考研数学公式大全线性代数.docx
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考研数学公式大全线性代数
线性代数部分
梳理:
条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:
突出各部分内容间的联系。
充实提高:
围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷
的方法。
大家要有这样的思想准备:
发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不
知道的。
但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。
基本运算
①A+B=B+A
②(A+B)+C=A+(B+C)
③c(A+B)=cA+cB
④c(dA)=(cd)A
(c+d)A=cA+dA
⑤cA=0⇔c=0或A=0。
(AT)T=A
(A±B)T
=AT±BT
(cA)T
(AB)T
=c(AT)。
=BTAT
τ(n(n-1)21)=C2=n(n-1)
n2
D=a21A21+a22A22++a2nA2n
转置值不变AT=A
逆值变A-1=1
A
cA=cnA
α,β1+β2,γ
=α,β1,γ
+α,β2,γ
A=(α1,α2,α3),3阶矩阵
B=(β1,β2,β3)
A+B≠
A+B
A+B=(α1+β1,α2+β2,α3+β3)
A+B=α1+β1,α2+β2,α3+β3
A*A
=
0B*
0
=AB
B
E(i,j(c))=1
有关乘法的基本运算
Cij
=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj
线性性质(A1+A2)B=A1B+A2B,
A(B1+B2)=AB1+AB2
(cA)B=c(AB)=A(cB)
结合律(AB)C=A(BC)
(AB)T
=BTAT
AB=
AkAl
AB
=Ak+l
(Ak)l
(AB)k
=Akl
=AkBk不一定成立!
AE=A,EA=A
A(kE)=kA,(kE)A=kA
AB=E⇔BA=E
与数的乘法的不同之处
(AB)k
=AkBk不一定成立!
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解,例如
A2-2A-3E=(A-3E)(A+E)
无消去律(矩阵和矩阵相乘)
当AB=0时⇒/A=0或B=0
由A≠0和AB=0⇒/
B=0
由A≠0时AB=AC⇒/
B=C(无左消去律)
特别的设A可逆,则A有消去律。
左消去律:
AB=AC⇒B=C。
右消去律:
BA=CA⇒B=C。
如果A列满秩,则A有左消去律,即
①AB=0⇒B=0
②AB=AC⇒B=C
可逆矩阵的性质
i)当A可逆时,
AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T。
Ak也可逆,且(Ak)-1=(A-1)k。
数c≠0,cA也可逆,(cA)-1=1A-1。
c
ii)A,B是两个n阶可逆矩阵⇔AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1。
推论:
设A,B是两个n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E
命题:
初等矩阵都可逆,且
(E(i,j))-1=E(i,j)
1⎛⎛1⎫⎫
(E(i(c)))-
=Eçiç⎪⎪
⎝⎝c⎭⎭
(E(i,j(c)))-1=E(i,j(-c))
命题:
准对角矩阵
A11
0
A=
0
0
22
0
0
0
A
0
0
00
00Akk
-1
A
11
ii
可逆⇔每个A都可逆,记A-1=0
0
0
000
A
0
0
-1
22
00
A
00
-1
kk
伴随矩阵的基本性质:
AA*=A*A=
当A可逆时,
AE
AA*=EA
得A-1=
A*
,(求逆矩阵的伴随矩阵法)
A
且得:
(A*)-1=
伴随矩阵的其他性质
A=(A-1)*
A
⎛A-1(A-1)-1=⎫
(A-1)*=
A
A
ç
ç
⎪
⎝
⎪
⎭
①A*=
A
n-1
A*=
AA-1
②(AT)*=(A*)T,
③(cA)*=cn-1A*,
④(AB)*=B*A*,
⑤(Ak)*=(A*)k,
⑥(A*)*=
AA
n-2
。
n=2时,(A*)*=A
⎛a
A*=ç
-b⎫
⎪
关于矩阵右上肩记号:
T,k,-1,*
i)任何两个的次序可交换,
如(AT)*=(A*)T,
(A*)-1=(A-1)*等
⎝-cd⎭
ii)(AB)T
=BTAT,(AB)-1=B-1A-1,
(AB)*=B*A*
但(AB)k
=BkAk不一定成立!
线性表示
0→α1,α2,,αs
αi→α1,α2,,αs
β→α1,α2,,αs⇔x1α1+x2α2++xsαs=β有解
T
⇔(α1,α2,,αs)x=β有解(x=(x1,,xs))
Ax=β有解,即β可用A的列向量组表示
AB=C=(r1,r2,,rs),A=(α1,α2,,αn),则r1,r2,,rs→α1,α2,,αn。
β1,β2,,βt
→α1,α2,,αs,
则存在矩阵C,使得(β1,β2,,βt)=(α1,α2,,αs)C
线性表示关系有传递性当β1,β2,,βt→α1,α2,,αs→r1,r2,,rp,
则β1,β2,,βt
→r1,r2,,rp。
等价关系:
如果
α1,α2,,αs
与β1,β2,,βt
互相可表示
α1,α2,,αs←→β1,β2,,βt
记作α1,α2,,αs≅β1,β2,,βt。
线性相关
s=1,单个向量α,xα=0
α相关⇔α=0
s=2,α1,α2相关⇔对应分量成比例
α1,α2相关⇔a1:
b1=a2:
b2==an:
bn
①向量个数s=维数n,则α1,,αn线性相(无)关⇔α1αn
=(≠)0
A=(α1,α2,,αn),Ax=0有非零解⇔A=0
如果s>n,则α1,α2,,αs一定相关
Ax=0的方程个数n<未知数个数s
②如果α1,α2,,αs无关,则它的每一个部分组都无关
③如果α1,α2,,αs无关,而α1,α2,,αs,β相关,则β→α1,α2,,αs
证明:
设c1,,cs,c不全为0,使得c1α1++csαs+cβ=0
则其中c≠0,否则c1,,cs不全为0,c1α1++csαs=0,与条件α1,,αs无关矛
盾。
于是β=-c1α--
c1
csα。
cs
④当β→α1,,αs时,表示方式唯一⇔α1αs无关
(表示方式不唯一⇔α1αs相关)
⑤若β1,,βt
→α1,,αs,并且t>s,则β1,,βt一定线性相关。
证明:
记A=(α1,,αs),B=(β1,,βt),
则存在s⨯t矩阵C,使得
B=AC。
Cx=0有s个方程,t个未知数,s 则Bη=ACη=0,即η也是Bx=0的非零解,从而β1,,βt线性相关。 各性质的逆否形式 ①如果α1,α2,,αs无关,则s≤n。 ②如果α1,α2,,αs有相关的部分组,则它自己一定也相关。 ③如果α1αs无关,而β→/ α1,,αs,则α1,,αsβ无关。 ⑤如果β1βt→α1αs,β1βt无关,则t≤s。 推论: 若两个无关向量组α1αs与β1βt等价,则s=t。 极大无关组 一个线性无关部分组(I),若#(I)等于秩α,α,α,α→(I),(I)就一定是极大无关组 1246 ①α1,α2,,αs无关⇔γ(α1,α2,,αs)=s ②β→α1,α2,,αs⇔γ(α1,α2,,αs,β)=γ(α1,,αs) 另一种说法: 取α1,α2,,αs的一个极大无关组(I) 1 2 (I)也是α,α ,αs β的极大无关组⇔(I),β相关。 证明: β→α1,,αs⇔β→(I)⇔(I),β相关。 γ(α 1s ,α γ ⎧ β)=⎨ (α1,,αs),β→α1αs ⎩γ(α1,,αs)+1,β→/ α1,,αs ③β可用α1,,αs唯一表示⇔γ(α1,,αs,β)=γ(α1,,αs)=s ④β1,,βt →α1,,αs⇔γ(α1,,αs,β1,,βt)=γ(α1,,αs) ⇒γ(β1,,βt)≤γ(α1,,αs) ⑤α1,,αs≅β1,,βt ⇔γ(α1,,αs)=γ(α1αs,β1βt)=γ(β1,,βt) 矩阵的秩的简单性质 0≤r(A)≤min{m,n} r(A)=0⇔A=0 A行满秩: r(A)=m A列满秩: r(A)=n n阶矩阵A满秩: r(A)=n A满秩⇔A的行(列)向量组线性无关 ⇔A≠0 ⇔A可逆 ⇔Ax=0只有零解,Ax=β唯一解。 矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 ①r(AT)=r(A) ②c≠0时,r(cA)=r(A) ③r(A±B)≤r(A)+r(B) ④r(AB)≤min{r(A),r(B)} ⑤A可逆时,r(AB)=r(B) 弱化条件: 如果A列满秩,则γ(AB)=γ(B) 证: 下面证ABx=0与Bx=0同解。 η是ABx=0的解⇔ABη=0 ⇔Bη=0⇔η是Bx=0的解 B可逆时,r(AB)=r(A) ⑥若AB=0,则r(A)+r(B)≤n(A的列数,B的行数) ⑦A列满秩时r(AB)=r(B) B行满秩时r(AB)=r(A) ⑧r(AB)+n≥r(A)+r(B) 解的性质 1.Ax=0的解的性质。 如果η1,η2,,ηe是一组解,则它们的任意线性组合c1η1 +c2η2 ++ceηe一定也 是解。 ∀i,Aηi=0⇒A(c1η1+c2η2++ceηe)=0 2.Ax=β(β≠0) ①如果ξ1,ξ2,,ξe是Ax=β的一组解,则 c1ξ1+c2ξ2++ceξe也是Ax=β的解⇔c1+c2++ce=1 c1ξ1+c2ξ2++ceξe是Ax=0的解⇔c1+c2++ce=0 Aξi=β⋅∀i 本资料由“面包考研”搜集提供,仅供学习交流使用! A(c1ξ1+c2ξ2++ceξe)=c1Aξ1+c2Aξ2++ceAξe =(c1+c2++ce)β 特别的: 当ξ1,ξ2是Ax=β的两个解时,ξ1-ξ2是Ax=0的解 ②如果ξ0是Ax=β的解,则n维向量ξ也是Ax=β的解⇔ξ-ξ0是Ax=0的解。 解的情况判别 方程: Ax=β,即x1α1+x2α2++xnαn=β 有解⇔β→α1,α2,,αn 12n12n ⇔γ(A|β)=γ(A)⇔γ(α,α,,α,β)=γ(α,α,,α) 无解⇔γ(A|β)>γ(A)唯一解⇔γ(A|β)=γ(A)=n无穷多解⇔γ(A|β)=γ(A) 方程个数m: γ(A|β)≤m,γ(A)≤m ①当γ(A)=m时,γ(A|β)=m,有解 ②当m 只有零解⇔γ(A)=n(即A列满秩) (有非零解⇔γ(A) 特征值特征向量 λ是A的特征值⇔λ是A的特征多项式xE-A的根。 两种特殊情形: (1)A是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。 ⎛λ1**⎫ ç⎪ A=ç0λ2*⎪ ç⎪ ⎝00 λ3⎭ xE-A= x-λ1 0 0 -* x-λ2 0 -* -* x-λ3 =(x-λ1)(x-λ2)(x-λ3) (2)r(A)=1时: A的特征值为0,0,,0,tr(A) 特征值的性质 命题: n阶矩阵A的特征值λ的重数≥n-r(λE-A) 命题: 设A的特征值为λ1,λ2,,λn,则 ①λ1λ2λn=A ②λ1+λ2++λn=tr(A) 命题: 设η是A的特征向量,特征值为λ,即Aη=λη,则 ①对于A的每个多项式f(A),f(A)η= f(x)η ②当A可逆时,A-1η=1η,A*η=|A|η λλ 命题: 设A的特征值为λ1,λ2,,λn,则 12n ①f(A)的特征值为f(λ),f(λ),,f(λ) ②A可逆时,A-1的特征值为1,1 λ1λ2 1 λ , n A*的特征值为|A|,|A|,,|A| λ1λ2λn ③AT的特征值也是λ 特征值的应用 1,λ 2,,λn ①求行列式|A|=λ1,λ2,,λn ②判别可逆性 λ是A的特征值⇔λE-A=0⇔A-λE不可逆 A-λE可逆⇔λ不是A的特征值。 当f(A)=0时,如果f(c)≠0,则A-cE可逆 若λ是A的特征值,则f(λ)是f(A)的特征值⇒ f(λ)=0。 f(c)≠0⇒c不是A的特征值⇔AcE可逆。 n阶矩阵的相似关系 当AU=UA时,B=A,而AU≠UA时,B≠A。 相似关系有i)对称性: A~B⇔B~A U-1AU=B,则A=UBU-1 ii)有传递性: A~B,B~C,则A~C U-1AU=B,V-1BV=C,则 (UV)-1A(UV)=V-1U-1AUV =V-1BV=C 命题当A~B时,A和B有许多相同的性质 ①A=B ②γ(A)=γ(B) ③A,B的特征多项式相同,从而特征值完全一致。 A与B的特征向量的关系: η是A的属于λ的特征向量⇔U-1η是B的属于λ的特征向量。 Aη=λη⇔B(U-1η)=λ(U-1η) U-1Aη=λU-1η⇔U-1AUU-1η=λ(U-1η) 正定二次型与正定矩阵性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性 f(x1,x2,,xn)变为g(y1,y2,,yn),则它们同时正定或同时不正定 A~-B,则A,B同时正定,同时不正定。 例如B=CTAC。 如果A正定,则对每个x≠0 xTBx=xTCTACx=(Cx)TACx>0 (C可逆,x≠0,∴Cx≠0! )我们给出关于正定的以下性质 A正定⇔A~-E ⇔存在实可逆矩阵C,A=CTC。 ⇔A的正惯性指数=n。 ⇔A的特征值全大于0。 ⇔A的每个顺序主子式全大于0。 判断A正定的三种方法: ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。 基本概念 对称矩阵AT=A。 反对称矩阵AT =-A。 简单阶梯形矩阵: 台角位置的元素都为1,台角正上方的元素都为0。 如果A是一个n阶矩阵,A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵,反之不一定矩阵消元法: (解的情况) ①写出增广矩阵(Aβ),用初等行变换化(Aβ)为阶梯形矩阵(Bγ)。 ②用(Bγ)判别解的情况。 i)如果(Bγ)最下面的非零行为(0,,0d),则无解,否则有解。 ii)如果有解,记γ是(Bγ)的非零行数,则 γ=n时唯一解。 γ iii)唯一解求解的方法(初等变换法) 0 去掉(Bγ)的零行,得(B γ),它是n⨯(n+c)矩阵,B是n阶梯形矩阵,从而是上三角 0 0 矩阵。 则bnn≠0⇒bn-1n-1≠0⇒bii都不为0。 (Aβ)−−行→(Br)−−行→(Eη) η就是解。 a11 a 一个n阶行列式21 an1 ①是n! 项的代数和 a12 a22 an2 a1n a2n 的值: ann ②每一项是n个元素的乘积,它们共有n! 项aa a其中jj j是1,2,,n的一个全 排列。 1j12j2 njn 12n 1 ③a1ja njn 前面乘的应为(-1)τ(j1j2jn) τ(j1 j2jn )的逆序数 1j1 =∑(-1)τ(j1j2jn)a a2j2 anjn j1j2jn τ(n(n-1)21)=C2=n(n-1) n2 代数余子式 Mij为aij的余子式。 Aij =(-1)i+j Mij 定理: 一个行列式的值D等于它的某一行(列),各元素与各自代数余子式乘积之和。 D=a21A21+a22A22++a2nA2n一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为0。 范德蒙行
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