重庆名校高中 数学正态分布专题训练.docx
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重庆名校高中数学正态分布专题训练
重庆名校高中数学正态分布专题训练
一、选择题
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=
,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8B.10与2
C.8与10D.2与10
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( )
A.0.16B.0.32
C.0.68D.0.84
3.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544)
A.2386B.2718C.4772D.3413
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 D
解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.6826,
∴P(0≤X≤1)=
×0.6826=0.3413,故S≈0.3413.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为
=
,∴x=10000×0.3413=3413,故选D.
5.设X~N(μ1,σ
),Y~N(μ2,σ
),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)>P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)>P(Y≥t)
6.如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值是( )
A.0B.1C.2D.3
7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在区间( )
A.(90,110]B.(95,125]
C.(100,120]D.(105,115]
8.在某市2018年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A.1500名B.1700名
C.4500名D.8000名
二、填空题
9.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为.
10.设随机变量X~N(4,σ2),且P(4 11.某正态分布密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 ,则总体落入区间(0,2]内的概率为. 三、解答题 12.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72 (1)求参数μ,σ的值; (2)求P(64<X≤72). 13.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路线较长不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线? 若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线? 四、探究与拓展 14.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22), 且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为. 15.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图. (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X). (附: ≈12.2) 重庆名校高中数学正态分布专题训练答案 一、选择题 1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)= ,则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A.10与8B.10与2 C.8与10D.2与10 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 B 解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2. 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( ) A.0.16B.0.32 C.0.68D.0.84 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 A 解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2, ∵P(ξ≤4)=0.84, ∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16, ∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16. 3.已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%) A.4.56%B.13.59% C.27.18%D.31.74% 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 B 解析 由正态分布的概率公式,知P(-3<ξ≤3)=0.6826,P(-6<ξ≤6)=0.9544, 故P(3<ξ≤6)= = =0.1359=13.59%,故选B. 4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附: 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544) A.2386B.2718C.4772D.3413 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 D 解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.6826, ∴P(0≤X≤1)= ×0.6826=0.3413,故S≈0.3413. ∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为 = ,∴x=10000×0.3413=3413,故选D. 5.设X~N(μ1,σ ),Y~N(μ2,σ ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( ) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)>P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X≥t)>P(Y≥t) 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 C 解析 由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2, ∴P(Y≥μ2) P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错; 当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t), 而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t), ∴P(X≥t) 6.如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值是( ) A.0B.1C.2D.3 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 B 解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等,区间(-3,-1)和(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线x=μ对称,μ的概率意义就是均值,而区间(-3,-1)和(3,5)关于x=1对称,所以正态总体的均值是1. 7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在区间( ) A.(90,110]B.(95,125] C.(100,120]D.(105,115] 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C 解析 ∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5. 因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试,故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6826≈41,60×0.9544≈57,60×0.9974≈60. 8.在某市2018年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A.1500名B.1700名 C.4500名D.8000名 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 A 解析 因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X≥108)= [1-P(88 [1-P(μ-σ ×(1-0.6826)=0.1587,所以0.1587×9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名. 二、填空题 9.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为. 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 1 解析 ∵X服从正态分布N(a,4),∴正态曲线关于直线x=a对称,又P(X≤1)=0.5,故a=1. 10.设随机变量X~N(4,σ2),且P(4 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 0.2 解析 概率密度曲线关于直线x=4对称,在4右边的概率为0.5,在0左边的概率等于8右边的概率,即0.5-0.3=0.2. 11.某正态分布密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 ,则总体落入区间(0,2]内的概率为. 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 0.4772 解析 正态分布密度函数是f(x)= ,x∈(-∞,+∞),若它是偶函数,则μ=0, ∵f(x)的最大值为f(μ)= = ,∴σ=1, ∴P(0 P(-2 P(μ-2σ ×0.9544=0.4772. 三、解答题 12.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72 (1)求参数μ,σ的值; (2)求P(64<X≤72). 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 解 (1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数, 在(80,+∞)上是减函数, 所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80. 又P(72 结合P(μ-σ (2)因为P(μ-2σ =P(64 =0.9544. 又因为P(X≤64)=P(X>96), 所以P(X≤64)= ×(1-0.9544) = ×0.0456=0.0228. 所以P(X>64)=0.9772. 又P(X≤72)= [1-P(72 = ×(1-0.6826)=0.1587, 所以P(X>72)=0.8413, P(64 =P(X>64)-P(X>72) =0.1359. 13.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路线较长不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线? 若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线? 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 还有7分钟时: 若选第一条路线,即X~N(5,1),能及时到达的概率 P1=P(X≤7) =P(X≤5)+P(5 = + P(μ-2σ 若选第二条路线,即X~N(6,0.16),能及时到达的概率 P2=P(X≤7) =P(X≤6)+P(6 = + P(μ-2.5σ 因为P1 同理,还有6.5分钟时,应选第一条路线. 四、探究与拓展 14.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22), 且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为. 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 683 解析 依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5 15.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图. (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X). (附: ≈12.2) 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的综合应用 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为 =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由 (1)知,Z~N(200,150), 从而P(187.8 ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2]的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826), 所以E(X)=100×0.6826=68.26.
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