人教版高数必修三第5讲简单随机抽样与系统抽样教师版.docx
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人教版高数必修三第5讲简单随机抽样与系统抽样教师版.docx
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人教版高数必修三第5讲简单随机抽样与系统抽样教师版
简单随机抽样与系统抽样
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1.能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题,提高学生分析问题的能力.
2.理解随机抽样的必要性和重要性,提高学生学习数学的兴趣.
3.学会用抽签法和随机数法抽取样本,培养学生的应用能力.
4.理解系统抽样,会用系统抽样从总体中抽取样本,了解系统抽样在实际生活中的应用,提高学生学习数学的兴趣.
1.初中我们学习了样本的有关知识,知道了总体、个体、样本、样本容量、平均数、方差、标准差、众数、中位数等概念,下面我们对这些概念进行回顾:
(1)总体:
我们所要考察对象的_______叫做总体,其中每一个考察对象叫做_______.
(2)样本:
从总体中抽出的若干个个体组成的_______叫做总体的一个样本,样本中个体的_______叫做样本容量.
(3)个体:
总体中的每个_______叫做个体.
(4)样本容量:
样本中个体的_______叫做样本容量.
(5)平均数:
一组数据的和与这组数据的个数的_______.
(6)方差:
各个数据与平均数差的平方和,与这组数据的个数的商.
(7)标准差:
方差的算术平方根.
(8)众数:
一组数据出现次数_______的数据.
(9)中位数:
一组数据按从小到大排成一列处于_______位置的数.
全体个体集合数量元素数目商最多中间
2.简单随机抽样
(1)定义:
一般地,设一个总体含有N个个体,从中_______________地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_______,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)说明:
我们所讨论的简单随机抽样都是_______的抽样,即抽取到某个个体后,该个体不再_______总体中.常用到的简单随机抽样方法有两种:
_________(抓阄法)和_________.
逐个不放回相等不放会放回抽签法随机数法
3.简单随机抽样具有下列特点:
①简单随机抽样要求总体中的个体数N是有限的.
②简单随机抽样抽取样本的容量n小于或等于总体中的个体数N.
③简单随机抽样中的每个个体被抽到的可能性均为
.
④当总体中的个体无差异且个体数目较少时,采用简单随机抽样抽取样本.
⑤逐个抽取即每次仅抽取一个个体.
⑥简单随机抽样是不放回的抽样,即抽取的个体不再放回总体.
4.抽签法
一般地,抽签法就是把总体中的N个个体_______,把号码写在_______上,将号签放在一个容器中,搅拌_______后,每次从中抽取_______号签,连续抽取n次,就得到一个容量为_______的样本.
编号号签均匀一个n
5.抽签法抽取样本的步骤:
①将总体中的个体编号为1~N.
②将所有编号1~N写在形状、大小相同的号签上.
③将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀.
④从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取n次.
⑤从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出.
操作要点是:
编号、写签、搅匀、抽取样本.
6.随机数法
随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.这里仅介绍随机数表法.
用随机数表法抽取样本的步骤:
①将总体中的个体_______.
②在随机数表中__________数作为开始.
③规定一个方向作为从选定的数读取数字的_______.
④开始读取数字,若不在编号中,则_______,若在编号中则_______,依次取下去,直到取满为止.(相同的号只计一次)
⑤根据选中的号码抽取样本.
操作要点是:
编号、选起始数、读数、获取样本.
编号任选一个方向跳过取出
说明:
虽然产生随机数的方法很多,但在高中数学中,仅学习用随机数表产生随机数来抽样,即随机数表法.
7.抽签法与随机数法的异同点
剖析:
相同点:
(1)都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体所含的个体是有限的;
(2)都是从总体中逐个地、不放回地抽取.
不同点:
(1)抽签法比随机数法简单;
(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候,而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况,所以当总体中的个体数较多时,应当选用随机数法,这样可以节约大量的人力和制作号签的成本.
8.系统抽样
(1)定义:
一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成_______的若干部分,然后按照预先制定的_______,从每一部分抽取_______个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样.
(2)步骤:
均衡规则一个编号分段间隔简单随机抽样间隔kl+kl+2k
9.系统抽样的特征:
(1)当总体中个体无差异且个体数目较大时,采用系统抽样.
(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样,间隔一般为k=
.
(3)预先制定的规则指的是:
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.
(4)在每段上仅抽一个个体,所分的组数(即段数)等于样本容量.
(5)第一步编号中,有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号等,不再重新编号.
10.系统抽样与简单随机抽样的区别与联系
类别
特点
相互联系
适用范围
共同点
简单随机抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
系统抽样
将总体平均分成几部分,按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时,采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
面对实际问题,能准确地选择一种合理的抽样方法,对初学者来说至关重要.可采用以下原则:
(1)当总体容量较小,样本容量也较小时,制签简单,号签容易搅匀,可采用抽签法(也可用随机数表法);
(2)当总体容量较大,样本容量较小时可用随机数表法;(3)当总体容量较大,样本容量也较大时也可用系统抽样.
类型一简单随机抽样的概念
例1:
下面的抽样方法是简单随机抽样吗?
为什么?
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
(2)仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;
(3)某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作;
(4)一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签;
(5)箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里.
[解析]
(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
(2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.
(3)不是简单随机抽样.因为50名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
(4)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.
(5)不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样.
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样,关键是看它本身的特点与简单随机抽样的几个特点是否完全符合.
(1)如果一个总体满足下列两个条件,那么可用简单随机抽样抽取样本:
①总体中的个体之间无差异:
②总体个数不多.
(2)判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征:
四点特征,如果有一点不满足,就不是简单随机抽样
练习1:
(2015·北京师大附中)在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性( )
A.与第几次抽样无关,第一次抽中的可能性要大些
B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些
D.每个个体被抽中的可能性无法确定
[答案] B
练习2:
(2015·孝感高一检测)现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验,下列说法正确的是( )
A.80件产品是总体B.20件产品是样本C.样本容量是80D.样本容量是20
[答案]D
练习3:
下列问题中,最适合用简单随机抽样的是( )
A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某学校有在编人员160人.其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人,教育部门为了了解学校机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本
D.某乡农田有山地8000亩,丘陵12000亩,平地24000亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
[答案]B
类型二抽签法的应用
例2:
某班有30名学生,要从中抽取6人参加一项活动,请用合适的抽样方法写出抽样的过程.
[解析] 一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.在用抽签法解决问题的过程中,为了使每一个个体被抽到的可能性相等,要特别注意每一次抽签前要将号签搅匀,这样才能保证抽样的公平性.
利用抽签法抽取样本时应注意以下问题:
①编号时,如果已有编号(如学号,标号等),可不必重新编号.
②号签要求大小、形状完全相同.
③号签要搅拌均匀.
④要逐一不放回地抽取.
[答案]
第一步,将30名学生进行编号,号码为:
01,02,…,30.
第二步,用相同的纸条做成30个号签,在每个号签上写上这些编号.
第三步,将得到的号签放入一个不透明的容器中,并充分搅匀.
第四步,从容器中依次抽取6个号签,并记录上面的编号.
第五步,所得号码对应的6名学生就是要抽取的对象.
练习1:
某大学为了支援西部教育事业,现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组,请用抽签法确定志愿小组成员,并写出抽样步骤.
[解析] 抽样步骤是:
第一步,将18名志愿者编号,号码是01,02,…,18;
第二步,将号码分别写在同样的小纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀;
第四步,从袋子中依次抽取6个号签,并记录上面的编号;
第五步,与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.
练习2:
抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A.制签B.搅拌均匀C.逐一抽取D.抽取不放回
[答案] B
类型三随机数表法的应用
例3:
某车间工人加工了一批零件共40件,为了了解这批零件的质量情况,要从中抽取10件进行检验,如何采用随机数表法抽取样本?
写出抽样步骤.
[解析] 在随机数表法抽样的过程中要注意:
①编号要求位数相同.
②第一个数字的选取是随机的.
③读数的方向是任意的,且事先定好.
[答案] 抽样步骤是:
第一步,先将40件零件编号,可以编为00,01,02,…,38,39.
第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数5开始.为便于说明,我们将随机数表中的第6行至第10行摘录如下:
1622779439 4954435482 1737932378
8735209643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767
2176335025 8392120676
6301637859 1695556719 9810507175
1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438
1551001342 9966027954
5760863244 0947279654 4917460962
9052847727 0802734328
第三步,从选定的数5开始向右读下去,得到一个两位数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得到16,将它取出;继续下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34.至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体.
练习1:
用随机数表法进行抽样,有以下几个步骤:
①将总体中的个体编号;②获取样本号码;③选定随机数表开始的数字,这些步骤的先后顺序应该是________.(填序号)
[答案] ①③②
练习2:
假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率,抽取60颗进行实验.利用随机数表抽取种子时,先将850颗种子按001,002,…,850进行编号,如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读,请你依次写出最先检测的4颗种子的编号________.
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
8442175331 5724550688 7704744767
2176335025 8392120676
6301637859 1695556719 9810507175
1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438
1551001342 9966027954
[答案] 301,637,169,555
练习3:
为了检验某种产品的质量,决定从1001件产品中抽取10件进行检查,用随机数表法抽取样本的过程中,所编的号码的位数最少是________位.
[答案] 四
类型四合理运用抽样方法
例4:
一个学生在一次理科综合学科竞赛中要回答的8道题是这样产生的:
从15道物理题中随机抽取3道;从20道化学题中随机抽取3道;从12道生物题中随机抽取2道,请选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1~15,化学题的编号为16~35,生物题的编号为36~47).
[解析] 由题意可知样本由3类组成,需分别在物理题、化学题、生物题中抽取.由于每类总体和样本的个数都较少,所以采用抽签法或随机数法都可以完成.
解答抽样问题时,要注意所抽出的样本既要能准确地反映总体特征,又要能方便操作.
[答案] 解法一:
抽签法.
第一步,将物理、化学、生物题编号,号码是1,2,3,…,47;
第二步,将1~47这47个编号分别写到大小、形状都相同的号签上;
第三步,将物理、化学、生物题的号签分别放人三个不透明的容器中,都搅拌均匀;
第四步,分别从装有物理、化学、生物题的容器中逐个抽取3个、3个、2个号签,并记录所得号签的编号,这便是所要回答的问题的序号.
解法二:
随机数法.
第一步,将物理题的编号对应地改成01,02,…,15,其余两门学科的题的编号不变;
第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,任选一个方向作为读数方向,例如选出第10行第2列的数7开始向右读;
第三步,从选定的数7开始向右读.每次读取两位,凡不在01~47中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不读,从01~15中选3个号码,从16~35中选3个号码,从36~47中选2个号码,依次可得到08,24,40,44,29,05,28,14;
第四步,对应以上编号找出所要回答的问题的序号,物理题的序号为:
5,8,14;化学题的序号为:
24,28,29;生物题的序号为:
40,44.
练习1:
现在有一种游戏,其用具为四副扑克,包括大小王在内共216张牌,参与人数为6人,并围成一圈.游戏开始时,从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌),然后按逆时针方向,根据这张牌上的数字来确定抓牌的先后,这6人依次从216张牌中抓取36张牌,问这种抓牌的方法是不是简单随机抽样?
[答案] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始的牌,其他各张牌虽然是逐张抓牌,但是各张在谁手里已被确定,只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的,其他215张牌已经确定,即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同,所以不是简单随机抽样.
练习2:
为了了解2015年参加市运会的240名运动员的身高情况,从中抽取40名运动员进行测量.下列说法正确的是( )
A.总体是240名运动员
B.个体是每一个运动员
C.40名运动员的身高是一个个体
D.样本容量是40
[答案] 选D.根据统计的相关概念并结合题意可得,此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是运动员的身高,而不是运动员,并且一个个体是指一名运动员的身高,选项A,B表达的对象都是运动员,选项C未将个体和样本理解透彻.在这个问题中,总体是240名运动员的身高,个体是每个运动员的身高,样本是40名运动员的身高,样本容量是40.因此选D.
类型五系统抽样概念的理解
例5:
下列抽样中不是系统抽样的是( )
A.从号码为1~15的15个球中任选3个作为样本,先在1~5号球中用抽签法抽出i0号,再将号码为i0+5,i0+10的球也抽出
B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间的过程中,检查人员从传送带上每5min抽取一件产品进行检验
C.搞某项市场调查,规定在商店门中随机地抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止
D.某电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
[解析] 本题C显然不是系统抽样,因为事先不知道总体数量,抽样方法也不能保证每个个体等可能入样,总体也没有分成均衡的几部分,故C不是系统抽样.
[答案] C
练习1:
某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额.采取如下方法:
从某本发票的存根中随机抽一张,如15号,然后按顺序往后将65号,115号,165号,…抽出,发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是( )
A.抽签法B.随机数法
C.系统抽样法D.其他的抽样方法
[答案] C
练习2:
下列问题中,最适合用系统抽样抽取样本的是( )
A.从10名学生中,随机抽2名学生参加义务劳动
B.从全校3000名学生中,随机抽100名学生参加义务劳动
C.从某市30000名学生中,其中小学生有14000人,初中生有10000人,高中生有6000人,抽取300名学生了解该市学生的近视情况
D.从某班周二值日小组6人中,随机抽取1人擦黑板
[答案] B
练习3:
某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11B.12C.13D.14
[答案] B
类型六系统抽样方案的设计
例6:
为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩,拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本.请用系统抽样写出抽取过程.
[解析] 由于总体容量恰被样本容量整除,所以分段间隔k=
=100,按系统抽样方法的四个步骤抽取样本.
[答案]
(1)对全体学生的数学成绩进行编号:
1,2,3,…,15000.
(2)分段:
由于样本容量与总体容量的比是1100,所以我们将总体平均分为150个部分,其中每一部分包含100个个体.
(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样,抽取一个号码,比如是56.
(4)以56作为起始数,然后顺次抽取156,256,356,…,14956,这样就得到一个容量为150的样本.
练习1:
(2015·河北省衡水一中月考)将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002,…,999,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样方法分成50个部分,第一组编号000,001,…,019,如果在第一组随机抽取的号码为015,则第30个号码为________.
[答案] 595
练习2:
为了了解高二2013名学生中使用数学教辅的情况,请你用系统抽样抽取一个容量为50的样本.
[答案] 由于
不是整数,所以先从总体中随机剔除13个个体.
步骤:
(1)随机地将这2013个个体编号为1,2,3,…,2013.
(2)利用简单随机抽样,先从总体中剔除13个个体(可利用随机数表),剩下的个体是2000能被样本容量50整除,然后再重新编号为1,2,3,…,2000.
(3)确定分段间隔.
=40,则将这2000名学生分成50组,每组40人,第1组是1,2,3,…,40;第2组是41,42,43,…,80;依次下去,第50组是1961,1962,…,2000.
(4)在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号i(i≤40).
(5)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为i+40k(k=0,1,2,…,39),得到50个个体作为样本,如当i=2时的样本编号为2,42,82,…,1962.
练习3:
中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励,要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众.现采用系统抽样法抽样,其组容量为( )
A.10B.100C.1000D.10000
[答案] C
练习4:
(2015·北京大学附中高考一轮单元复习精品练习)有20位同学,编号从1至20,现在从中抽取4人做问卷调查,用系统抽样方法确定所抽的编号可能为( )
A.5,10,15,20B.2,6,10,14C.2,4,6,8D.5,8,11,14
[答案] A
类型七不同抽样方法的正确选取与比较
例7:
解答下列各题:
(1)从某厂生产的703件产品中随机抽取70件测试某项指标,请合理选择抽样方法进行抽样,并写出抽样过程;
(2)从某厂生产的703件产品中随机抽取7件测试某项指标,请合理选择抽样方法进行抽样,写出抽样过程;
(3)从某厂生产的30件产品中随机抽取4件测试某项指标,请合理选择抽样方法进行抽样,写出抽样过程.
[解析] 根据题目特点选择合理的抽样方法实施抽样过程.
[答案]
(1)①将703件产品以随机方式编号;
②从总体中剔除3件(可用随机数表法),将剩下的700件产品重新编号(号码为1,2,…,700),并分成70段;
③在第一段1,2,…,10这10个编号中用简单随机抽样抽出一个(如4)作为起始号码;
④将编号为4,14,24,…,694的个体抽出,组成样本.
(2)第一步,将703件产品以随机方式编号,号码为001,002,…,703;
第二步,在随机数表中随机地确定一个数作为开始,如,从第8行第29列的数“7”开始,任选一个方向作为读数方向,如,向右读;
第三步,从数“7”开始向右读,每次读三位,凡不在001~703中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去,便可依次得到286,443,387,211,234,297,560;
这7个号码就是所要抽取的7个样本个体的号码.
(3)第一步
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