高中数学 131《正弦函数的图像与性质》教案 新人教A版必修4.docx
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高中数学131《正弦函数的图像与性质》教案新人教A版必修4
2019-2020年高中数学1.3.1《正弦函数的图像与性质》教案新人教A版必修4
教学目标:
1.理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
教学重点:
正、余弦函数的性质
教学难点:
正、余弦函数性质的理解与应用
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
教学方法与学习指导策略建议:
讲正弦函数的性质时,要从多方面讲解,一方面要用正弦函数的定义,从理论上分析推导;用诱导公式证明正弦函数是周期函数,且周期为,等等。
另一方面要观察图形,使学生对这些性质有直观印象。
教师在讲课时,可充分利用多媒体设备,让学生观察、理解、记忆。
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线
教师提问,学生回答。
为本节课的讲解新课作准备。
概
念
形
成
由正弦函数的作图过程以及正弦函数的定义,容易得出正弦函数还有以下重要性质:
(1)定义域:
正弦函数的定义域都是实数集R[或(-∞,+∞)],
分别记作:
y=sinx,x∈R
(2)值域
因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度;从正弦曲线可以看出,正弦曲线分布在两条平行线和之间,所以|sinx|≤1,即
-1≤sinx≤1也就是说,正弦函数的值域都是[-1,1]
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,正弦函数取得最大值1
②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,正弦函数取得最小值-1
(3)周期性
由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)知:
正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的当自变量的值每增加或减少的整数倍时,正弦函数的值重复出现。
在单位圆中,当角的终边饶原点转动到原处时,正弦线的数量(长度和符号)不发生变化,以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。
这种性质称为三角函数的周期性。
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知,2π,4π,……,-2π,-4π,……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意:
1︒周期函数x∈定义域M,则必有x+T∈M,且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无下界;
2︒“每一个值”只要有一个反例,则f(x)就不为周期函数(如f(x0+t)≠f(x0))
3︒T往往是多值的(如y=sinx2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)
根据上述定义,可知:
正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin(-x)=-sinx
可知:
y=sinx为奇函数
因此正弦曲线关于原点O对称
(5)单调性
从y=sinx,x∈[-]的图象上可看出:
当x∈[-,]时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1
当x∈[,]时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1
教师提问:
定义域、值域分别是什么?
并说明理由。
学生回答:
从函数图象和正弦函数定义以及正弦线的知识,可以知道定义域为x∈R,值域[-1,1]。
教师提问:
任意一个周期函数是否都有最小正周期?
学生回答:
否。
反例:
教师提问:
函数奇偶性的定义及图象特征?
学生回答。
教师提问:
正弦函数具有什么样的性质?
学生回答。
教师提问:
从正弦函数的图象观察正弦函数具有什么样的单调性?
学生回答。
1.希望学生不仅能够知道正弦函数的定义域和值域,而且能够体会知识间的联系,知其然更知其所以然。
2.通过讨论和提问使学生更深刻理解周期的定义。
应
用
举
例
例1:
设,求的取值范围。
解:
因为
所以
由此解得
例2:
求使下列函数取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么
1︒y=sin2x,x∈R2︒y=sin(3x+)-1
解:
1︒令Z=2x,那么x∈R必须并且只需Z∈R,且使函数y=sinZ,Z∈R取得最大值的集合是{Z|Z=+2kπ,k∈Z}
由2x=Z=+2kπ,
得x=+kπ
即使函数y=sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}
函数y=sin2x,x∈R的最大值是1
2︒当3x+=2kπ+即x=(k∈Z)时y的最大值为0
例3:
求下列三角函数的周期:
1︒y=sin(x+)2︒y=3sin(+)3︒y=|sinx|
解:
1︒令z=x+而sin(2π+z)=sinz即:
f(2π+z)=f(z)
f[(x+2π)+]=f(x+)∴周期T=2π
2︒令z=+则
f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(++2π)=3sin()=f(x+4π)
∴周期T=4π
3︒T=π
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中)的周期,下一
节将进一步研究这类函数的性质。
例4:
不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(-)-sin(-);
(2)(-)-(-).
解:
(1)∵-<-<-<.
且函数y=sinx,x∈[-,]是增函数
∴sin(-)<sin(-)
即sin(-)-sin(-)>0
(2)sin(-)=-sin=-sin=-sin=-sin
sin(-)=-sin=-sin
∵0<<<
且函数y=sinx,x∈[0,]上是增函数
∴sin<sin
-sin-sin
∴sin(-)-sin(-)<0
例5.函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4,求k,b的值
解:
当k>0时
当k<0时(矛盾舍去)∴k=3b=-1
学生独立完成,并请两位同学板演。
由学生和教师共同点评。
对于表格规范,图象正确的学生给予鼓励和表扬,对于有不足的学生给予指导。
巩固本节课所学知识。
归
纳
小
结
小结:
本节课学习了正弦函数的性质,请大家总结一下理解和记忆的方法。
教师归纳本节课内容
学生回顾本节课内容。
布
置
作
业
P.43,44练习A,练习B
复习本节课内容
2019-2020年高中数学1.3.1《正弦函数的图像与性质》教案1新人教B版必修4
教学目标:
1.知识与技能
(1)理解正弦函数的性质
(2)理解周期函数与最小正周期的意义
2.过程与方法
通过正弦函数的图像,进一步体会数形结合的思想方法。
3.情感、态度与价值观
通过正弦函数性质的学习,培养学生“看图说话”的能力,即图形语言、文字语言与符号语言的转换,从而达到从直观到抽象的飞跃。
教学重点:
正弦函数的性质
教学难点:
正弦函数的周期性
教学方法:
引导学生正弦函数的图像,观察、归纳、启发探究相结合的教学方法,运用现代化多媒体教学手段,进行教学活动。
首先由形及数,数形结合,通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。
教学过程:
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1.复习的图像
2.函数的性质有哪些?
教师提出问题,
学生回答。
为学生认识函数
的性质作好准备。
性质教学
正弦函数的值域与最值
正弦函数的图像
值域:
观察正弦曲线分布在两条平行直线和
之间,这表明
最值:
当且仅当
时,正弦函数取得最大值;
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
动态演示正弦线的运动:
当且仅当
时,正弦函数取得最大值;
观察正弦线的变化得:
值域:
正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度,这表明
最值:
当角的终边与轴的正半轴重合时,正弦函数取得最大值,
即当且仅当
时,正弦函数取得最大值;
当角的终边与轴的负半轴重合时,正弦函数取得最小值,
即当且仅当
时,正弦函数取得最小值;
从正弦曲线与正弦线两种途径探索正弦函数的性质,加深对二者的巩固与复习,体会数形结合思想在函数中的作用
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
正弦函数的周期性
正弦曲线连续不断无限延伸的形状
图
(1)
图
(2)
图
(2)
图(3)
演示前一节所做图象并提出问题
(1):
上节课我们研究的正弦曲线和以往的函数图象有什么不同?
正弦图象和图
(2)、(3)有什
么相同点和不同点?
如何描述图
(1)、图(3)的图象特征
教师结合课件提问,从具体到抽象从特殊到一般。
观察图
(1)可知:
观察图(3)可知:
(1)引导学生进入探究的思维场
(2)对比思维
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
定义:
对于函数,如果存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.
对于一个周期函数,如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.
说明:
正弦函数是一个周期函数,都是它的周期,是其最小正周期
由图
(2)的分析可知:
当自变量的值每增加或减少的整数倍时,正弦函数的值重复出现.
在单位圆中,当角的终边绕原点转动回到原处时,正弦线的数量(长度和符号)不发生变化。
师生共同总结函数周期性的定义。
从感性认识向理性认识从过渡最后抽象概括
并渗透三种语言的转化
性质教学
正弦函数的奇偶性
教师提出问题:
1.如何判断函数的奇偶性?
2.正弦函数具有奇偶性吗?
3.如何判断它的奇偶性?
学生回答:
1.
偶函数
图像关于轴对称;
奇函数
图像关于成中心对称。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
正弦函数的图像
正弦函数的单调性
正弦函数的一个周期内的图像中,如图:
2.正弦函数具有奇偶性。
3.方法一:
由诱导公式
可知,正弦函数是奇函数。
方法二:
正弦函数的图像关于原点成中心对称可知,正弦函数是奇函数。
方法三:
由正弦线知,角的正弦线知,,故正弦函数是奇函数。
教师引导学生观察正弦曲线在一个周期的图像,可以看出:
当由增加到时,由增加到;
当由增加到时,由减小到。
教师根据学生的回答,得出左边的表格,直观体现变化趋势。
教师引导学生从诱导公式、正弦曲线、正弦线三种角度探究正弦函数的奇偶性,温故知新。
从正弦曲线及正弦线双重角度体会正弦函数的单调性,进一步体会三角函数线及正弦曲线的工具性。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
动态演示正弦线的运动:
随着正弦线的变化,体会正弦函数的单调性。
学生总结正弦函数的单调性:
单调递增区间:
单调递减区间:
应用举例
例1.设,求的取值范围。
例2.求使下列函数取得最大值和最小值的的取值范围,并说出最大值和最小值是什么:
(1)
(2)
(3)
例3.求下列函数的周期
(1)
(2)
例4.不通过求值,指出下列各式大于零还是小于零:
(1);
(2)
师:
例1中体现出什么基础知识?
例2
(1)中体现什么基本方法?
例2
(2)中为什么与同时取得最大值?
例2(3)通过观察题目结构可以利用什么方法转化成什么问题?
例3基本三角函数的最小正周期是什么?
怎样利用换元法解决
(1)
(2)的周期?
对一般的函数
如何求出周期?
使学生巩固掌握正弦函数的性质。
从特殊到一般,类比思维
归纳小结
1.知识:
正弦函数的性质。
2.思想方法:
数形结合思想、换元法、类比法。
学生反思本节内容,对知识进行总结,教师对思想方法进行提炼。
让学生学会学习,学会总结。
布置作业
层次1:
43页A中3、5;B中3。
层次2:
43页A中4。
层次1要求所有学生完成;层次2要求中等以上水平完成。
使学生进一步巩固和应用所学知识。
- 配套讲稿:
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