三角形的证明.docx
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三角形的证明.docx
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三角形的证明
三角形的证明
等腰三角形
1、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分,这个等腰三角形的底和腰长分别为
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BP=CE,BD=CP,则∠DPE=
3、如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点。
已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数有个。
4、如图,平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(10,0)、(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为
5、等腰三角形底边上的高为18,一腰上的中线长为15,则等腰三角形的面积为
6、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为________
2题图3题图4题图
7、等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为_______
8、如图1,点C为线段AB上一点,△ACM, △CBN是等边三角形,直线AN,MC交于点E。
(1)求证:
AN=BM;
(2)求证:
△CEF为等边三角形;
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第
(1)、
(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明)
9、如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
10、如图,在△ABC的外部,分别以AB、AC为直角边,点A为直角顶点,作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,CD与BE交于点P.
求证:
(1)CD=BE;
(2)∠BPC=90°.
11、如图:
在△ABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.
求证:
①△ADC≌△BEA;②BP=2PQ.
12、如图,点M、N分别在正三角形ABC的边BC、CA边上,且BM=CN,又AM、BN交于点O,
(1)求证∠BQM=60°.
(2)做完
(1)后,请完成以下问题:
①若将题中的条件“BM=CN”与结论“∠BQM=60°”交换,得到的命题是否正确?
②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若将题中的条件“点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M、N分别在正方形ABCD的BC、CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°?
请证明②③。
13、
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
14、如图所示,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF也是等边三角形。
除已知相等的边外,请你猜想有哪些相等的线段,并证明你的猜想是正确的。
15、数学课上,李老师出示了如下的题目:
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AEDB.
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AEDB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
16、在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
17、如图所示,△ABC是正三角形,△BDC是∠BDC=120°的等腰三角形,以点D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。
探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明。
直角三角形
1、在锐角△ABC中,高AD、CE相交于H,且CH=AB,则∠ACB=度。
2、如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.
(1)求证:
△AOC≌△BOD;
(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.
3、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
线段的垂直平分线
1、如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别沿AE、AF折叠,点B、D恰好都落在点G处,已知BE=1,则EF的长为
1题图2题图3题图
2、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,沿AD折叠,使点B落在斜边AC上,若AB=3,BC=4,则BD=
3、如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为
4、A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?
请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标;
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
5、如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线与F。
(1)求证:
BE=CF;
(2)求AE的长。
角平分线
1、如图所示,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路.现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 处.
2、如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB、AC、BC的距离分别为
3、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD,∠ABD=∠CBD,且BD=2,则四边形ABCD的面积为。
1题图2题图3题图
4、如图所示,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,且点E是CD的中点,问AD、BC和AB之间有何关系?
5、在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
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