人教版八年级上册数学 第十五章集体备课教案 教学反思.docx

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人教版八年级上册数学第十五章集体备课教案教学反思

第十五章分式

15.1分式

15.1.1从分数到分式

【知识与技能】

理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.

【过程与方法】

在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.

【情感态度】

进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.

【教学重点】

理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.

【教学难点】

在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.

一、情境导入，初步认识

问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

问题1刚才大家通过探讨，获得到

这样的式子，它们是整式吗？

如果不是，区别在哪里？

思考1

（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；

（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.

思考2式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？

它们与

有什么共同点？

谈谈你的看法.

【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.

分式：

一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.

问题2

（1）使分式

有意义，则x的取值有什么要求？

（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？

【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.

【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.

三、典例精析，掌握新知

例1指出下列各式中的整式与分式：

【教学说明】教师总结判断分式的依据：

看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：

π不是字母，是常数，所以x/π是整式.

例2填空：

（1）当x时，分式

有意义？

（2）当b时，分式

有意义？

（3）当x，y满足关系时，分式

有意义？

（4）当x时，分式

有意义？

解：

（1）由题意有：

3x≠0，故x≠0，所以当x≠0时，分式

有意义；

（2）由题意有：

5-3b≠0，故b≠5/3,所以当b≠5/3时，分式

有意义；（3）由题意有x-y≠0，故x≠y，所以当x≠y时，分式

有意义；（4）由题意有x2+1≠0，因为x2≥0，x2+1≥1，故x为任何数时，分式

有意义.

【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.

例3什么条件下，下列分式的值为0？

（1）

；

（2）

；（3）

.

解：

（1）由题意有：

x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x≠0，所以当x=1时，分式

的值为0；

（2）由题意有：

2m-3n=0，∴m=

n，∴m+n=

n，又m+n≠0，即

n≠0，∴n≠0，从而在m=

n≠0时，分式

的值为0；

（3）由题意有：

x（x-3）=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x2-x-6=-6≠0，当x=3时，x2-x-6=9-3-6=0，故使分式

的值为0时，x的值为x=0.

【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：

分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你有哪些收获？

2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？

与同伴交流.

【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.

1.布置作业：

从教材“习题15.1”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.

15.1.2分式的基本性质

【知识与技能】

掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.

【过程与方法】

通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.

【情感态度】

进一步增强学生的创新思维能力.

【教学重点】

理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.

【教学难点】

在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.

一、情境导入，初步认识

分数的基本性质：

一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.

思考下列从左到右的变形成立吗？

为什么？

【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.

二、思考探究，获取新知

（一）分式的基本性质

分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

即

（A、B、C均为整式，且C≠0）

试一试

【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.

2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：

3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：

【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.

（二）分式的约分

分式的约分：

把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由

，就是分式的约分.

最简分式：

分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.

分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.

【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1

（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.

试一试

4.约分：

【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：

（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；

（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.

（三）分式的通分

思考：

联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？

试一试

5.将下列分式通分：

【分析】

（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；

（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：

①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.

【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.

三、师生互动，课堂小结

1.通过本节课的学习，你有哪些收获？

2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？

你有何想法？

【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.

1.布置作业：

从教材“习题15.1”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.

教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除

第1课时分式的乘除

【知识与技能】

掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.

【过程与方法】

在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.

【情感态度】

在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.

【教学重点】

理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.

【教学难点】

运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.

一、情境导入，初步认识

观察下列算式：

由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；

分数的除法法则是.

思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？

【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.

乘法法则：

分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：

.

除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：

.

【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.

问题

【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.

三、典例精析，掌握新知

【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.

【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.

四、运用新知，深化理解

1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？

2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？

【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.

【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.

五、师生互动，课堂小结

运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？

谈谈你的看法，与同伴交流.

1.布置作业：

从教材“习题15.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：

一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：

如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.

在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.

第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方

【知识与技能】

1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.

2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.

【过程与方法】

通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.

【情感态度】

进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.

【教学重点】

分式乘除、乘方混合运算能力.

【教学难点】

分式乘方法则的理解和运用.

一、情境导入，初步认识

问题分式乘除法运算法则是什么？

如何进行分式乘除法混合运算呢？

试一试

参见教材P138例4.

想一想

小明同学在计算

÷

·

时，其过程如下：

原式=

÷1=

，你认为他的计算正确吗？

说说你的理由，与同伴交流.

【教学说明】

教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

思考参见教材P138“思考”.

【归纳结论】参见教材P138最后一段.

【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.

试一试计算：

【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.

【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.

三、典例精析，掌握新知

例计算：

（1）参见教材P139例5第

（2）小题；

（2）参见教材P139练习第2题第

（2）小题.

【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.

【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，（-3c）3=-9c3等错误，引起学生注意.

四、运用新知，深化理解

1.参见教材P139“练习”第1题.

2.计算：

（1）参见教材P139“练习”第2题第

（1）小题；

（2）参见教材P146第3题第（4）小题.

【教学说明】

学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.

五、师生互动，课堂小结

本节课所学习的主要知识是什么？

有哪些需要特别注意的地方？

谈谈你的看法，并与同伴交流.

1.布置作业：

从教材“习题15.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.

15.2.2分式的加减

第1课时分式的加减

【知识与技能】

理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.

【过程与方法】

经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.

【情感态度】

进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.

【教学重点】

分式的加减法运算方法.

【教学难点】

异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.

一、情境导入，初步认识

问题1参见教材P139“问题3”.

问题2参见教材P139“问题4”.

【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为

和

，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

思考参见教材P140“思考”.

【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.

【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：

①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.

三、典例精析，掌握新知

例参见教材P140例6.

解：

参见教材P140例6“解”部分.

四、运用新知，深化理解

参见教材P141“练习”.

【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：

如

（1）中的最简公分母；

（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将

化为

，再通分等.

五、师生互动，课堂小结

1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？

2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.

【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.

1.布置作业：

从教材“习题15.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.

第2课时分式的混合运算

【知识与技能】

1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.

2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.

【过程与方法】

在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.

【教学重点】

掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.

【教学难点】

运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.

一、情境导入，初步认识

问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？

在运算过程中有哪些需要注意的问题？

问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？

谈谈你的想法.

【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.

教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

【教学说明】

上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的

（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第

（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：

“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.

三、典例精析，掌握新知

【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：

选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.

四、运用新知，深化理解

2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？

【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.

五、师生互动，课堂小结

1.通过这节课的学习，你有哪些收获？

2.你还有哪些疑问？

与同伴交流.

【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.

1.布置作业：

从教材“习题15.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多种解题技巧，比较其优劣，通过分析题目的显著特点来灵活运用方法技巧解决问题，锻炼和培养他们的发散思维能力.

15.2.3整数指数幂

第1课时整数指数幂

【知识与技能】

理解并掌握整数指数幂的意义，能进行有关整数指数幂的运算.

【过程与方法】

在经历探索、类比、归纳、思考等活动过程中，体会由正整数指数幂扩充到整数指数幂的意义.

【情感态度】

进一步增强学生的数学思维和逻辑推理能力，增强数学学习兴趣，激发求知欲.

【教学重点】

整数指数幂的意义及运算方法.

【教学难点】

负整数指数幂的意义.

一、情境导入，初步认识

（1）当n为正整数时，an表示的实际意义是什么？