学年数学必修二第二章训练卷解析版.docx
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学年数学必修二第二章训练卷解析版
2018-2019学年必修二第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系
(二)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.下列推理错误的是()
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB
C.l⊄α,A∈l⇒A∉α
D.A∈l,l⊂α⇒A∈α
【答案】C
【解析】若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.故选C.
2.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】D
【解析】由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.故选D.
3.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是()
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC
D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
【答案】D
【解析】由于BD∥平面EFGH,所以有BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC.故选D.
4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n等于()
A.8B.9C.10D.11
【答案】A
【解析】如图,取CD的中点H,连接EH,HF.
在四面体CDEF中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行,其余4个平面与EFH相交,
即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8.故选A.
5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()
A.ACB.BDC.A1DD.A1D1
【答案】B
【解析】易证BD⊥面CC1E,则BD⊥CE.故选B.
6.如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是()
A.90°B.60°C.45°D.30°
【答案】A
【解析】连接B′C,则△AB′C为等边三角形,设AD=a,
则B′D=DC=a,
,所以∠B′DC=90°.故选A.
7.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.
现有结论:
①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,其中正确的是()
A.①②B.①②③C.①D.②③
【答案】B
【解析】对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;
对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,
∵PA⊂平面PAC,∴OM∥平面PAC;
对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.
故①②③都正确.
8.如图,三棱柱
中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是()
A.CC1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E
【答案】C
【解析】由已知AC=AB,E为BC中点,故AE⊥BC,
又∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,故C正确.故选C.
9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()
A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β
【答案】D
【解析】∵m∥α,m∥β,α∩β=l,∴m∥l.∵AB∥l,∴AB∥m.故A一定正确.
∵AC⊥l,m∥l,∴AC⊥m.故B一定正确.
∵A∈α,AB∥l,l⊂α,∴B∈α.∴AB⊄β,l⊂β.∴AB∥β.故C也正确.
∵AC⊥l,当点C在平面α内时,AC⊥β成立,
当点C不在平面α内时,AC⊥β不成立.故D不一定成立.故选D.
10.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为
,底面是边长为
的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】如图所示,作PO⊥平面ABC,则O为△ABC的中心,连接AP,AO.
.
,
.又
,∴
,又
,∴
.故选B.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.以下结论中,错误的是()
A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°
【答案】D
【解析】因为AH⊥平面A1BD,BD⊂平面A1BD,所以BD⊥AH.
又BD⊥AA1,且AH∩AA1=A.所以BD⊥平面AA1H.
又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD,
同理可证BH⊥A1D,所以点H是△A1BD的垂心,故A正确.
因为平面A1BD∥平面CB1D1,所以AH⊥平面CB1D1,B正确.
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,所以AC1和AH重合.故C正确.
因为AA1∥BB1,所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角.
因为∠AA1H≠45°,所以∠A1AH≠45°,故D错误.故选D.
12.已知矩形ABCD,AB=1,
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【答案】B
【解析】A错误.理由如下:
过A作AE⊥BD,垂足为E,连接CE,
若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE,
于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.
B正确.理由:
翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确.
C错误.理由如下:
若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB 由以上分析显然D错误.故选B. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.下列四个命题: ①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.其中正确命题的序号是________. 【答案】④ 【解析】①中b可能在α内;②a与b可能异面或者垂直;③a可能与α内的直线异面或垂直. 14.如图所示,在直四棱柱 中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件_______时,有A1C⊥B1D1.(注: 填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况) 【答案】B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 【解析】由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1,还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形,正方形等条件. 15.已知四棱锥 的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E、F分别是棱PC、PD的中点,则 ①棱AB与PD所在直线垂直; ②平面PBC与平面ABCD垂直; ③△PCD的面积大于 的面积; ④直线AE与直线BF是异面直线. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 【答案】①③ 【解析】由条件可得AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,故①正确; 若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB, 这是不可能的,故②错; , ,由AB=CD,PD>PA知③正确; 由E、F分别是棱PC、PD的中点,可得EF∥CD,又AB∥CD,∴EF∥AB, 故AE与BF共面,④错. 16.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面ABCD,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________. 【答案】a>6 【解析】由题意知: PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P,∴DE⊥面PAE,∴DE⊥AE.易证△ABE∽△ECD.设BE=x,则 ,即 .∴ , 由 ,解得a>6. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图所示,长方体 中,M、N分别为AB、A1D1的中点,判断MN与平面A1BC1的位置关系,为什么? 【答案】平行,见解析. 【解析】直线MN∥平面A1BC1.证明如下: ∵ 平面A1BC1, 平面A1BC1.∴ 平面A1BC1. 如图,取A1C1的中点O1,连接NO1、BO1. ∵ , ,∴ .∴四边形NO1BM为平行四边形. ∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1,∴MN∥平面A1BC1. 18.(12分)如图,三棱柱 的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点. (1)求证: AC⊥B1C; (2)求证: AC1∥平面CDB1. 【答案】 (1)见解析; (2)见解析. 【解析】 (1)∵C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC. ∵AC=9,BC=12,AB=15,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC. 又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1B1,而B1C⊂平面BCC1B1,∴AC⊥B1C. (2)连接BC1交B1C于O点,连接OD.如图, ∵O,D分别为BC1,AB的中点,∴OD∥AC1. 又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1. 19.(12分)如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC. (1)求证: BC⊥平面PAC. (2)是否存在点E使得二面角 为直二面角? 并说明理由. 【答案】 (1)见解析; (2)存在,见解析. 【解析】 (1)证明∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC. 又∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC. (2)∵DE∥BC,又由 (1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC. 又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE. ∴∠AEP为二面角 的平面角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°. ∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°, 故存在点E,使得二面角 为直二面角. 20.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C. (1)证明: B1C⊥AB; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 的高. 【答案】 (1)见解析; (2) . 【解析】 (1)证明连接BC1,则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO,故B1C⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB. (2)解在平面BB1C1C内作OD⊥BC,垂足为D,连接AD. 在平面AOD内作OH⊥AD,垂足为H. 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形. 又BC=1,可得 .由于AC⊥AB1,所以 . 由OH·AD=OD·OA,且 ,得 . 又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为 , 故三棱柱 的高为 . 21.(12分)如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点. (1)求证: PA∥面BDE; (2)求证: 平面PAC⊥平面BDE; (3)若二面角 为30°,求四棱锥 的体积. 【答案】 (1)见解析; (2)见解析;(3) . 【解析】 (1)证明连接OE,如图所示. ∵O、E分别为AC、PC的中点,∴OE∥PA. ∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE,∴PA∥面BDE. (2)证明∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD. 在正方形ABCD中,BD⊥AC,又∵PO∩AC=O,∴BD⊥面PAC. 又∵BD⊂面BDE,∴面PAC⊥面BDE. (3)解取OC中点F,连接EF.∵E为PC中点, ∴EF为 的中位线,∴EF∥PO. 又∵PO⊥面ABCD,∴EF⊥面ABCD,∴EF⊥BD. ∵OF⊥BD,OF∩EF=F,∴BD⊥面EFO,∴OE⊥BD. ∴∠EOF为二面角 的平面角,∴∠EOF=30°. 在Rt△OEF中, ,∴ , ∴ .∴ . 22.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点. (1)求证: 平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求证: C1F∥平面ABE; (3)求三棱锥 的体积. 【答案】 (1)见解析; (2)见解析;(3) . 【解析】 (1)证明 在三棱柱 中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1, 又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)证明 取AB的中点G,连接EG,FG. 因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且 . 因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1, 所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE. (3)解因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 . 所以三棱锥E-ABC的体积 .
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