADL

模型，用OLS来估计。

20.8MA（∞）与滞后算子

MA（q）的自相关函数（ACF）存在截尾。

如果希望自相关系数永远不为0，可考虑MA（∞）：

其中，θ0

=1。

yt=μ

∞

+∑

j=0

θjεt-j

无穷多个随机变量之和，能收敛到某随机变量吗？

一个充分条件是，序列{θ

∞

}

jj=0

为“绝对值可加总”（Absolutely

j=0

Summable，简记AS），即∑∞

θj<∞（有限）。

在AS的条件下，不仅MA（∞）有定义，而且是弱平稳过程；如果{εt}

为iid，则MA（∞）严格平稳。

时间序列分析常引入“滞后算子”（lagoperator）。

定义Ly=y

，L2y=L（Ly）=y

，…，Lpy=y

。

特别地，

tt-1

ttt-2

tt-p

L0y=1⋅y=y。

ttt

滞后算子的运算相当于幂函数。

比如，Lp

⋅Lq

=Lp+q。

由于∆yt

=yt

-

yt-1

=（1-L）yt，故差分算子∆≡1-L。

对于AR（p），yt

=β0

+β1yt-1++βpyt-p

+

εt，可用滞后算子表示：

y=β+βLy++βLpy+ε

t01tptt

移项可得

y-βLy--βLpy=β+ε

t1tpt0t

向右提取公因子yt

（1-β1

L--β

Lp）y

=β0

+

εt

pt

定义“滞后多项式”（lagpolynomial）β（L）≡1-β1

L--β

Lp，则

p

β（L）yt

=β0

+

εt

如果存在β（L）-1，则可以在两边左乘β（L）-1，得到AR（p）的“解”。

12

定义对于任意一个实数序列（α0,α1,α2,），定义其对应的滤波

（filter）为α（L）=α0

+αL+αL2

+。

命题假设{xt}为弱平稳过程，序列{θ

∞

}

jj=0

为绝对值可加总（AS），

则yt=α

∞

+∑

θ

j=0

jxt-j=α

∞j

+∑

Lx

θ

j=0jt

有定义，且为弱平稳。

进一

步，如果{xt}为iid，则{yt}严格平稳。

定义对于两个滤波“α（L）=α+αL+α

L2+”与

012

“β（L）=β+βL+βL2+”，定义其乘积为

012

δ（L）≡α（L）β（L）≡（α+αL+αL2+）（β+βL+β

L2+）

012012

=αβ+（αβ+αβ）L+（αβ+αβ+αβ

）L2+

000110201102

滤波的乘积满足交换律。

最感兴趣的情形是δ（L）=1，即令上式的常数项α0β0为1，而其余各项的系数均为0。

称β（L）为α（L）的“逆”（inverse），并记为α（L）-1。

只要α0≠0，则α（L）-1都有定义且唯一，因为可以得到满足

α（L）β（L）=1的唯一解（β0,β1,β2,），即β0=1α0，β1=-α1β0α0，等等。

例（1-L）-1

=1+L+L2

+L3+

证明：

（1-L）（1+L+L2

+

L3

+）=1。

但（1-L）-1不再是AS。

例（1-βL）-1

=1+βL+β2L2

+β3L3+

证明：

将上例中的“L”换成“βL”即可。

如果β

为AS。

<1，则（1-βL）-1

命题对