届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案.docx
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届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案
2012届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案
第六编数列
§61数列的概念及简单表示法
1下列对数列的理解有四种:
①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;
②数列的项数是有限的;
③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;
④数列的通项公式是惟一的
其中说法正确的是(填序号)
答案①③
2设an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第项的和最大
答案10或11
3(2008•安徽,1)在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a、b为常数,则ab=
答案-1
4已知数列{an}的通项公式是an=则a2•a3=
答案20
(2008•北京理,6)已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=
答案-30
例1写出下面各数列的一个通项公式:
(1)3,,7,9,…;
(2),,,,,…;
(3)-1,,-,,-,,…;
(4),-1,,-,,-,…;
()3,33,333,3333,…
解
(1)各项减去1后为正偶数,
所以an=2n+1
(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=
(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,
所以an=(-1)n•
也可写为an=
(4)偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,2+1,62+1,按照这样的规律第1、2两项可改写为,-,
所以an=(-1)n+1•
()将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,
所以an=(10n-1)
例2已知数列的通项公式为an=
(1)098是不是它的项?
(2)判断此数列的增减性
解
(1)假设098是它的项,则存在正整数n,满足=098,∴n2=098n2+098
∵n=7时成立,∴098是它的项
(2)an+1-an=
=>0
∴此数列为递增数列
例3(14分)已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,求an
解∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,
即-=2,4分
∴数列是公差为2的等差数列6分
又S1=a1=,∴=2,
∴=2+(n-1)•2=2n,
∴Sn=10分
∴当n≥2时,an=-2SnSn-1=-2••
=-,12分
∴an=14分
1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1),,,,,…
(2),2,,8,,…
(3),,,,,…
(4),0,-,0,,0,-,0,…
()1,3,7,1,31,…
解
(1)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解成1×3,3×,×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,经过组合,则所求数列的通项公式
an=
(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察:
,,,,,…,
可得通项公式an=
(3)联想=10n-1,
则an===(10n-1),
即an=(10n-1)
(4)数列的各项都具有周期性,联想基本数列1,0,-1,0,…,
则an=sin
()∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1
2已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(lg2an)=-2n
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
数列{an}是递减数列
(1)解∵f(x)=2x-2-x,
∴f(lg2an)=2-2=-2n,
即an-=-2n
∴a+2n•an-1=0
∴an=,又an>0,∴an=-n
(2)证明∵an>0,且an=-n,
∴=
=<1
∴an+1<an即{an}为递减数列
3已知在正项数列{an}中,Sn表示前n项和且2=an+1,求an
解∵2=an+1,
∴Sn=(a+2an+1),
∴Sn-1=(a+2an-1+1),
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=[(a-a)+2(an-an-1)],
整理可得:
(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵an>0,∴an-an-1=2,
当n=1时,a1=1,
∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列
∴an=2n-1(n∈N*)
一、填空题
1数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,…的第100项是
答案14
2数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*都有a1•a2•a3•…•an=n2,则a3+a=
答案
3数列-1,,-,,…的一个通项公式是
答案an=(-1)n
4下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块(用含n的代数式表示)答案4n+8
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第项满足<a<8,则=
答案8
6若数列{an}的通项公式an=,记f(n)=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算f
(1),f
(2),f(3)的值,推测出f(n)=(用含n的代数式表示)
答案
7(2008•沈阳模拟)数列{an}满足an+1=
a1=,则数列的第2008项为
答案
8已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=
答案n
二、解答题
9已知数列{an}的前n项和为Sn,满足lg2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式
解Sn满足lg2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,
∴Sn=2n+1-1
∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n≥2),
∴{an}的通项公式为an=
10已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,对任意的n≥2,3Sn-4,an,2-总成等差数列
(1)求a2、a3、a4的值;
(2)求通项公式an
解
(1)当n≥2时,3Sn-4,an,2-成等差数列,
∴2an=3Sn-4+2-Sn-1,∴an=3Sn-4(n≥2)
由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,
∴a2=,a3=3-4,
∴a3=-,a4=3-4,∴a4=
∴a2=,a3=-,a4=
(2)∵当n≥2时,an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,
∴,可得:
3an+1=an+1-an,
∴=-,∴a2,a3,…,an成等比数列,
∴an=a2•qn-2=•=-,
∴an=
11在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn
(1)求证:
an+3=an;
(2)求a2008
(1)证明an+3=1-=1-
=1-=
=1-=1-
=1-=1-(1-an)=an
∴an+3=an
(2)解由
(1)知数列{an}的周期T=3,
a1=,a2=-1,a3=2
又∵a2008=a3×669+1=a1=∴a2008=
12已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:
①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立设数列{an}的前n项和Sn=f(n)
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求数列{an}的通项公式
解
(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素,
∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4,
当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,
故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
综上,得a=4,f(x)=x2-4x+4
(2)由
(1)可知Sn=n2-4n+4,
当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(n2-4n+4)-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-,
∴an=
§62等差数列及其前n项和
1(2008•广东理,2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6=
答案48
2(2008•陕西理,4)已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10=
答案100
3(2008•全国Ⅰ理,)已知等差数列满足a2+a4=4,a3+a=10,则它的前10项的和S10=
答案9
4已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是个
答案
(2009•姜堰中学高三第四次综合练习)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a12+a17+a19=8,则S2的值为
答案0
例1已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=求证:
数列{bn}是等差数列
证明∵an+1-2=2-=
∴===+
∴-=,
∴bn+1-bn=
∴数列{bn}是等差数列
例2在等差数列{an}中,
(1)已知a1=33,a4=13,求a61;
(2)已知a6=10,S=,求a8和S8;
(3)已知前3项和为12,前3项积为48,且d>0,求a1
解
(1)方法一设首项为a1,公差为d,依条得
解方程组得
∴a61=-23+(61-1)×4=217
方法二由d=,得d===4,
由an=a+(n-)d,
得a61=a4+16d=13+16×4=217
(2)∵a6=10,S=,∴
解方程组得a1=-,d=3,
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44
(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有:
∴,∴
∵d>0,∴d=2,a-d=2∴首项为2∴a1=2
例3(14分)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S1,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最
大值
解方法一∵a1=20,S10=S1,
∴10×20+d=1×20+d,
∴d=-4分
∴an=20+(n-1)×(-)=-n+8分
∴a13=010分
即当n≤12时,an>0,n≥14时,an<0
∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为
S12=S13=12×20+(-)=13014分
方法二同方法一求得d=-4分
∴Sn=20n+•(-)
=-n2+n
=-+8分
∵n∈N+,∴当n=12或13时,Sn有最大值,
且最大值为S12=S13=13014分
方法三同方法一得d=-4分
又由S10=S1,得a11+a12+a13+a14+a1=08分
∴a13=0,即a13=010分
∴当n=12或13时,Sn有最大值,
且最大值为S12=S13=13014分
1设两个数列{an},{bn}满足bn=,若{bn}为等差数列,求证:
{an}也为等差数列
证明由题意有
a1+2a2+3a3+…+nan=bn,①
从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=bn-1(n≥2),②
由①-②,得nan=bn-bn-1,
整理得an=,
其中d为{bn}的公差(n≥2)
从而an+1-an=-
==(n≥2)
又a1=b1,a2=
∴a2-a1=-b1==
综上,an+1-an=d(n∈N*)
所以{an}是等差数列
2设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S1=7,Tn为数列的前n项和,求Tn
解设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+n(n-1)d,
∵S7=7,S1=7,
∴,
即,解得,
∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),
∵-=,
∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,
∴Tn=n2-n
3等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
解由条S9=S12可得
9a1+d=12a1+d,即d=-a1
由a1<0知d>0,即数列{an}为递增数列
方法一由,
得,解得10≤n≤11
∴当n为10或11时,Sn取最小值,
∴该数列前10项或前11项的和最小
方法二∵S9=S12,∴a10+a11+a12=3a11=0,∴a11=0
又∵a1<0,∴公差d>0,从而前10项或前11项和最小
方法三∵S9=S12,
∴Sn的图象所在抛物线的对称轴为x==10,
又n∈N*,a1<0,∴{an}的前10项或前11项和最小
方法四由Sn=na1+d=+n,
结合d=-a1得
Sn=•n2+•n
=-+a1(a1<0),
由二次函数的性质可知n==10时,Sn最小
又n∈N*,故n=10或11时Sn取得最小值
一、填空题
1等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S4=
答案8
2在等差数列{an}中,已知a=2,a2+a3=13,则a4+a+a6=
答案42
3已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为1,偶数项之和为30,则其公差为
答案3
4已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为
答案an=4n-3
(2009•东海高级中学月考)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=1,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=
答案10
6(2009•兴化市板桥高级中学12月月考)数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为
答案-66
7(2008•重庆理,14)设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=
答案-72
8已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=,a1、b1∈N*设n=a(n∈N*),则数列{n}的前10项和等于
答案8
二、解答题
9已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*)
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由
(1)证明因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=
所以当n≥2时,bn-bn-1=-
=-=-=1
又b1==-所以,数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列
(2)解由
(1)知,bn=n-,则an=1+=1+
设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)内为减函数
所以,当n=3时,an取得最小值-1;
当n=4时,an取得最大值3
10等差数列{an}的奇数项的和为216,偶数项的和为192,首项为1,项数为奇数,求此数列的末项和通项公式
解设等差数列{an}的项数为2+1,公差为d,
则数列的中间项为a+1,奇数项有+1项,偶数项有项
依题意,有
S奇=(+1)a+1=216①
S偶=a+1=192②
①÷②,得=,解得,=8,
∴数列共有2+1=17项,把=8代入②,得a9=24,
又∵a1+a17=2a9,
∴a17=2a9-a1=47,且d==
an=1+(n-1)×=(n∈N*,n≤17)
11设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S3,S4的等比中项为S;S3,S4的等差中项为1,求数列{an}的通项
公式
解方法一设等差数列{an}的首项a1=a,公差为d,
则Sn=na+d,依题意,有整理得
∴a=1,d=0或a=4,d=-
∴an=1或an=,
经检验,an=1和an=均合题意
∴所求等差数列的通项公式为an=1或an=
方法二因Sn是等差数列的前n项和,易知数列是等差数列依题意得
解得或
由此得a4=S4-S3=1,a=S-S4=1,
或a4=-,a=-,
∴d=0或d=-
∴an=a4+(n-4)×0=1
或an=a4+(n-4)×(-)=-n
故所求等差数列的通项公式an=1或an=-n
12已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
a3•a4=117,a2+a=22
(1)求通项an;
(2)若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数使得{bn}为等差数列?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由
解
(1)由等差数列的性质得,a2+a=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,又公差大于零,所以a3=9,a4=13
易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)×4=4n-3
(2)由
(1)知Sn==2n2-n,
所以bn==
方法一所以b1=,b2=,b3=(≠0)
令2b2=b1+b3,解得=-
当=-时,bn==2n,
当n≥2时,bn-bn-1=2
故当=-时,数列{bn}为等差数列
方法二当n≥2时,
bn-bn-1=
=,
欲使{bn}为等差数列,
只需4-2=2(2-1)且-3=2(-1)(≠0)
解得=-
§63等比数列及其前n项和
1(2008•海南、宁夏理,4)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=
答案
2等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为
答案1或-
3如果-1,a,b,,-9成等比数列,那么b=,a=
答案-39
4在等比数列{an}中,已知a1a3a11=8,则a2a8=
答案4
(2008•浙江理,6)已知{an}是等比数列,a2=2,a=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=
答案(1-4-n)
例1已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通项公式
解方法一设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,
a2==,a4=a3q=2q,
∴+2q=
解得q1=,q2=3
①当q=时,a1=18,
∴an=18×()n-1==2×33-n
②当q=3时,a1=,
∴an=×3n-1=2×3n-3
∴an=2×33-n或an=2×3n-3
方法二由a3=2,得a2a4=4,
又a2+a4=,
则a2,a4为方程x2-x+4=0的两根,
解得或
①当a2=时,q=3,an=a3•qn-3=2×3n-3
②当a2=6时,q=,an=2×33-n
∴an=2×3n-3或an=2×33-n
例2(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N*有an+Sn=n
(1)设bn=an-1,求证:
数列{bn}是等比数列;
(2)设1=a1且n=an-an-1(n≥2),求{n}的通项公式
(1)证明由a1+S1=1及a1=S1得a1=
又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得
an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1
∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn
∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项,
为公比的等比数列6分
(2)解方法一由
(1)知2an+1=an+1
∴2an=an-1+1(n≥2),8分
∴2an+1-2an=an-an-1,
∴2n+1=n(n≥2)
又1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=
∴2=-=,即2=1
∴数列{n}是首项为,公比为的等比数列12分
∴n=•()n-1=()n14分
方法二由
(1)bn=(-)•()n-1=-()n
∴an=-()n+1
∴n=-()+1-
=-=
=(n≥2)12分
又1=a1=也适合上式,∴n=14分
例3在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a=8且++++=2,求a3
解方法一设公比为q,显然q≠1,
∵{an}是等比数列,∴也是等比数列,公比为
由已知条得,解得aq=4,
∴a=(a1q2)2=4,∴a3=±2
方法二由已知得:
++
===2
∴a=4∴a3=±2
例4某林场有荒320亩,每年春季在荒上植树造林,第一年植树100亩,计划每年比上一年多植树0亩(全部成活)
(1)问需要几年,可将此全部绿化完?
(2)已知新种树苗每亩的木材量是2立方米,树木每年自然增长率为10%,设荒全部绿化后的年底的木材总量为S求S约为多少万立方米?
(精确到01)
解
(1)每年植树的亩数构成一个以a1=100,d=0的等差数列,其和即为荒的总亩数
设需要n年可将此全部绿化,则
Sn=a1n+(n-1)d=100n+×0=320
解此方程,得n=10(年)
(2)第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1(1+01)10,第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2(1+01)9,
……,
第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+01),
第10年后的木材量依次构成数列{bn},则其和为
T=b1+b2+…+b10
=200×1110+300×119+…+1100×11
≈10(万立方米)
答需要10年可将此全部绿化,10年后木材总量约为10万立方米
1已知等比数列{an}中,a3=,S3=4,求a1
解当q=1时,a1=a2=a3=,满足S3=4,
当q≠1时,依题意有,
解得q2=,a1=6综上可得:
a1=或a1=6
2设数列{an}是等差数列,a=6
(1)当a3=3时,请在数列{an}中找一项a,使得a3,a,a成等比数列;
(2)当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…(t∈N*)满足<n1<n2<…<nt<…使得a3,a,,,…,,…是等比数列,求数列{nt}的通
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