上海专高考数学分项解析专题09圆锥曲线文.docx

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上海专高考数学分项解析专题09圆锥曲线文

专题09圆锥曲线文

【2015/2016】

1.【2015高考上海文数】抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则.

【答案】2

【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.

【考点定位】抛物线的性质，最值.

【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小.

2.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为.

【答案】

【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：

（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；

（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝＝＝＝.

3.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.

（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

（2）设，，，求的值；

（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.

【答案】

（1）详见解析；

（2）或；（3）.

（3）设，则，设，，

由，的，

同理，

【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线（斜率为k）与圆锥曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）时，则|AB|＝·|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．

4.【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.

（1）若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、弦长公式

【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.

一．基础题组

1.【2014上海,文4】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.

【答案】.

【解析】椭圆的右焦点为，因此，，准线方程为.

【考点】椭圆与抛物线的几何性质

2.【2013上海,文12】设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

【答案】　

3.【2013上海,文18】记椭圆＝1围成的区域（含边界）为Ωn（n＝1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x＋y的最大值分别是M1，M2，…，则＝（　　）

A．0B．`C．2D．

【答案】D　

4.【2010上海,文8】若动点P到点F（2,0）的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．

【答案】y2＝8x

【解析】由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以F为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.

5.【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1＝（2,1）、e2＝（2，－1）分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若＝ae1＋be2（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是________．

【答案】4ab＝1

【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为±，可得双曲线方程为－y2＝λ，即：

－＝1.

又∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1.

∴双曲线的方程为－y2＝1.

而＝ae1＋be2＝（2a，a）＋（2b，－b）＝（2a＋2b，a－b），

又∵P在双曲线上，

∴－（a－b）2＝1.整理得4ab＝1.

6.（2009上海,文9）过点A（1,0）作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=___________.

【答案】

【解析】斜率,所以过点A（1,0）的直线方程为y=x-1.

将其代入抛物线y2=2x,得x2-4x+1=0.

因为判别式Δ=16-4＞0,所以可设其两根为x1,x2,

于是x1+x2=4,x1x2=1.

故.

7.（2009上海,文12）已知F1、F2是椭圆C:

（a＞b＞0）的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=____________.

【答案】3

8.【2008上海,文6】若直线经过抛物线的焦点，则实数___．

【答案】-1

【解析】直线经过抛物线的焦点则

9.【2008上海,文12】设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（）

A．4B．5C．8D．10

【答案】D

【解析】由椭圆的第一定义知

10.【2007上海,文5】以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是.

【答案】

【解析】

11.【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.

【答案】

【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.

12.【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是__________.

【答案】

【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a、b、c、p、e的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题.

二．能力题组

1.【2014上海,文22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系中，对于直线：

和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.

求证：

点被直线分隔；

若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；

动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求的方程，并证明轴为曲线的分割线.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（2）由题得，直线与曲线无交点

即无解

∴或，∴.

又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．

【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.

2.【2013上海,文23】如图，已知双曲线C1：

－y2＝1，曲线C2：

|y|＝|x|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”．

（1）C1的左焦点是“C1－C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1－C2型点”；

（3）求证：

圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”．

【答案】

（1）x＝或y＝，其中|k|≥;

（2）参考解析;（3）参考解析

【解析】

（1）C1的左焦点为（，0），写出的直线方程可以是以下形式：

x＝或y＝，其中|k|≥.

（2）因为直线y＝kx与C2有公共点，

所以方程组有实数解，

因此|kx|＝|x|＋1，得|k|＝.

若原点是“C1－C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．

考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx（|k|＞1）．

显然直线x＝0与C1无公共点．

如果直线为y＝kx（|k|＞1），则由方程组

得x2＝＜0，矛盾．

所以直线y＝kx（|k|＞1）与C1也无公共点．

因此原点不是“C1－C2型点”．

3.【2012上海,文22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：

2x2－y2＝1.

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；

（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（3）设斜率为k（|k|＜）的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：

OP⊥OQ.

【答案】

（1）M（，）;

（2）;（3）参考解析

（3）设直线PQ的方程是y＝kx＋b.

因直线PQ与已知圆相切，故，

即b2＝k2＋1.（*）

由得（2－k2）x2－2kbx－b2－1＝0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

又y1y2＝（kx1＋b）（kx2＋b），所以

＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2

＝.

由（*）知，，所以OP⊥OQ.

4.【2010上海,文23】已知椭圆Γ的方程为＋＝1（a＞b＞0），A（0，b），B（0，－b）和Q（a,0）为Γ的三个顶点．

（1）若点M满足＝（＋），求点M的坐标；

（2）设直线l1：

y＝k1x＋p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：

y＝k2x于点E.若k1·k2＝－，证明：

E为CD的中点；

（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足＋＝？

令a＝10，b＝5，点P的坐标是（－8，－1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足＋＝，求点P1、P2的坐标．

【答案】

（1）（，－）;

（2）参考解析;（3）P1（8,3），P2（－6，－4）

（2）证明：

由

得（b2＋a2）x2＋2a2k1px＋a2p2－a2b2＝0，

∴CD中点坐标为（－，）．

∵k1·k2＝－，∴k2＝－.

由

得l1与l2的交点E的坐标为（－，）．

∴l1与l2的交点E为CD的中点．

5.（2009上海,文22）已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F（,0）,一条渐近线m:

设过点A（,0）的直线l的方向向量e=（1,k）.

（1）求双曲线C的方程;

（2）若过原点的直线a∥l,且a与l的距离为,求k的值;

（3）证明:

当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.

【答案】

（1）;

（2）;（3）参考解析

（3）证法一:

设过原点且平行于l的直线b:

kx-y=0,

则直线l与b的距离,

当时,.

又双曲线C的渐近线为,

∴双曲线C的右支在直线b的右下方.

∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

证法二:

假设双曲线C右支上存在点Q（x0,y0）到直线l的距离为，

则

由①得,

设,

当时，;

.

将y0=kx0+t代入②得（1-2k2）x02-4ktx0-2（t2+1）=0.（*）

∵,t＞0.

∴1-2k2＜0,-4kt＜0,-2（t2+1）＜0.

∴方程（*）不存在正根，即假设不成立.

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

6.【200