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次贷危机与金融数学
次贷危机与金融数学
摘自中国数学会通信
杨晓光唐跃陈浩(中国科学院数学与系统科学研究院)
一、引言肇始于美国的次贷危机专门快演变成一场波及全世界的金融危机,而且对世界经济造成庞大的冲击。
在这场危机中扮演主要角色的是次级贷款和基于次级贷款的金融衍生产品,而这些产品得以能够有市场有交易,关键就是能够对它们进行定价,而金融衍生产品的定价,离不开相对而言高深复杂的金融数学。
次级贷款(subprimemortgageloan)又名次级抵押贷款和次级按揭贷款。
正常情形下,客户向银行或其他贷款机构申请贷款,按期偿付本金和利息,形成贷款合约。
但一部份客户由于信用条件或其他原因未能知足正常贷款发放的要求,贷款机构无法与他们签署直接贷款协议,为了知足这部份客户的要求,贷款机构发放了对客户信用要求宽松但贷款利率更高的贷款,这就是次级贷款。
具体而言,次级贷款即为发放给信用评分在500到620贷款人的住房抵押贷款。
次级贷款的特点:
发放贷款时不考虑借贷人的财务状况;首付很低或没有首付;初始还贷利率很低;蕴涵着庞大的违约风险,历史违约率远远大于优先级和Alt-A级贷款。
以前次级贷款人是不能取得信用贷款的。
2001年以后,美国房价上涨速度加速,形成房价持续上涨预期,各类房地产金融机构为了获取更高利润,在知足优质客户的信贷需求以后,开发面向次级贷款人、利率水平相对较高的次级贷款。
从2001年到2006年,美国抵押贷款增加30%,次贷增加200%。
按照InsideMortgageFinance2007年的报告显示,2001年到2006年间,次级贷款占按揭贷款的比重直线上升,由2001年的9%上升到2006年的%。
次贷风险得以放大并贯穿整个金融系统的载体是基于次贷的衍生产品,这些衍生产品的高收益是增进次贷膨胀的主要原因之一。
据IMF统计显示,从2001年到2005年,全世界信用衍生品市场呈现暴发式增加,截至2005年,全世界信用衍生品市场规模达到17万亿美元,2006年这一数字达到35万亿美元,与全世界GDP总额大致相当。
在这些衍生品繁荣的进程中,金融数学是衍生品进展的理论基础。
衍生品的交易需要有价钱作为交易的基础,与普通商品不同,衍生品看不见摸不到的特性使得衍生品的价钱肯定无法通过人为简单判断估量肯定。
在20世纪,随着金融数学作为一个独立的学科分支出现,专门是BS期权定价公式出现后,金融家们发觉金融数学模型能够为衍生品的定价工作提供支持,实践效果也能够同意。
随着金融衍生品的进展和繁荣,衍生品的结构愈来愈复杂,金融数学的工具也应用得愈来愈普遍。
2006年以前,利用金融数学模型为衍生品定价的方式已经被普遍采用,金融数学专家也被业界和学术界视为天之娇子。
可是由于衍生品的大量利用是这次次贷危机爆主要原因之一,次贷危机发生后,社会上有一种观点以为复杂的金融数学模型是华尔街金融大鳄们忽悠民众、贪婪掘金的“帮凶”。
本文在简述次贷衍生产品在危机中的作用以后,对次贷衍生产品的大体定价模型进行考察,分析这些模型运用失当的地方,并讨论如何正确熟悉金融数学的作用。
二、衍生产品在次贷危机中的作用
这次次贷危机影响范围广,传导链条长,具体进程能够大致归纳如下。
第一,购房者与放贷机构签定贷款合同,放贷机构为购房者提供住房贷款,购房者按期偿还贷款。
这种类型的贷款相当于放贷机构持有了购房者的债权,而这种债权有购房者停止偿还贷款的信用风险,所以放贷机构不肯单独承担此类风险而希望把风险转移出去。
于是放贷机构与房利美,房地美和抵押贷款公司或银行达到协议,放贷机构将购房者的贷款出售给上述机构。
类似的,上述机构也不肯意独自承担所有风险,于是购房者的贷款又以MBS的形式打包出售给投资银行,投资银行再将这些产品进一步采用CDO打包出售给保险机构和对冲基金等投资者。
最后投资者之间会签定CDS等协议进行风险转移。
在那个金融创新链条上,牵涉到了商业银行、抵押贷款公司、投资银行、保险机构、对冲基金等金融机构,所以在这次次贷危机中,上述金融机构都受到了不同程度的影响。
具体而言,这次次贷危机涉及的衍生产品主要有MBS,CDO,CDS三类。
MBS(抵押贷款支持证券,即Mortgagebackedsecurity):
MBS是将若干抵押贷款组成资产池,在其还本付息所产生的现金流基础上发行的证券。
MBS的金融原理第一是“打包”;第二是“分级”,即排定一个优先偿付顺序;第三是“升级”,通过保险公司提供保险等多种手腕,实现信用升级。
CDO(抵押债务债券,即CollateralizedDebtObligation),是将若干固定收益资产(MBS)再次打包,从头分派现金流偿付的优先顺序,再划分出高层、夹层、权益层等不同层次的债券。
CDO的发行人(一般是投资银行)通过优先偿付分级、信用升级等手腕,保证高层债券从评级公司取得AAA/Aaa评级。
危机前的CDO呈现出两个特点,一是高风险的次级抵押贷款通过层层包装后,大部份进入CDO的高层和夹层,打上了投资级乃至AAA/Aaa评级的标签;二是CDO的年回报率大致为300%,高于同样评级的传统证券,出现了“同风险,不同收益”的怪现象。
马克思有句名言,“有300%的利润,资本就敢犯任何罪行,乃至冒绞首的危险”。
CDO的高回报率,使得投资机构对CDO产品趋之若鹜,进而创造出CDO二、CDO3乃至CDOn等更多名目的衍生品种,并进一步推动了对次级抵押贷款及其证券化产品的需求。
CDS(信用违约掉期,即CreditDefaultSwap):
信用违约掉期不局限于对一个实际的违约事件进行补偿,它在交易条款中包括信用品级降低如此的事件。
在一个违约掉期交易中,风险保护的卖方将取得买方提前支付或分期支付的必然费用作为回报,当信用资产的所有者违约或信用级别降低时,补偿买方因此而经受的损失。
在市场处于上升期的阶段里,CDS的卖方坐收无本钱的现金流收益,而CDS买方信用产品的信用品级取得专门大的提高,使得这些本来风险专门大的产品进入投资级。
在次贷危机之前,由于美国房地产市场的一路上扬,CDS生意两边都从中获利,CDS取得蓬勃进展,全世界CDS存量从2004年的6万4千亿美元,激增到2007年的57万9千亿美元。
CDS的激增也推动了次级贷款、MBS、CDO的大幅增加。
三、次贷衍生产品定价模型的运用失当目前,信用衍生产品定价主要分为两大类,结构性模型(StructuralModel)和简约模型(Reduced-FormModel)。
结构性模型由Merton(1974)第一提出,模型主要假设为公司资产服从对数正态散布,当公司资产低于某门坎时,即发生违约,结构模型从描述信用产品发行人本身的资本结构入手,假定违约事件是由公司内部因素造成的。
简约模型是由Jarrow(1995)等人所提出,其主要模型假设为违约是随机发生的,且服从随机跳跃进程,简约模型着眼于违约或信用评级变更等事件发生的概率,并将它与市场可观测的信用利差联系起来,而不深究造成违约的原因。
目前,多个资产间的违约相关性模型几乎都是成立在这两个模型之上,当前国际上流行的CDO定价方式主如果成立在简约模型的基础之上。
CDS是部份融资合成型CDO得以构建的基础,而CDO证券的持有者可否按期收回本金与利息,第一也取决于CDS是不是违约,在次贷危机暴发后,由于很多次级抵押贷款债权(参如实体)出现违约,很多超优先级投资者因为支付不起巨额的CDS补偿金而濒临破产,由于不能收到超优先级投资者的赔付,发起人也再也不向SPV支付CDS保费,这就致使CDO证券出现违约,最终造成持有者CDO证券的投资者蒙受亏损。
因此,对合成型CDO的定价,第一也取决于对CDS如何定价。
按照资产定价理论,任何金融产品的市场价值都等于一系列未来现金流的折现价值。
一份CDS合同通常面临两种现金流,一种是固定的保费支出(afixedpremium),另一种是可能发生的补偿收入(acontingentpayment)。
CDS的定价实质上是设定CDS的息差(保费费率),而息差设定的标准是使得保费支出的现值等于补偿收入的现值,即CDS交易的净现值应该等于零。
CDS定价能够依照如下步骤进行:
第一肯定保费支出的现值,然后计算补偿收入的现值,最后计算息差。
在计算CDS价钱时,最重要的两个参数是折现率和违约概率。
折现率与利率有关,一般假设利率知足如下的随机微分方程,dr_t=a(b-r_t)dt+sigmadz_t.对违约概率而言,一般假设违约事件服从以h(t)为密度的Possion散布,dln(h_t)=a(b–ln(h_t))dt+sigmadz_t.
CDO的定价进程中有四个关键要素,别离是每一个借款人的违约概率(ProbabilityofDefault,PD)、每笔债权的名义价值(NotionalValue,NV)、每笔债权的回收率(RecoveryRate,RR),和借款人之间的违约相关性(DefaultCorrelation)。
前三个因素决定了特定借款人的违约风险可能造成的损失,即PDxNVx(1-RR)。
而违约相关性假定则决定了在同一个时点,CDO信用资产池中的所有资产发生违约的概率是多少,从而得出损失的潜在散布(PotentialLossDistribution)。
单个借款人的违约概率和回收率一般是通过借款人的信用评级(即历史数据)取得的,估量违约相关性的常常利用方式有蒙特卡罗模拟法、因子Copula模型法和静态价差法,其中因子Copula模型法已经成为国际上通行的CDO定价方式。
CDS和CDO的定价进程中,主要存在如下几个问题。
第一,在对CDS和CDO进行定价时,通常假设贷款者有能力偿还贷款,从而有稳固的现金流,这是定价的基础,而真实情形是美国房地产市场的价钱突然非预期地下跌,造成了大量信用违约事件。
2000年到2006年的6年间,美国房地产市场持续繁荣,房价指数维持在10%的增加率,现房销售大体维持正增加,特别在2004年至2006年间,现房销售同比增加率在10%周围浮动,一度曾超过20%的增加率。
但是从2006年开始,美国房地产一路下跌,房价指数同比增加从15%的增加高位持续不断下跌到-10%周围。
目前对违约概率和违约损失的估量有相似案例搜索,回归和模拟等方式。
无论采用哪一种方式,若是采用06年以前的数据构建模型对未来预测,由于06年以前的数据都在10%以上,模型无法计算出目前房地产市场的负增加状况,从而造成了模型对未来违约估量失效的情形。
进一步,模型对违约相关参数的严峻估量误差将影响信用违约互换产品的定价,造成模型定价偏误。
第二,在对CDS和CDO进行定价时,对折现因子的计算需要用到未来的利率,这种利率一般是通过历史数据成立数学模型计算取得,无法将影响利率的重要因素,例如未来宏观调控方向和力度等完全涵盖。
从2004年6月30日到2006年6月29日,美联储持续加息17次,联邦基础利率从40年来的最低点%上升至%。
模型在历史利率持续走低的情形下,很难预测取得这种持续上扬的情形,造成模型定价偏误。
CDO有一个重要参数是违约相关性,目前模型对违约相关性的处置是利用历史数据计算,但事实上违约相关性随市场环境等不断转变,历史信息无法反映所有情形,当市场出现逆转时,历史的违约相关性与实际违约相关性存在着重大的误差,致使定价存在必然偏误。
从上面CDO和CDS的定价模型能够看到,模型中参数都是以其当前标底资产的属性作为输入参数,而卷入危机的专门大一部份衍生产品的标底资产本身又是衍生产品。
市场参与者由于无法掌握再上一层标底资产的状况,无法对它们的属性(例如违约率、违约损失率)直接进行估量,只能在必然的假设之下按照市场交易的信用价差来估量这些参数,而这种市场交易的信用价差只能反映对应层次市场参与者的判断,不能反映该衍生产品所包括的完整信息。
随着衍生链条的加长,这种参数估量的误差会愈来愈大。
市场参与者对于衍生链条上各层次衍生产品信用价差的判断,主要依据相应衍生产品的信用评级。
一方面如上述而言,由于对违约率、违约损失率的估量不准确,评级机
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